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1、平面向量知识点归纳1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知 A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是|ABAB)；（3）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个
2、向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0)；三点ABC、共线ABAC、共线；向量平行(共线)的充要条件：/abab22()(|)a ba b1212x yy x 0。若ABCD是平行四边形，则ABDC。如(1)若向量(,1),(4,)axbx，当x _时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)abx，2uab，2vab，且/uv，则x_（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCk，则 k_时，A,B,C 共线（答：2 或 11）3.平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的
3、任一向量a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。如（1）若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则c_（答：1322ab）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee（答：B）；（3）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为 _（答：2433ab）（4）ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _（答：0）4.ab的几何意义：数量积ab等于a的
4、模|a与b在a上的投影的积。b在a上的投影为|cosb，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3|a，5|b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _（答：512）5.非零向量a，b夹角的计算公式：cosa ba b；|abab。如（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：43或0且13）；（2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF,夹角的取值范围是_（答：(,)4 3）；（3）已 知(c o s,s i n),(caxxbyya与b之 间 有 关 系 式3,0kabakbk其中，用k表示a b；求a b的最小值，并求此时a与b的
5、夹角的大小（答：21(0)4ka bkk；最小值为12，60）6.向量的运算：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边 不 能 约 去 一 个 向 量，切 记 两 向 量 不 能 相 除(相 约)；（2）向 量 的“乘 法”不 满 足 结 合 律，即cbacba)()(，为什么？7.向 量 垂 直 的 充 要 条 件：0|aba babab12120 x xy y.特 别 地()()ABACABACABACABAC。如(1)已知(1,2),(3,)OAOBm，若OA
6、OB，则 m（答：32）；（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点 B 的坐标是 _（答：(1,3)或（3，1）；（3）已知(,),na b向量nm，且nm，则m的坐标是 _（答：(,)(,)bab a或）8.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）|ababab，特别地，当a b、同向或有0|abab|abab；当a b、反 向 或 有0|abab|abab；当a b、不 共 线|ababab(这些和实数比较类似).文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
7、CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D
8、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
9、CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D
10、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
11、CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D
12、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
13、CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7（3）在ABC中，若112233,A x yB xyC xy，则 其 重心 的 坐标 为123123,33xxxyyyG。如若 ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、-1，-1），则ABC的重心的坐标为_（答：2 4(,)3 3）；1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在
14、直线)；|0AB PCBC PACA PBP是ABC的内心；向量PA PB PC、中三终点ABC、共线存在实数、使得PAPBPC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1,3(A,)3,1(B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是 _（答：直线 AB）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点,A B满足2,OAOBOA OB则点集|,1,P OPOAOBR所表示的区域的面积是_（答：4 3）在正六边形ABCDEF中，点P在EDC内（包括三角形边界），AFABAP，则的取值范围是（答：4,3）22)()(41OBOAOBOAOBOA，如：已知,9,8,7,B
15、CACABABC点 P 为平面ABC内一点，满足PBPCPA则,7的取值范围是（答：10,4）9.解决向量问题的常用策略：向量的转化：把未知向量转化为已知向量（向量的模和夹角已知的或可求的）如：在平行四边形ABCD中,AD=1,60BAD,E为CD的中点.若1BEAC,则AB的长为_.线段AB长度为2，点,A B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，1BC，O为坐标原点，则OC OD的取值范围是.设 P 为ABC 内一点，且2155APABAC，则 ABP 的面积与 ABC 的面积之比为设0,PABC文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D
16、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
17、CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D
18、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
19、CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D
20、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:
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22、8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7是边AB上一定点,满足ABBP410,且对于边AB上任一点P,恒有CPBPPCPB00.则（2）几何法：BCOAOCOAOBOA；OBOA表示点 A 到直线OB 上任一点的距离；baba表示以ba,为邻边的平行四边形是矩形；0)()(baba表示以ba,为邻边的平行四边形是菱形；1,2caa表示c的终点在a的终点为圆心，1 为半径的圆周上；0OCOBOCOA表示点 C 在线段 AB 的中点为圆心，|AB|为
23、直径的圆周上；0OCOBOCOA表示点 C 在线段 AB 的中点为圆心，|AB|为直径的圆内；60,OCOBOCOA表示点 C 在线段 AB 为弦的圆弧上。如：已知,a b是单位向量,0a b.若向量c满足1,cabc则的取值范围是12ABAB,121OBOB,12APABAB.若12OP,则OA的范围是,0,1cbcacbaba满足则minminmaxcc=(3)代数法：,22aa222224422,bbaababaaa，的中点和任一点边分别是BCABCED,，BEADACAB22，则有ACAB（4）坐标法：建立坐标系，用向量的坐标来运算。如：在梯形 ABCD 中，DA=AB=BC=21CD
24、=1.点 P 在DBC内（含边界）中运动，则BDAP的取值范围是.文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I
25、5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG
26、9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I
27、5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG
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29、5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7文档编码:CG9Q3M7O9G1 HJ1T1U8D8I5 ZF5Y2E2B1B7