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1、名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念 1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做 向量.2.1.2、向量的几何表示 1、带有方向的线段叫做 有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称 模），记作 AB ；长度为零的向量叫做 2、零 向量；长度等于 1 个单位的向量叫做 单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量 1、长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量.2.2.1、向量加法运算及其
2、几何意义 1、三角形加法法则 和 平行四边形加法法则.2、a b a b.2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的 相反向量.2、三角形减法法则 和 平行四边形减法法则.2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做 a，它的长度 1、规定：实数 向量的数乘.记作：精品学习资料 第 1 页，共 7 页 名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 和方向规定如下：a a,0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时,a 的方向与 a 的方向相反 当.：向量 a a 0 与 b，使 b a.2、平面向量共线定理 共线，当且仅当有
3、唯一一个实数 2.3.1、平面向量基本定理 e1 ,e2 1、平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任 一向量 a，有且只有一对实数 2，使 a 1 e1 2 e2 1,.2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 a xi y j x,y 1、.2.3.3、平面向量的坐标运算 1、设 a x1,y1,b x2,y2，则：a b x1 x2,y1 y2，a b x1 x2,y1 y2，a x1,y1，a/b x1 y2 x2 y1.2、设 A x1,y1,B x2,y2，则：AB x2 x1,y2 y1.2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A x1,y1
4、 ,B x2,y2 ,C x3,y3，则 x1 x2 y1 y2,线段 AB 中点坐标为，2 2 x x x y y y ABC 的重心坐标为 1 2 3 3,1 2 3.3 2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 a b a b cos 1、.2、a 在 b 方向上的投影为：a cos.2 2 3、a a.精品学习资料 第 2 页，共 7 页 名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 2 4、a a.5、a b a b 0.2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设 a x1,y1 ,b x2,y2，则：a b x1 x2 y1 y2 2 2 a x1 y1 a b a b 0 x
5、1 x2 y1 y2 0 a/b a b x1 y2 x2 y1 0 2、设 A x1,y1,B x2,y2，则：2 2 AB x2 x1 y2 y1.3、两向量的夹角公式 a a b b x1 x2 2 y1 y2 2 c o s x 2 2 y x y 1 1 2 2 4、点的平移公式 P(x,y)P(x,y)（新坐标），平移向量为 平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为 x y x y h k.PP(h,k)，则 a(h,k)平移后的图像的解析式为 函数 y f(x)的图像按向量 y k f(x h).2.5.1、平面几何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的应用举例 空间向量 空间
6、向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求 值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量：若 A、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l AB 平行的任意非 的一个方向向量；与 精品学习资料 第 3 页，共 7 页 名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 零向量也是直线 l 的方向向量.平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面，记作 n，如果 n，则称这个向量垂直于平面，那么向量 n 叫做平面 的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系 的法向量为 n(x,y,z)设平面 求出平面内两个不共线向量的坐标 a
7、(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)n n a b 0 0 根据法向量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量.（如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行 设直线 l1,l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 l1 l 2，只需证明 a b，即 a kb(k R).即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。线面平行 （法一）设直线 的方向向量是 a，平面 l 的法向量是 u，则要证明 l a u，只需证明 a u 0.即 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已
8、知直线的方 向向量是共线向量即可 面面平行 .的法向量为 u，平面 的法向量为 v，要证 u v，即证 u v.若平面 ，只需证 即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直 l1,l 2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 l1 设直线 l 2，只需证明 a b，即 a b 0.即：两直线垂直 线面垂直 两直线的方向向量垂直。（法一）设直线 的方向向量是 a，平面 l 的法向量是 u，则要证明 l a u，只需证明 精品学习资料 第 4 页，共 7 页 名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 a u.即 内的两个相交向量分别为 m、n，若 的方向向量是 a，
9、平面 （法二）设直线 l a m a n 0 0,则 l.即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内 两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直 的法向量为 u，平面 的法向量为 v，要证，只需证 u v，即证 u v 0.若平面 即：两平面垂直 4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角 两平面的法向量垂直。已知 a,b 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 a,b 上的任意两点，a,b 所成的角为，AC BD AC BD 则 cos.求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的 角 的方向向量为 a，平
10、面 的法向量为 u，直线与平面所成的角为，a 与 求法：设直线 l u 的夹角为，则 为 的余角或 的补角 的余角.即有：a a u u sin cos.求二面角 定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线 出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二 面角的面 l 二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射 线 AO l,BO l，则 AOB 为二面角 l 的平面角.如图：A B O O l l B A 的两个半平面的法向量分别为 m、n，再设 m、n 的夹角为 求法：设二面角，精品学习资料
11、第 5 页，共 7 页 名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 为 m、n 的夹角 二面角 l 的平面角为，则二面角 或其补角.根据具体图形确定 是锐角或是钝角：m m n n 如果 是锐角，则 cos cos，m m n n arccos 即；m m n n m n cos cos 如果 是钝角，则 arccos，即.m n 5、利用法向量求空间距离 l 点 若 Q 到直线 距离 l 外的一点,P 在直线 上，a 为直线 l l 的方向向量，=PQ，则点 l Q 为直线 b Q 到直线 距 1|a|2(|a|b|)2(a b)离为 h 点 A 到平面 的距离 外一点，点 若点 P 为平面 M 为平
12、面 内任一点，n，则 P 到平面 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值 平面 的法向量为.n MP n MP 即 d MP cos n,MP MP n MP n 直线 a 与平面 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面 的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。n MP n 即 d.两平行平面,之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。n MP 即.d n 异面直线间的距离 d 就是 设向量 n 与两异面直线 a,b 都垂直，M a,P b,则两异面直线 a,b 间
13、的距离 MP 在向量 n 方向上投影的绝对值。精品学习资料 第 6 页，共 7 页 名师归纳总结 学习必备 欢迎下载 n MP n 即 d.6、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：和这条斜线垂直 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 P PO PA a,O A 推理模式：a PA O,a OA A a 概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：和这条斜线的射影垂直 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也 PO PA a,O A 推理模式：a AO,a AP 概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理 设 AC 是平面 垂足为 D.设
14、 AB 与 内的任一条直线，(AD)所成的角为 AD 是 的一条斜线 AB 在 内的射影，且 BD AD，1，与 AC 所成的角为 2，AB 与 AC 所成的角 AD 为 则 cos cos 1 cos.B 2 1 2 A D C 8、面积射影定理 已知平面 与平面 内一个多边形的面积为 S S，它在平面，则 内的射影图形的面积为 S S，平面 所成的二面角的大小为锐二面角 S S S 射 c o s=.S9、一个结论 l l1、l2、l3，夹角分别为 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 2 2 2 2 2 2 2 1、2、l l1 2 l2 l3 cos cos cos 1,则有 s i n 2 1 2 3 3 2 2 2 si n s i n3.1（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.精品学习资料 第 7 页，共 7 页