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1、第3章 随机信号分析李志华本章知识点：本章知识点：随机过程的描述方法及其平稳特性高斯随机过程窄带随机过程正弦波加窄带过程的分析正弦波加窄带过程的分析白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声3.1 引言明确两个问题：明确两个问题：（1）什么叫做随机过程）什么叫做随机过程（2）学习随机信号分析的目的！）学习随机信号分析的目的！3.2 随机过程的一般表述3.2.1 随机过程的特征过程过程：是时间t的函数随机随机：在任一时刻上是一个随机变量复习返回例例：生产一批晶振，其中任意一个输出波形各晶振的振幅、角频率、初始相位都有一定的偏差，此时，不同晶振的输出可能都不相同。则此输出就是一个随机过程。选择一个晶振，
2、观察其输出结果，称之为一个实现一个实现或一个样本一个样本3.2.2 随机过程的数学定义随机实验E的可能结果 ，实验样本空间S为 则每次实验后，取样本空间S中的某一实现 则 称为随机函数。当t代表时间量时，称 为随机过程。3.2.3 随机过程的统计特性(1)概率分布函数和概率密度函数随机过程 ，则在任意时刻t1，是一个随机变量。用分布函数和概率密度函数 来描述。一维概率分布函数一维概率分布函数一维概率密度函数一维概率密度函数有时需要多维分布函数和多维概率密度函数来描述随机过程。即在足够多的时刻上考虑，如随机过程 的n维分布函数若存在可用n维概率密度函数描述。(2)数字特征a 数学期望定义：定义：
3、随机过程的数学期望随随机过程的数学期望随t取值不同而不同取值不同而不同是是t的函数！的函数！b 方差定义：定义：c 协方差与相关函数协方差协方差相关函数相关函数关系：关系：如何推导？如何推导？引申：引申：注：注：自学互协方差和互相关函数自学互协方差和互相关函数3.3 平稳随机过程3.3.1 定性认识随机过程的统计特性不随时间t的推移而变化，一般通信系统、自控系统的信号都是平稳的。3.3.2 狭义平稳定义：定义：随机过程 的n维概率分布函数 和n维概率密度函数 不随时间t的推移而变化，一般通信系统、自控系统的信号都是平稳的。数学描述：数学描述：一维：一维：性质：性质：数学期望与数学期望与t无关，
4、是常数！无关，是常数！二维：二维：性质：性质：相关函数仅与相关函数仅与 ！3.3.3 平稳的判断依据平稳的判断依据（1）根根据据平平稳稳随随机机过过程程的的定定义义来来判判断断，若若其其统统计计特特性性不不随随时时间间t的的推推移移而而变变化化，则则称称为严平稳的（狭义平稳）。为严平稳的（狭义平稳）。（2）根根据据平平稳稳随随机机过过程程的的一一维维、二二维维特特性性来来判判断断，若若其其数数学学期期望望与与t无无关关（为为常常数数），相相关关函函数数仅仅与与 有有关关，则则称称为为宽宽平平稳稳（广广义义平稳）。平稳）。例：随机相位正弦波 其中 内均匀分布的随机变 量，为常数，是否宽平稳？思路
5、 （1）数学期望与t无关，为常数。（2）相关函数仅与 相关。证：为常数，与t无关仅与 相关3.3.4 各态历经性理解平稳随机过程的各态历经性含义！含义：随随机机过过程程的的任任一一实实现现经经历历了了随随机机过过程程 的的所所有有可可能能的的状状态态，则则可可以以用用一一个个实实现现的的“时时间间平平均均”代代替替随随机机过过程程的的“统统计计平平均均”，称称该该随随机机过过程程具具有有各各态态历历经经性性，或或该该随随机机过过程程是是各各态态历历经经的的。或或者者说说，如如果果样样本本总总体体中中各各种种状状态态在在一一个个样样本本中中都都有有反反映映，从从而而使使随随机机过过程程X(t)的
6、的数数字字特特征征可可以以通通过过分分析析它它的的一一个个样样本本函函数数来来得得到到，称称此此过过程程是各态历经的或称遍历的。是各态历经的或称遍历的。数学描述：注：各态历经的随机过程一定是平稳的，而注：各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程需满足一定的条件才是各态平稳的随机过程需满足一定的条件才是各态历经的。但一般来说，这个条件是很宽泛的。历经的。但一般来说，这个条件是很宽泛的。复习随机过程的特征随机过程的描述和统计特性随机过程的平稳特性，广义平稳的判断依据？随机过程的各态历经性*相关函数的性质3.4 平稳随机过程的相关函数 与功率谱密度3.4.1 相关函数定义回顾：性质：注：相关
7、函数性质要理解、掌握应用！注：相关函数性质要理解、掌握应用！3.4.2 相关函数与频谱维纳辛钦定理:平稳随机过程的相关函数与其功率谱密度函数是付氏变换对。数学描述:P18 例2.4.1掌握思路，灵活运用维纳辛钦定理！3.5 高斯过程（正态随机过程）*3.5.1 高斯过程的一般表述n维概率密度函数不常用，掌握一维的即可！一维概率密度函数：axf(x)高斯过程一维概率密度分布示意图高斯过程一维概率密度分布示意图一维概率分布函数：又称为概率积分函数，简称概率积分。3.5.2 误差函数 erf（x）误差函数定义：补误差函数定义：引引入入误误差差函函数数的的目目的的：与与积积分分函函数数有有关关，在在今
8、今后的通信系统抗噪声性能分析时用到。后的通信系统抗噪声性能分析时用到。掌握积分函数与误差函数之间的关系式掌握积分函数与误差函数之间的关系式P21 式式2.512、13、14、15理解推导过程，不必记忆。理解推导过程，不必记忆。3.6 窄带随机过程3.6.1 窄带随机过程的定义满足两个条件：（1）频谱限制在“载波”或某一中心频率附近的一个窄的频带上。（2）这个中心频率远离零频率。数学描述：（1）（2）例：无线广播的中频信号及噪声都是窄带信号。其带宽约为1.5MHz,中心频率在174M240MHz之间。窄带过程示意图窄带过程示意图窄带过程示意图窄带过程示意图宽带过程示意图宽带过程示意图宽带过程示意
9、图宽带过程示意图3.6.2 窄带随机过程的表示（1）包络函数包络函数非负值非负值相位函数相位函数角频率角频率常数常数（2）同相分量同相分量正交分量正交分量两种表示间的关系：3.6.3 窄带随机过程特性假设已知窄带随机过程 是平稳高斯窄带随机过程，均值为0，方差为 。（1）推导 的统计特性a 数学期望b 相关函数结论：（1）（2）？（3）（4）总结：总结：一个均值为一个均值为0的窄带平稳高斯过程，其的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量也是平稳高斯过同相分量和正交分量也是平稳高斯过程，且均值为程，且均值为0，方差与之相同。且在，方差与之相同。且在同一时刻上，同相分量和正交分量互同一时刻上，同相
10、分量和正交分量互不相关（统计独立）。不相关（统计独立）。总结：总结：一个均值为一个均值为0的窄带平稳高斯过程，其的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量也是平稳高斯过同相分量和正交分量也是平稳高斯过程，且均值为程，且均值为0，方差与之相同。且在，方差与之相同。且在同一时刻上，同相分量和正交分量互同一时刻上，同相分量和正交分量互不相关（统计独立）。不相关（统计独立）。复习维纳-辛钦定理*高斯过程 *窄带随机过程定义及描述 *平稳窄带高斯随机过程特性（2）推导 的统计特性推导其一维概率密度函数总结：总结：一个均值为一个均值为0的窄带平稳高斯过程，的窄带平稳高斯过程，3.6.4 白噪声（1）理想白噪
11、声 功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。含义：任意两个不同时刻上的随机变量都含义：任意两个不同时刻上的随机变量都 不相关，只有同一时刻上的随机变不相关，只有同一时刻上的随机变 量和自身相关。量和自身相关。（1）带限白噪声 白噪声经过低通滤波器后成为带限白噪声。含义：带限白噪声仅在时间间隔为含义：带限白噪声仅在时间间隔为 时，时，两个随机变量才不相关。两个随机变量才不相关。3.7 正弦波加窄带高斯过程3.7.1 数学表示（1）（2）两种表示间的关系：3.7.2 统计特性(1)(2)推导方式同前推导 。小结：小结：重点掌握结论，在后续课程中能应用！重点掌握结论，在后续课程中能应用！3.8 随机过
12、程通过线性系统前提：设输入随机过程的一个实现 ，经过线性系统，输出 也是随机 过程的一个实现。设 平稳，讨论 的统计特性。3.8.1 数学期望3.8.2 相关函数3.8.3 功率谱密度复习一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是高斯平稳过程，而且均值为0，方差也相同。且同一时刻上的同相分量和正交分量是不相关的或是统计独立的。其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维分布是均匀分布。白噪声与带限白噪声正弦波加窄带高斯过程的同相分量、正交分量也是高斯型的，其包络的一维分布是广义瑞利分布（Rice分布）。随机过程通过线性系统：输入平稳则输出平稳；输入与输出的功率谱之间的关系。P30 例2.8.1掌握解题思路！3.8.4 输出过程的分布若输入的是高斯随机过程，则若输入的是高斯随机过程，则线性系统输出过程也是高斯的线性系统输出过程也是高斯的。第第3章小结章小结（1）随机过程的表述）随机过程的表述（2）平稳随机过程的特性）平稳随机过程的特性（3）高斯随机过程）高斯随机过程（4）窄带随机过程）窄带随机过程+正弦波正弦波（5）白噪声）白噪声（6）线性系统分析）线性系统分析