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1、第三章第三章 1 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布分布.但有些但有些 随机现象用一个随机变量来随机现象用一个随机变量来 描述还不描述还不够，而需要用几个随机变量来描述够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是由命中点的位置是由一对随机变量一对随机变量(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量(三个坐标）来确定三个坐标）来确定的的,等等等等.2第一节第一节 3 定定义义 一一般般地地，我我们们称称n个个随随机机变变量量的的整整体体X=(X1,X2,，X
2、n)为为n 维随机向量维随机向量.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论为简单起见，我们重点讨论二维二维随机向量随机向量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.4一、二维随机向量的联合分布函数一、二维随机向量的联合分布函数二维随机向量（二维随机向量（X,Y）X 和和Y 的联合分布函数的联合分布函数X 的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量 X56二维随机变量分布函数的基本性质二维随机变量分布函数的基本性质7边缘分布边缘分布即即同理同理,边缘分布函数与联合分布函数的关系边缘分布函数与联合分布函数的关系 二维随机向量二
3、维随机向量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,用联合分用联合分布来刻画布来刻画.而而 X 和和Y 都是一维随机变量都是一维随机变量,各有自己各有自己的分布的分布,称为称为边缘分布边缘分布.8设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为例例1 1则边缘分布函数为则边缘分布函数为称该分布为称该分布为二维指数分布二维指数分布,其中参数其中参数9说明说明：联联合分布可以唯一确定合分布可以唯一确定边缘边缘分布，但是分布，但是边缘边缘分分布一般不能唯一确定布一般不能唯一确定联联合分布合分布.也即，二也即，二维维随机向量随机向量的性的性质质一般不能由它的分量的个一般不能由它的分量的
4、个别别性性质质来确定，来确定，还还要要考考虑虑分量之分量之间间的的联联系，系，这这也也说说明了研究多明了研究多维维随机向量随机向量的作用的作用 .边缘分布与参数边缘分布与参数无关无关.10二、联合分布二、联合分布则则称二称二维维表表 为为(X,Y)的的联合分布律联合分布律.1 1.离散型离散型1112例例2 2 袋中有两只白球袋中有两只白球 3 3只黑球，放回摸球两次，定只黑球，放回摸球两次，定义义 X 为第一次摸得的白球数，为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白为第二次摸得的白球数，求球数，求(X,Y)的联合分布律的联合分布律.解解13解解例例2 2 袋中有两只白球袋中有两只白球 3 3
5、只黑球，放回摸球两次，定只黑球，放回摸球两次，定义义 X 为第一次摸得的白球数，为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白为第二次摸得的白球数，求球数，求(X,Y)的联合分布律的联合分布律.14若改为不放回摸球，则若改为不放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 比较：有放回摸球：比较：有放回摸球：15例例3 3解解 由于由于 所以所以 16故故(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为 172 2.连续型连续型18面面上的一个区域上的一个区域.19 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域,其其面面积积为为A.若若二二维维随机向量随机向量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称
6、(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.若若(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布,则对于则对于G中中任一子区域任一子区域 D,有有二维均匀分布二维均匀分布20 于是于是(X,Y)落在落在G中任一子区域中任一子区域 D 的概率与的概率与 D 的的面积成正比面积成正比,而与而与 D的形状和位置无关的形状和位置无关.在这个意在这个意义上我们说义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机向量服从某区域上均匀分布的二维随机向量在该区域内是在该区域内是“等可能等可能”的的.21例例4 4 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为解解(1)由规范性由规范性2
7、22324例例5 5 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为解解(1)由规范性由规范性252627三、边缘分布三、边缘分布1 1.离散型离散型设设(X,Y)是离散型二维随机变量，联合分布律为是离散型二维随机变量，联合分布律为则边缘分布为则边缘分布为记作记作28 袋中有两只白球袋中有两只白球3 3只只黑球，有放回黑球，有放回 摸摸 球球 两两次，定义次，定义X为第一次摸得为第一次摸得的白球数，的白球数，Y为第二次摸为第二次摸得的白球数，则得的白球数，则(X,Y)的的联合分布律为联合分布律为 例例6 6Y的边缘分布的边缘分布X的的边缘边缘分布分布所以所以X 和和Y
8、的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为29边缘分布为边缘分布为与放回的情况比较，与放回的情况比较，但边缘分布却完全相同但边缘分布却完全相同.两者的联合分布完全不同，两者的联合分布完全不同，若改为不放回摸球，则若改为不放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 30由联合分布可以确定边缘分布；由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.再次说明联合分布和边缘分布的关系再次说明联合分布和边缘分布的关系:312 2.连续型连续型设设(X,Y)是连续型二维随机变量，联合密度函数为是连续型二维随机变量，联合密度函数为由于由于所以所以(X,Y)关于关
9、于 X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为同理同理,关于关于Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为32求求(1)c 的值；的值；(2)两个边缘密度；两个边缘密度；解解 (1)设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是例例7 7xy0133xy01(2)所以所以34xy01(2)所以所以35xy0136例例8 8解解 随机向量随机向量(X,Y)的密度概率为的密度概率为 xyO21D其他其他37其他其他二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布.例例8 8解解 随机向量随机向量(X,Y)的密度概率为的密度概率为 xyO21D38即即(X,Y)服从单位圆服从单位圆上
10、的均匀上的均匀分布分布.例例9 9 设设二二维维随机随机变变量量(X,Y)的概率密度的概率密度为为 求求 X 及及Y 的边缘密度的边缘密度.解解边缘边缘密度密度为为 类似地类似地,39四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立.设设 X,Y是两个随机变量是两个随机变量，若对任意的若对任意的 x,y,则称则称 X,Y 相互相互独立独立.40上式用分布函数表示上式用分布函数表示,即即情形情形1 1 (X,Y)是是
11、离散型离散型随机变量，则随机变量，则 X,Y 相互独立相互独立的定义等价于的定义等价于41例例10 10 袋中有两只白球袋中有两只白球3 3只黑球，摸球两次，定义只黑球，摸球两次，定义 X为为第一次摸得的白球数，第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为的联合分布和边缘分布分别为 经验证，放回经验证，放回时时，X与与Y相互独立；相互独立；不放回不放回时时，不独立不独立.42例例11 11 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 且且X与与Y 相互独立，试求相互独立，试求 和和 .又由分布律的性质
12、又由分布律的性质,有有解解 由由X与与Y 相互独立，知相互独立，知43解解例例12 12 假设随机变量假设随机变量 X 和和 Y 相互独立，都服从参数相互独立，都服从参数为为 p(0p1)的的 0-1分布，随机变量分布，随机变量 问问 p 取何值时，取何值时，X 和和 Z 相互独立？相互独立？首先求出首先求出 Z 的概率分布：的概率分布：因为因为X 和和Y相互独立相互独立44令令所以所以 p 取取0.5时，时，X 和和 Z 相互独立相互独立.45情形情形2 2 (X,Y)是是连续型连续型随机变量，则随机变量，则 X,Y 相互独立相互独立的定义等价于的定义等价于在平面上几乎处处成立在平面上几乎处
13、处成立.解解例例13 13 设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？X,Y 的边缘密度分别为的边缘密度分别为成立，所以成立，所以X,Y相互独立相互独立.46解解例例14 14 设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 问问 X与与Y是否相互独立？是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为的边缘密度分别为所以所以 X,Y 不相互独立不相互独立.xy01147上的均匀上的均匀分布，分布，判断判断X与与Y是否相互独立是否相互独立.例例15 15 设设二二维维随机随机变变量量(X,Y)服从单位圆服从单位圆解解X与与Y 的的边缘边缘密度密度分别分别为为 所
14、以所以X,Y 不相互独立不相互独立.48二维随机向量的函数的分布二维随机向量的函数的分布1 1.离散型离散型设设随机向量随机向量(X,Y)的的联联合分布律合分布律为为 49例例16 16 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 解解分分别别求求X+Y、X 2 2+Y 2 2、min(X,Y)的分布律的分布律.5051证证所以所以例例1717此性质称为泊松分布此性质称为泊松分布的可加性的可加性522 2.连续型连续型主要主要讨论讨论和和的情况的情况.设设 X 和和Y 的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的密度的密度.Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:x
15、y0zz两两边边关于关于z 求求导导，则则得得 Z 的密度函数的密度函数为为 53由由 X 和和Y 的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 特别，当特别，当 X 和和Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y 的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式,记为记为 .54例例18 18 设设 X,Y 相互独立且均服从标准正态分布相互独立且均服从标准正态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.由卷积公式由卷积公式,有有解解55用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X 和和Y 独立独立,若若
16、 X 和和 Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).即有限个独立正态变量的即有限个独立正态变量的线性组合线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.正态分布的可加性正态分布的可加性56解解例例19 19 设设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量量,其概率密度分其概率密度分由卷由卷积积公式公式,仅当仅当上述上述积积分的被分的被积积函数才不等于函数才不等于0,0,因此因此 即即时时,别为别为5758即有即有59练习：练习：P114 习题三习题三 60证证补充练习：补充练习：可以可以证证明：明：61证证由恒等式由恒等式即即所以所以此即此即说说明明62