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1、平面向量一：知识框架图；二、详细知识要点讲解；重点知识回顾1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素： . 2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作( ,)ax y，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。22axy；若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB，222121()()ABxxy
2、y3. 零向量、单位向量：长度为的向量叫零向量，记为0； 长度为个单位长度的向量，叫单位向量. （注：| aa就是单位向量）4. 平行向量：方向的向量叫平行向量； 我们规定与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作abc. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5. 相等向量：相等且相同的向量叫相等向量. 6向量的基本运算（1）向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四
3、边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2) 则 a+b= ， a- b= 。(2) 平面向量的数量积： ab= 。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2) 则 ab=。（3）两个向量平行的充要条件=（ b 不是零向量）若=(x1,y1), =(x2,y2) ，则。（4） 两个非零向量垂直的充要条件是= 。设=(x1,y1)，=(x2,y2) ，则。.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab= a+ (b)；差向量的意义：OA= a, OB
4、=b, 则BA=ab平面向量的坐标运算：若11(,)ax y，22(,)bxy，则ab),(2121yyxx，ab),(2121yyxx，(,)axy。向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 7实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a（1）|a|=|a|； （2）0 时a与a方向相同； 0 时a与a方向相反； =0 时a=0； （3）运算定律( a)= a，(+)a= ，(a+b)= 。8 向量共线定理向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
5、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 个非零实数 ，使b= a。9平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=11e+22e。(1)不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被a，1e，2e唯一确定的数量。10. 向量a和b的数量积：ab= 其中0，为a和b的夹角。
6、|b|cos称为b在a的方向上的投影。ab的几何意义是：b的长度 |b|在a的方向上的投影的，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若a=（1x，1y）, b=（x2，2y）, 则2121yyxxba运算律： a b=ba, (a) b=a( b)= （a+b） c=。a和b的夹角公式： cos=abab2aaa|a|2=x2+y2，或 |a|=222ayx| ab | | a | b |。11两向量平行、垂直的充要条件设a = （1x，1y）, b=（2x，2y）abab=0 ，baab=1x2x+1y2y=0；ba/（a0）充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a。0/1221
7、yxyxba向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。三：难点、易错点；1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
8、 - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - （一）基础知识训练1. 下列命题正确的是（）)(A单位向量都相等)(B任一向量与它的相反向量不相等)(C平行向量不一定是共线向量)(D模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF中，若ABa，FAb，则BC（）)(A)(21ba)(B)(21ba)(Cba)(Dba213.已知向量, 01eR，1eabe ,2=21e若向量a与b共线，则下列关系一定成立是（）)(A0)(B02e)(C1e2e)(D1e2e或04. 若向量), 1(xa，)2,( xb共线且方向相同，x=_。5设20，已知两个向量sin,cos
9、1OP，cos2,sin22OP，则向量21PP长度的最大值是（）A.2B.3C.23D.32（二）典例分析例 1： （1）设a与b为非零向量，下列命题：若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反；若, ABa CDba与b共线，则 A 、B、C、D四点必在一条直线上；若a与b共线，则abab；若a与b反向，则aabb其中正确命题的个数有（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个（2）下列结论正确的是（）（A）a ba b（B）abab（C ）若()()0a b cc a b（D）若a与b都是非零向量，则ab的充要条件为abab错解：（1）有学生认为全正确，答案为4；也有学生认为或是错的
10、，答案为2或 3； （2）A或 B或 C。分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。第（ 1）小题中，正确的应该是，答案为2。共线向量（a与b共线）的充要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量； 若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时baab，a与b反向时baab。第（ 2）小题中，正确答案为（D） 。
11、学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、 向量的模之间互化方法，并进行正确互化。例 2 设 a、b 是两个不共线向量。AB=2 a+kb BC= a+b CD= a-2 bA、B、D共线则 k=_(k R) 解： BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a- b 2a+kb=(2 a- b)=2a- b 2=2且 k=- k=-1 例 3 梯形 ABCD ，且 |AB|=2|DC|,M 、N分别为 DC 、AB中点。AB= a AD= b 用 a，b 来标 DC 、BC 、MN 。解： DC= 21AB=21a BC=BD+DC=(AD-AB)+D
12、C = b-a + 21a=b- 21aMN=DN-DM=21a-b -41a= 41a-b 例 4 |a|=10 b =(3,-4)且 ab 求 a解：设 a=(x,y)则 x2+y2=100 （1）由 ab 得 -4x-3y=0 （2）解（ 1） （2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)五归纳小结1向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。2对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。课堂练习1、下列命题正确的是（）A若0|a，则0a B若|ba，
13、则ba或baC若ba |，则|ba D若0a，则0a2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点) 1 , 2(A、)3, 1(B、)4, 3(C，则顶点 D的坐标为 （）A)2, 1( B)2,2( C)1 , 2( D)2,2(3、设)0(|mma，与a反向的单位向量是0b，则a用0b表示为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - A0bma B 0bma C01bma D 01bma4、D、E、F 分别为ABC的边 BC
14、 、CA 、AB上的中点，且aBC，bCA，下列命题中正确命题的个数是（）baAD21；baBE21；baCF2121；0CFBEAD。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5、化简：ADDEACCE=_。6、已知向量)2 , 1(, 3 ba，且ba，则a的坐标 _。7、若0, 2, 122ababa，则ba与的夹角为 _。8、已知向量)1 ,0(),0 ,1 (,4,23212121eeeebeea其中求（1）baba;的值；（2）a与b的夹角的余弦。9、 如果向量a与b，c的夹角都是60， 而cb， 且1|cba， 求)()2(cbca的值。课堂练习答案基础知识训练： D ，B，B ，
15、D， 5，0； 6， （556，553） ， （556，553）7，450， 8，(1) ab=10, ba=52 (2) 221109,-1 平面向量测试题一、单项选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）命题中正确的是是两个单位向量，下列、e已知e1.211ee.A2121ee.B2221ee.C21e/e.D2下列命题中：若a与 b 互为负向量，则ab0；若 k 为实数，且k a0，则 a0或 k0；若 a b0，则 a0 或 b0；若 a 与 b 为平行的向量，则a b|a|b| ；若 |a|名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
16、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1，则 a 1其中假命题的个数为（）A5 个B4 个C3 个D2 个的值等于CABC则,60C8,b5,a在ABC 中,3.20.A20.B320.C320.D设 |a|1，|b|2，且 a、b夹角 120，则 |2ab|等于（）2.A4.B21.C32.D 已知 ABC 的顶点坐标为A （3， 4） ， B （ 2， 1） ， C （4， 5） ， D 在 BC 上， 且ABDABCS3S，则 AD 的长为（）2.A22.B23.C227.D6已知 a（
17、2，1） ，b（ 3，） ，若（ 2ab）b，则 的值为（）A3 B1 C1 或 3 D 3 或 1向量a（1，2） ，|b|4|a|，且 a、b 共线，则 b 可能是（）A （4，8）B （ 4，8）C （ 4， 8）D （8，4）8已知 ABC 中，5b, 3a，415S, 0ba, bAC, aABABC，则 a 与 b 的夹角为（）A30B150C150D30或 150b则a5,b4,a,32041ba若9.310.A310.B210.C10.D10已知向量a，b满足1,4,ab且2a b,则a与b的夹角为A6B4C3D211若平面向量b与向量)1 , 2(a平行，且52|b，则b(
18、) A)2,4(B)2,4(C)3,6(D)2,4(或)2,4(12下列命题正确的是（）A单位向量都相等B若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量（）C|baba，则0a bD若0a与0b是单位向量，则001ab二、填空题 （本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分）13向量 a（2k3,3k2）与 b（ 3，k）共线，则k_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - _._向量，则 k的值为 _且a与
19、b为互相平行的,k,8b,k,29已知a14.15已知向量(cos ,sin)a，向量( 3,1)b，则2ab的最大值是16若向量| 1,|2,|2,abab则|ab。三、解答题 （本大题共6 小题，共 74 分）17 （本小题满分12 分）设 O 为原点，OA/BC,OBOC,2, 1OB,1 ,3OA， 试求满足OCOAOD的OD的坐标18 （本小题满分12 分）设1e和2e是两个单位向量，夹角是60，试求向量21ee2a和21e2e3b的夹角19已知向量a与b的夹角为60，|4,(2 ).(3 )72babab,求向量a的模。20已知点(2,1)B，且原点O分AB的比为3，又(1,3)b
20、，求b在AB上的投影。21已知(1,2)a,)2, 3(b, 当k为何值时，（ 1）kab与3ab垂直？（ 2）kab与3ab平行？平行时它们是同向还是反向？参考答案名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 一、 1 C 2C 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10C 11.D 设(2 , ),bkak k，而| 2 5b，则252 5,(4,2),( 4, 2)kkb或解析：21cos,423a ba b12.
21、答案 C 解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b时，a与c可以为任意向量；|baba，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角132213。14.6；15. 2(2cos3,2sin1), 288sin()1643abab4. 6由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222 446abababababab1y3,xOAODOC则,yx,OD设:解三、 17.:OBOC1y,4xOBOCBC得由012y即x0,1y23x073y即x0,4x1y得3,OA/BC由.11,6坐标为OD即6,y11,解得x联立,由,2121e2e3b,ee2a:.1
22、8 解,72111414ee4ee4a2122212.721111249ee12e4e9b2122212,272216e2eee6e2e3ee2ba2221212121.217727babacos名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 故12019.解：22(2 ) (3 )672ababaa bb2220cos60672,2240,aa bbaa(4)(2)0,4aaa20.解：设( ,)A x y，3AOOB，得3
23、AOOB，即(,)3(2, 1),6,3xyxy得( 6 ,3 )A，(4 , 2 ),2 0A BA B，5c o s10b ABbAB21.解：(1 ,2)( 3,2)(3,22)kabkkk3(1,2)3( 3,2)(10, 4)ab（1）()kab(3 )ab，得()kab(3 )10(3)4(22)2380,19abkkkk（2）() /kab(3 )ab，得14(3)10(22),3kkk此时10 41(,)(10, 4)333kab，所以方向相反。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -