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1、上海大学通信学院第第6 6节节 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量随机变量离散性随机变量及其分布离散性随机变量及其分布连续性随机变量及其分布连续性随机变量及其分布上海大学通信学院随机变量的引入随机变量的引入:随机试验随机试验E基本事件基本事件e随机事件随机事件A样本空间样本空间Se?数字数字标记法标记法e与数与数联系联系(一一)随机变量随机变量把试验结果数值化把试验结果数值化-样本空间数值化样本空间数值化上海大学通信学院E2：将一枚硬币抛两次,观察正反面的 出现情况；S2:(H,T),(H,H),(T,H),(T,T)(二)样本空间-随机试验E中，包括所有基本可能结果的集合，记为S。随机
2、试验 E E1:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出 现的情况。样本空间 SS1:H,T E5:记录某一昼夜的最低温度x和最高 温度y。设这一地区的温度不会小于T0,不会大于T1。E3：掷一颗孤骰子，观察出现的点数；E4：在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命；S5:(x,y)T0 xy0 0 为常数为常数,则称则称X X服从服从泊松分布泊松分布,记做记做 X P(X P()。F 3.泊松分布：泊松分布：设随机变量设随机变量X X所有可能取值所有可能取值为为0,1,2,0,1,2,而各取值的概率为而各取值的概率为显然显然:上海大学通信学院泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，泊
3、松分布是二项分布的极限分布，当当n n 很大，很大，p p 很小时，二项分布就可近似地很小时，二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np=np 的的泊松分布泊松分布上海大学通信学院解：从解：从11月份中任取一天，只有两种结果，下雪为月份中任取一天，只有两种结果，下雪为1，不下，不下雪为雪为0，p0.1，用，用X表示表示11月份下雪的天数，月份下雪的天数，则则XB(30,0.1)，可近似看作为，可近似看作为XP(3)P(X3)P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)(30/0!31/1!32/2!33/3!)e-313e-30.6473上海大学通信学院随机变量的分布函数一、分布函数的
4、概念.定义定义 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件事件X x 的概率的概率 PX x 称为随机变量称为随机变量X的分布函数。的分布函数。记为记为F(x)，F(x)P X x.易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).上海大学通信学院二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数x，上海大学通信学院对离散型随机变量对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函
5、数为其分布函数为 上海大学通信学院例例2:设随机变量设随机变量X的概率质量（密度）函数为的概率质量（密度）函数为:X 0 1 2 P 求求X的分布函数的分布函数F(x),并求并求解解:由概率的有限可加性可得由概率的有限可加性可得:上海大学通信学院上海大学通信学院例例2 2 小球一定落在一半径为小球一定落在一半径为2 2的的圆盘上，且其概率圆盘上，且其概率与该圆盘的面积成正比。以与该圆盘的面积成正比。以X X表示质点与圆心的距离，表示质点与圆心的距离，试求随机变量试求随机变量X X的分布函数。的分布函数。解解:(1)(1)x0,x0,Xx Xx 为不可能事件为不可能事件 Fx=PX0=0(2)(
6、2)0 0 x x2,2,P0 P0 Xx=kx Xx=kx2 2 ;k ;k为常数为常数令令x=2,P0 x=2,P0 X2=k2 X2=k22 2=1=1 k=1/4 F（x）=PX0+P0P0 X X 2=x 2=x2 2/4/4上海大学通信学院由该例由该例,若令：若令：则可得则可得:即，即，F(x)F(x)是非负函数是非负函数 f(x)f(x)在在 (-(-,x),x)上的积分上的积分。非负、非负、若若 x 2 x 2，即，即 X Xx x 是必然事件，于是是必然事件，于是 Fx=PX x=1 故故上海大学通信学院Homework 1-1621上海大学通信学院（三）连续型随机变量的概率
7、密度函数（三）连续型随机变量的概率密度函数&定义定义:若对于随机变量若对于随机变量X X的分布函数的分布函数F(x)F(x)，存存在非负的函数在非负的函数 f(x)f(x)，使得对于任意实数使得对于任意实数 x x 有有 则称则称X X为连续随机变量为连续随机变量，其中，其中f(x)f(x)称为称为X X的概的概率密度函数率密度函数。连续随机变量概率密度函数连续随机变量概率密度函数 f(x)的性质的性质:上海大学通信学院有关概率密度函数有关概率密度函数 f(x)的性质的说明的性质的说明:性质性质(1)，(2)指明了概率密度函数的重要性指明了概率密度函数的重要性质，质，(2)是求概率密度函数中未
8、知参数的重是求概率密度函数中未知参数的重要依据。要依据。性质性质(3)：求随机变量落在某个区间上的概率：求随机变量落在某个区间上的概率性质性质(4)：已知分布函数已知分布函数概率密度函数的重要概率密度函数的重要方法。方法。上海大学通信学院三个重要的连续型随机变量的概率密度函数F1.均匀分布均匀分布上海大学通信学院F2.指数分布指数分布1F3.正态正态(高斯高斯)分布分布记做：记做：X XN(,2)N(,2)F(F(x-)/)标准正态分布标准正态分布上海大学通信学院正态分布的性质:上海大学通信学院例例3 3 随机变量随机变量x x为为NN（10001000，5050）分布，试求小）分布，试求小在在900 900 到到1050 1050 范围内的概率。范围内的概率。解解:例例4 4 电阻值电阻值r r在在900900到到11001100间均匀分布，试求间均匀分布，试求r r在在950 950 至至1050 1050 之间的概率。之间的概率。解解:这个是要查表的这个是要查表的吗？吗？上海大学通信学院混合型随机变量概率密度函数与分布函数混合型随机变量概率密度函数与分布函数 若引入若引入 函数，则离散随机变量可表示为：函数，则离散随机变量可表示为：对于混合型随机变量有如下表示：对于混合型随机变量有如下表示：