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1、第一章平面向量2.1 向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运
2、算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy， 则1212,xx yy19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab坐标运算：设,ax y，则,ax yxy20、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,ax y，22,bxy， 其中0b， 则当且仅当12210 x yx y时， 向量a、0b b共线2.2 平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果1
3、e、2e是同一平面内 的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee （不共线的向量1e、2e作baCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页为这一平面内所有向量的一组基底）22、 分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy （当时，就为中点公式。）12.3 平面向量的数量积23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。） ：cos0,0,0180a ba ba
4、b零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量， 则0aba b 当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b运算律：a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,ax y，22,bxy，则12120abx xy y设a、b都 是 非 零 向 量 ，11,ax y，22,bxy，是a与b的 夹 角 ， 则121222221122cosx xy ya ba bxyxy知识链接：空间向量空间向量的许多知识
5、可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 A、B 是直线l上的任意两点， 则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量 . 平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面， 则称这个向量垂直于平面， 记作n， 如果n，那么向量n叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法） ：建立适当的坐标系设平面的法向量为( , , )nx y z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页求出平面内两个不共线向
6、量的坐标123123(,),( ,)aa aabb b b根据法向量定义建立方程组00n an b.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 . （如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线12,l l的方向向量分别是a b、， 则要证明1l2l， 只需证明ab， 即()akb kR. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即0a u. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二） 要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量
7、即可.面面平行若平面的法向量为u， 平面的法向量为v， 要证， 只需证uv， 即证uv. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线12,l l的方向向量分别是a b、，则要证明12ll，只需证明ab，即0a b. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一） 设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au.（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页0,.0a mla n则即：
8、直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为u， 平面的法向量为v， 要证， 只需证uv， 即证0u v. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知,a b为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是,a b上的任意两点，,a b所成的角为，则cos.AC BDAC BD求直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法： 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角
9、.即有：coss.ina ua u求二面角 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角 . 如图：求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为m n、， 再设m n、的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为m n、的夹角或其补角.O A B O A B l 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共
10、 15 页根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则coscosm nm n，即arccosm nm n；如果是钝角，则coscosm nm n，即arccosm nm n. 5、利用法向量求空间距离点 Q到直线l距离若 Q为直线l外的一点 ,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点 Q到直线l距离为221(|)()|haba ba点 A 到平面的距离若点 P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，平面的法向量为n，则 P 到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值. 即cos,dMPn MPnM PMPn MPn MPn直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，
11、直线上的各点到平面的距离相等。由此可知， 直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即.n MPdn两平行平面,之间的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.n MPdn异面直线间的距离设向量n与两异面直线,a b都垂直，,Ma Pb则两异面直线,a b间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。即.n MPdn6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它
12、也和这条斜线垂直推理模式：,POOPAAaPAaaOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,POOPAAaAOaaAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影， 且 BD AD ，垂足为 D.设 AB与 (AD) 所成的角为1， AD 与 AC所成的角为2， AB 与 AC所成的角为 则12coscoscos. aPOA21ABDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
13、6 页，共 15 页8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cos=.SSSS射原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、, 则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页基础练习一选择题1如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，
14、则以图中点A，B，C，D， E，F，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外， 与向量共线的向量共有 () A6 个B7 个C8 个D9 个解析： 选 D.与向量共线的向量有，共9 个，故选D. 2设不共线的两个非零向量e1，e2，且 k(e1e2)(e1ke2)，则实数k 的值为 () A1 B 1 C 1 D0 答案： A3已知向量是不共线向量e1，e2，给出下列各组向量：a2e1，b e1 e2； a 2e1e2，b e112e2；ae1e2，b 2e12e2； ae1e2，be1e2. 其中共线的向量组共有() A1 个B2 个C3 个D4 个答案： B4
15、已知 E、F 分别为四边形ABCD 的边 CD、BC 边上的中点， 设 a，b，则 () A.12(ab) B12(ab) C.12(ab) D.12(ba) 答案： B5下列计算正确的有() (7) 6a 42a； a2b(2a2b)3a；ab(ab)0. A0 个B1 个C2 个D3 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页解析： 对， 对， 错，因为ab(ab)0. 答案： C1化简所得结果是() A.B. C0 D. 答案： C2在 ABC 中， | 1，则 |的值为 () A0 B 1 C.3 D2 答案：
16、B3已知向量ab，且 |a|b|0，则向量ab 的方向 () A与向量a 方向相同B与向量a 方向相反C与向量b 方向相同D与向量b 方向相反答案： A4在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O， ，则 _. 答案： 25向量 ()()等于 () A. B. C. D. 解析： ()() ( )() .故选 C. 答案： C1如果 e1、e2是平面 内所有向量的一组基底，那么() A若实数1、2使 1e12e20，则 120 B空间任一向量a 可以表示为a1e12e2，这里 1、2是实数C对实数1、2，1e12e2不一定在平面内D对平面中的任一向量a，使 a1e12e2的实数
17、 1、2有无数对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页答案： A2 如果 3e14e2a,2e13e2b， 其中 a， b 为已知向量， 则 e1 _， e2_. 答案： e13a4be2 2a3b3设 e1，e2是平面内一组基底，如果3e12e2， 4e1 e2， 8e19e2，则共线的三点是 () AA、B、CBB、 C、DCA、B、DDA、C、D答案： C4 设 e1， e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中， 不能作为基底的是() Ae1 e2和 e1e2B3e12e2和 4e26e1Ce12e2和
18、e22e1De2和 e1e2解析： 4e26e1 2(3e12e2)，3e12e2与 4e26e1共线，故选B. 答案： B1若()2，3，且点 A 的坐标为 (1,2)，则点 B 的坐标为 () A(1,1)B.()1， 1C.()3，5D.()4， 4答案： C2已知平行四边形OABC(O 为原点 )， (2,0)， (3,1)，则 OC 等于 () A(1,1) B(1， 1) C(1， 1) D(1,1) 解析： (3,1)(2,0)(1,1)，故选 A. 答案： A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页3若
19、向量a(1,1)，b(1， 1)，c(1,2)，则 c 等于 () A12a32bB.12a32bC.32a12bD32a12b答案： B1若 a(2,3)，b (4， 1 y)，且 ab，则 y() A6B5C7D8 答案： C2已知点 M 是线段 AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，3525，若 ，则 等于() A.35B.25C.32D.23解析： 用，表示向量，. 35252525，35253535， 23. 答案： D1.若向量 a、 b 满足 |a|b|1，a 与 b 的夹角为60 ，则 a aab 等于 () A.12B.32C132D2 解析：选 B.a aa b|a|2|
20、a|b|cos60 11232. 2.设 a，b，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是() A(a b)c(ca)b0 Ba b0? a0 或 b0 C(b c)a(a c)b 不与 c 垂直D(3a4b) (3a 4b)9|a|216|b|2解析：选 D.由于数量积是实数，因此(a b)c，(c a)b 分别表示与c，b 共线的向量，运算结果不为 0，故 A 错误；当ab，a 与 b 都不为零向量时，也有a b0，故 B 错误；(b c)a (a c)b c (b c)a c(a c)b c0，故 C 错误；(3a4b) (3a4b)9a216b212a b12a b9|a
21、|2 16|b|2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页1.a(4，3)，b(5，6)，则 3|a|24a b 等于 () A23B57 C63 D83 解析： 选 D.|a|（ 4）2325，a b 4 53 6 2，3|a|24a b 3 524 (2)83.故选 D. 2.已知 A(2，1)，B(3，2)， C(1， 4)，则 ABC 是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形解析：选 B. (1，1)(3，3) 330.故选 B. 1设坐标原点为O，已知过点0，12的直线交函数y12x2的图
22、象于A、B 两点，则 的值为 () A.34B.43C34D43解析： 选 C.由题意知直线的斜率存在可设为k，则直线方程为ykx12，与 y12x2联立得12x2kx12，x22kx 10，x1x2 1，x1x22k，y1y2 kx112kx212k2x1x214k(x1x2)2 k2k21414， x1x2y1y2 11434. 二填空题2已知 A，B，C 是不共线的三点，向量m 与向量是平行向量，与是共线向量，则m_. 解析： A，B， C 不共线，与不共线，又 m 与，都共线，m0. 答案： 0 6 已知|a|3， |b|3， AOB120 ， 则|ab|_. 答案： 35已知向量 a
23、，b不共线，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则 xy_. 解析： 由题意，得 3x4y6 且 2x3y3，解得 x6，y3，xy3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页答案： 36如下图所示，已知E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的中点， EF 与 AC 交于点 G，若a，b，用 a、b表示_. 解析： E、F 分别为相应边中点，3434(ab)34a34b. 答案：34a34b4 已知 a()1，2 ， b()2，3 ， 实数 x， y满足 xayb ()3，4 ，则 x_
24、. 答案： 15若将向量 a(3，1)按逆时针方向旋转2得到向量 b，则 b的坐标为 _答案： (1， 3)6已知平行四边形ABCD 中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，则点 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页的坐标为 _答案：()3，57作用于原点的两个力F1()2，2 ，F2()1，3 ，为使它们平衡，需加力 F3_. 答案：()3，53 已知?ABCD 四个顶点的坐标为A(5,7)， B(3， x)， C(2,3)， D(4，x)，则 x_. 答案： 53.已知向量a，b 满足 |b|2，a 与
25、 b 的夹角为60，则 b 在 a 上的投影是 _解析： b 在 a 上的投影是 |b|cosa，b 2cos60 1. 答案： 1 4.已知 |a| 2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xa b 0 有实根， 则 a 与 b 的夹角的取值范围是_解析：由于 |a|2|b|0，且关于x 的方程 x2|a|x a b0 有实根，则 |a|24a b 0，设向量a 与 b 的夹角为 ，则 cosab|a|b|14|a|212|a|212， 3，. 答案：3，4.在边长为2的等边三角形ABC 中，设c， a， b，则 a bb c c a_ 解析： a bb cc a22cos 120 3 3
26、.答案： 3 5.已知 |a| |b|1， |3a2b| 3，则 |3ab|_解析：由已知 |3a2b|3，得 9|a|2 12ab4|b|29，ab13.|3ab|（3ab）29|a|2 6ab |b|223. 答案： 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A(1， 2)，B(1,4)，若点 C 满足 ，其中 0 1 且 1，则点 C 的轨迹方程为 _解析： 1， 1 ，又 (1 )， ()，又 B 与有公共点B， A、B、C 三点共线，0 1， C 点在线段AB 上运动，C 点的轨迹方程为3xy10(1 x1)答案： 3xy10(1x1) 三解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页