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1、 1 平面向量 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如： 2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是|ABAB)； 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与
2、两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！ （因为有0)； 三点ABC、 、共线 AB AC、共线； 6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如 下列命题： （1）若ab，则ab。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若ABDC， 则ABCD是平行四边形。 （4） 若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5） 若,ab bc， 则ac。（6）若/ , /ab bc，则/ac。其中正确的是_（答： （4） （5） ） 二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表
3、示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y， 称, x y为向量a的坐标，a, x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。如 （1）若(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c ，则c _（答：1322ab） ；
4、 （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1, 2)ee B. 12( 1,2),(5,7)ee C. 12(3,5),(6,10)ee D. 1213(2, 3),( ,)24ee （答：B） ； （3）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线,且,ADa BEb,则BC可用向量, a b表示为_（答：2433ab） ； （4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr 的值是_ （答：0） 四实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下： 1, 2aa当0 时，a的方向与a的方向相同，当0
5、 时，a的方向与a的方向相反，当0 时，0a，注意：a0。 2 五平面向量的数量积： 1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBb，AOB 0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当2时，a，b垂直。 2 平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|cosa b叫做a与b的数量积（或内积或点积） ，记作：ab，即abcosa b。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）已知11(1, ),(0,),22abcakb dab，c与d的夹角为4，则k等于_ （答：1） ； （2）已知2,5,3
6、aba b ，则ab等于_ （答：23） ； （3）已知, a b是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为_ （答：30） 3b在a上的投影为|cosb，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知3|a，5|b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为_（答：512） 4ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a与b在a上的投影的积。 5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： 0aba b； 当a，b同向时，aba b，特别地，222,aa aaaa；当a与b反向时，aba b；非零向量a，b夹角的计算公式：cosa ba b；| |a ba b。如 （1）已知)2 ,(a，)2
7、 ,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_ （答：43 或0且13） ； 六向量的运算： 1几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加 法 还 可 利 用 “ 三 角 形 法 则 ”： 设,ABa BCb， 那 么 向 量AC叫 做a与b的 和 ， 即abABBCAC； 向量的减法：用“三角形法则” ：设,ABa ACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 （1）化简：ABBCCD_；ABADDC_；()()ABCDACBD_ （答：AD；CB；0） ； （2
8、）若正方形ABCD的边长为 1，,ABa BCb ACc，则|abc_ （答：2 2） ； 2坐标运算：设1122( ,),(,)ax ybxy，则： 向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。如 3 （1）已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 （答：12） ； （2）已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2, 5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是 （答： （9,1） ） 实数与向量的积： 1111,ax yxy。 若1122(,),(,)A x yB xy，则2121,ABx
9、x yy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设(2,3),( 1,5)AB ，且13ACAB，3ADAB，则 C、D 的坐标分别是_ （答：11(1,),( 7,9)3） ； 平面向量数量积：1212a bx xy y。如 已知向量a（sinx，cosx）, b（sinx，sinx）, c（1，0）,若 x3，求向量a、c的夹角； 向量的模：222222|,|axyaaxy。如 已知, a b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3 |ab_ （答：13） ； 两点间的距离：若1122,A x yB xy，则222121|ABxxyy。 七向量的运算律： 1
10、交换律：abba， aa ，a bb a； 2结合律：,abcabc abcabc， aba bab； 3分配律：,aaaabab，abca cb c 。 如 下列命题中： cabacba)(； cbacba)()(； 2()ab2|a 22| |abb； 若0ba，则0a或0b；若,a bc b则ac；22aa；2a bbaa；222()a bab；222()2abaa bb 。其中正确的是_（答：） 提醒： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向
11、量，切记两向量不能相除(相约)； （2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(，为什么？ 八向量平行(共线)的充要条件：/abab22()(|)a ba b1212x yy x0。如 (1)若向量( ,1),(4, )axbx，当x_时a与b共线且方向相同（答：2） ； （2）已知(1,1),(4, )abx，2uab，2vab，且/uv，则 x_（答：4） ； （3）设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk，则 k_时，A,B,C 共线（答：2 或 11） 九向量垂直的充要条件：0| |aba babab 12120 x xy y. 如 (1)已知( 1,2),(3,)OAOBm ，若OAOB，则m （答：32） ； （2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，90B，则点 B 的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1） ） ； （3）已知( , ),na b向量nm，且nm，则m的坐标是_ （答：( ,)(, )bab a或）