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1、计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院五章代数插值 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学
2、院院下表是2004年8月11日男子赛跑奥运会纪录x1002004008001500y9.84 19.32 43.49 102.58 212.07试建立当今成年男子赛跑所需时间与距离之间的函数关系，并测算男子1000米赛跑奥运会纪录大概为多少？例题例题1计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院其中p(x)称为插值函数，f(x)称为被插值函数。xi称为节点。要求:在节点xi 处的函数值相等，即p(xi)=yi=f(xi).所谓插值就是
3、:欲求:一个简单函数p(x)用于逼近f(x)，这种问题称为插值问题插值问题。已知：函数f(x)在n+1个互异点xi 处的函数值(或变量间的一组对应数据)yi=f(xi)(i=0,1,2,，n)，一、插值的基本概念：一、插值的基本概念：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院若取插值函数p(x)为多项式，则称为代数插值。满足条件pn(xi)=yi=f(xi).定义：设函数f(x)在区间a，b上有定义，且已知它在n+1个互异节点ax0
4、 x1xi b，处的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,，n)，若存在一个次数不超过n的多项式pn(x)=a0+a1x+anxn则称pn(xi)为f(x)的n次插值多项式。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院插值函数的存在唯一性：满足条件pn(xi)=yi=f(xi).定理：定理：已知函数f(x)在n+1个互异节点ax0 x1xi b处的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,，n)，pn(x)=a0+a1x+anxn那么
5、存在唯一一个次数不超过n的多项式：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院证明证明：设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为：由插值条件由插值条件 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院此方程组的系数行列式为
6、此方程组的系数行列式为 范德蒙行列式范德蒙行列式！当当时时，D 0，因此，因此，Pn(x)由由a0,a1,an唯一确定。唯一确定。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院图图11插值多项式插值多项式 计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院拉格朗日（Lagrange）
7、、牛顿（Newton）、埃特金(Aitken)、埃尔密特（Hermite）分别给出了不同的解决方法。常用的插值方法有：二、插值方法二、插值方法计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院(一一)拉格朗日插值拉格朗日插值拉格朗日（Lagrange）插值的基本思想是，把Ln(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,n)的构造。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science an
8、d TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院求通过两点A(x0，y0)，B(x1，y1)的一条直线，1.线性插值，即线性插值，即n=1的情况的情况已知函数y=f(x)在两个点x0，x1上的值为y0，y1，要求多项式y=L1(x)，使L1(x0)=y0,L1(x1)=y1。其几何意义为计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院x0 x1xy0y1y=L1(x)y=f
9、(x)y一次插值多项式一次插值多项式计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院其中其中由直线两点式方程可知，通过点(x0,y0)和(x1,y1)的直线方程为写为：写为：L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1它也可变形为计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院显然有：
10、l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，L1(x0)=y0，L1(x1)=y1 我们称l0(x)为点x0的一次插值基函数，l1(x)为点x1的一次插值基函数。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院插值函数L1(x)是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。即 li(xj)=ij，可写为 L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1
11、线性插值公式线性插值公式计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院2.抛物插值，即抛物插值，即n=2的情况的情况线性插值只利用两对值(x0,y0)及(x1,y1)求得y=f(x)的近似值，误差较大。L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2现用过三点(x0,y0)，(x1,y1)及(x2,y2)的二次曲线L2(x)近似代替y=f(x)。要求计算方法与数值计算University of Shanghai for Sci
12、ence and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院L2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。与线性插值插值类似的，设L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2其中li(xj)是二次多项式，且li(xj)=ij，则有计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院3.一般情况一般情况l我们看到，两个插值
13、点可求出一次插值多项式L1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式L2(x)。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式Ln(x)，如下所示：这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院插值余项插值余项 定理定理若f(x)在包含着插值节点x0,x1,xn的区间a,b上n+1次可微分,则对任意x,xa,b,有与x有关的(ab)存在,使得定义定义：
14、称插值函数的误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)为插值多项式Ln(x)的余项。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院函数值表-0.223144-0.356675-0.693147-0.916291lnx0.80.70.50.4x例例设f(x)=lnx,并假定已给出值表试近似计算ln(0.6)的值，并指出精度。解：利用3次Lagrange插值公式,简单计算过程如下：计算方法与数值计算University of Shanghai f
15、or Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院综合上述,我们有:真值：ln(0.6)=-0.510826，近似值：L3(0.6)=-0.509975，真误差：ln(0.6)-L3(0.6)=-0.000851，估计的上界：|ln(0.6)-L3(0.6)|n 时恒为零。计算方法与数值计算Univer
16、sity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院12n 1(x x0),2(x x0)(x xn 1)n 1Nn(x)Rn(x)ai=f x0,xi牛顿插值多项式牛顿插值多项式计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院Nn(x)=fx0+(x x0)fx0,x1+(x x0)(x x1)fx0,x1,x2+
17、(x x0)(x x1)(x xn 1)fx0,x1,xnNn+1(x)=Nn(x)+(x x0)(x x1)(x xn)fx0,x1,xn+1余项：余项：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院xfx一阶差商二阶差商三阶差商x0fx0 x1fx1fx0,x1x2fx2fx1,x2fx0,x1,x2x3fx3fx2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3差商表差商表第一建立差商表：Newton的方法步骤：的方法步骤：计算方
18、法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院第二写出牛顿插值多项式Nn(x)=fx0+(x-x0)fx0,x1+(x-x0)(x-x1)fx0,x1,x2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xnNn+1(x)=Nn(x)+(x-x0)(x-x1)(x-xn)fx0,x1,xn+1计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Sci
19、ence 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院练习：练习：1已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的二次Newton插值多项式。l解：设x0=-1,x1=1,x2=2,则计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院Newton插值例题插值例题1：碳含量碳含量x(%)0.100.300.550.700.80200C时电阻时电阻y15182122.623.8试写出Newton插值多项式N3(x)和N4(
20、x),在钢线碳含量对电阻的效应的研究中,获得数据如下：并计算N3(0.4)和N4(0.4)的值。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院解解:建立Newton插商表kxkfxk一阶二阶三阶四阶00.101510.30181520.552112 6.6666730.7022.610.66667 3.333335.55556940.8023.8125.3332617.3331716.825138计算方法与数值计算University
21、of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院写出牛顿插值多项式：N4(x)=N3(x)+(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x 3)fx0,x1,x2,x3,x4N3(x)=fx0+(x-x0)fx0,x1+(x-x0)(x-x1)fx0,x1,x2+(x-x0)(x-x1)(x-x2)fx0,x1,x2,x3=15+15(x-0.1)-6.666667(x-0.1)(x-0.3)+5.555569(x-0.1)(x-0.3)(x-0.55)N3(0.4)=19.27
22、50N3(x)+16.825138(x-0.1)(x-0.3)(x-0.55)(x-0.70)N4(0.4)=19.297714计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院练习：练习：2.现有一组实验数据如下表，1分别用线性插值与二次插值计算f(1.64)的近似值；2写出f(x)的三次插值多项式;3写出f(x)的三次牛顿(Newton)插值多项式x0.41.52.33.6f(x)4.7622.2536.4962.36L1(1.6400
23、00)=24.741999;L2(1.640000)=24.649599计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院3.差分与等距节点公式差分与等距节点公式向前差分向前差分iiifff=+1ikikikikffff1111)(+=向后差分向后差分111 =ikikikfffi 1iifff=中心差分中心差分其中其中当节点当节点等距等距分布时分布时:（k 个差分因子）个差分因子）记 fi=f(xi)=f(x0+ih)计算方法与数值计算U
24、niversity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院差分的重要性质：差分的重要性质：性质性质3：若：若f(x)是是m次多项式，则次多项式，则是是性质性质1：常数的差分等于零常数的差分等于零性质性质2：差分算子为线性算子差分算子为线性算子次多项式，且次多项式，且性质性质4：这个性质类比于这个性质类比于 计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海
25、 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院性质性质5：（类比于分部积分法则类比于分部积分法则）性质性质6：当节点当节点xk是等距时是等距时，差分差商存在着关系：差分差商存在着关系：差分值可由函数值算出：差分值可由函数值算出：其中其中计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院牛顿公式牛顿公式牛顿前差公式牛顿前差公式其中其中设设，则，则)()()(000 xfhtxNxNknknn=+=Cnt计算方法与数值计算University of
26、 Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院例.给出函数y=f(x)=shx在x0.5,0.8的部分函数值如下：xi0.500.550.600.650.700.750.80f(xi)0.5210.5780.6370.6970.7590.8220.888试求x=0.52处的函数f(x)的近似值(0.5437538)计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理
27、理 工工 大大 学学 理理 学学 院院牛顿后差公式牛顿后差公式将节点顺序倒置：将节点顺序倒置：注：注：一般当一般当x靠近靠近x0时用前插，靠近时用前插，靠近xn 时用后插，故两时用后插，故两种公式亦称为种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。k=0设设，则，则)()1()()(nknknnnxfhtxNxN =+=C-tk计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院4.埃特金插值公式埃特金插值公式 埃特金(Aitken)插值
28、的构造是基于这样的直观想象：平面上的两个点可以连成一条直线,对应一个线性函数；把线性函数看作形式点,经线性组合,可构成二次函数；把二次函数再看作形式点,经线性组合,可构成三次函数。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院引入记号引入记号：节点为节点为的的k次次插值多项式插值多项式:节点为节点为的的k次次插值多项式插值多项式:即满足即满足即满足即满足1记号记号：x x0 x1 xnf(x)y0y1 yn计算方法与数值计算Univer
29、sity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院2 2 逐步插值法的思想逐步插值法的思想高阶高阶L-插值多项式用低阶插值多项式用低阶L-插值多项式的插值多项式的组合得到组合得到例例已知线性插值已知线性插值求节点为求节点为的的（抛物线插值）（抛物线插值）令令满足满足则有则有验证验证计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理
30、理 学学 院院xf(x)x0f(x0)x1f(x1)P0,1(x)x2f(x2)P0,2(x)P0,1,2(x)x3f(x3)P0,3(x)P0,1,3(x)P0,1,2,3(x)Aitken插值表插值表计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院l例已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多项式。解：设x0=-1,x1=1,x2=2(x0,y0)与(x1,y1)作线性插值(x0,y0)与(x2,y
31、2)作线性插值(x1,p0,1)与(x2,p0,2)作线性插值计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院xf(x)-121121例的例的Aitken插值表插值表计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院取等距节点xi=-5+i(i=0,1,10),试建立插值多项式L10(
32、x),并作图形,观察L10(x)对f(x)的逼近效果。5.分段插值分段插值例给定(x-5,5)。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院插值多项式与函数图形比较如下：Rung现象现象计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院为了避免Runge现象的发生,我们很自然地会想
33、到把区间-5,5等分为10个小区间,在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）,按照我们已知的方法,得到的将是一个分段线性插值函数。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院分段低次插值分段低次插值分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间xi，xi+1上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近f(x):计算方法与数值计算University of Shanghai for Science an
34、d TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。yxoy=p(x)计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院6、埃尔米特插值、埃尔米特插值(2)H(xi)=yi=f(xi),H(xi)=yi=f(xi).定义：已知函数f(x)在n+1个互异点xi 处的函数值和一阶导数值：若存在一个函数H(x)，满足：则H(x)称为f(x)在
35、n+1个互异点xi 的埃尔米特埃尔米特(Hermite)插插值多项式值多项式。(1)H(x)是一个次数不超过2n+1的多项式；yi=f(xi),yi=f(xi)(i=0,1,2,，n)，(1)计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定理：埃尔米特(Hermite)插值多项式是存在且唯一的。证明从略。Hermite插值多项式的构造令-(2)计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and
36、 TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院-(3)-(4)显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于2n+1次，且满足插值条件(1).其中hk(x),hk(x)(k=0,1,2,.,n)都是2n+1次待定多项式，并且它们满足以下条件：.计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院1.求解hk(x)(k=0,1,2,，n)由条件(3)知xi(i=0,1,2,
37、，n，ik)是hk(x)的二重零点.且hk(x)是2n+1次多项式，为此设：hk(x)(ax+b)lk2(x),其中lk(x)为Lagrange插值基多项式为使hk(xk)(axk+b)lk2(xk)(axk+b)=1;hk(xk)2(axk+b)lk(xk)lk(xk)+alk2(xk)2(axk+b)lk(xk)+a=2lk(xk)+a=0,故hk(x)1-2lk(xk)(x-xk)lk2(x),计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理
38、学学 院院2.求解由条件(4)知xi(i=0,1,2,，n，ik)是的二重零点,且 是2n+1次多项式.为此设：结合插值条件(4)可得：于是有计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院于是可得于是可得HermilteHermilte插值多项为插值多项为计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大
39、学学 理理 学学 院院.),()()()()()(2)2(内的某一点是插值区间其中，插值公式的余项为插值余项定理定理ba2x2nfxHxfHermiteHermite 2n+xx +2)!=-其中计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院特别当n1 时，插值条件为：于是有：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海
40、海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院例1.解:计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Her
41、mite插值计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院7、样条函数插值、样条函数插值“样条”这个词本来是指在飞机或轮船设计过程中，为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具有弹性的细长条。使用时，用压铁在一些点上固定，其它地方自已弯曲，然后画出一条光滑曲线。事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。计算方法与
42、数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定义：定义：设对设对y=f(x)在区间在区间a,b上给定一组节点上给定一组节点 a=x0 x1x2xn=b 和相应的函数值和相应的函数值y0,y1,yn，如果存在函数如果存在函数s(x)具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个子区间在每个子区间xj 1,xj(j=1,2,n)上上s(x)是不高于三是不高于三次次的多项式；的多项式；（2）s(x)，s(x)，s(x)在在a,b上连续；则称上连续；则称s(
43、x)为为三次样条函三次样条函数数。如再有如再有（3）s(xj)=yj(j=0,1,2,n)，则称则称s(x)为为y=f(x)的的三次样条插三次样条插值函数值函数。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院f(x)H(x)S(x)注：注：三次样条与分段三次样条与分段Hermite插值的根本区别插值的根本区别在于在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道f 的导数值的导数值（除了在（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要）
44、；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院三次样条插值多项式的构造方法三次样条插值多项式的构造方法设设f(x)是定义在是定义在a,b区间上的一个二次连续可微函数区间上的一个二次连续可微函数，为分划：为分划：S(x)在在xi-1,xi上是线性函数，用一次插值有表达式：上是线性函数，用一次插值有表达式：令令 i=0,1,2,n在每一个小区间在每一个小区
45、间xi-1,xii=1,n上都是三次多项式，上都是三次多项式，Mi是待定参数计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院其中其中，将上式两次积分得将上式两次积分得：Ai 和和Bi 为积分常数。为积分常数。因为因为所以它满足方程：所以它满足方程：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理
46、 学学 院院求求Mi，确定确定S(x)的表达式的表达式。对上式求导有：对上式求导有：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院于是于是 由由得得计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院各项除以各项除以hi+hi+1，并记，并记 则则（*）式）式可以写为可以写为（*）计算
47、方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院边界条件边界条件最后一个方程。若取最后一个方程。若取 M0=Mn=0，称为三次自然样条。称为三次自然样条。（1）给定）给定补充补充（）式）式的第一个和的第一个和有有（2）给定两端点导数值给定两端点导数值一般地，仅有插值条件是不够的，还需考虑边界条件，边界条件根据问题实际情况给出。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyC
48、ollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院分别补充为方程组分别补充为方程组（）式）式的第一个和最后一个方程组。的第一个和最后一个方程组。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院解方程组解方程组经补充后的方程组为经补充后的方程组为其中，对端点条件其中，对端点条件（1），有，有计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and Technolog
49、yCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院对端点条件对端点条件（2），），有有（6.10）是一个三对角方程组是一个三对角方程组，可用追赶法解之。可用追赶法解之。此方程组系数严格对角占优此方程组系数严格对角占优！从而存在唯一解！从而存在唯一解。求出了求出了Mi(i=0,1,n)，也就求得了也就求得了S(x)在各个在各个小区间的表达式小区间的表达式Si(x)（i=0,1,2,n）计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理
50、工工 大大 学学 理理 学学 院院若取等距节点若取等距节点hi=h,i=1,n 1计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院算算 法：法：（1）i=1,2,nhi=xi xi-1（2）i=1,2,n计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院（3）解解n 1阶三对角方程组阶