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1、第五章第五章 插值方法插值方法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第五章第五章 插值方法插值方法l插值的基本概念插值的基本概念lLagrange插值插值l分段低次插值分段低次插值l均差与均差与Newton插值插值lHermite插值插值l三次样条插值三次样条插值病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程5.1 代数插值问题代数插值问题例例.某地区某年夏季时节间隔某地区某年夏季时节间隔 30 天的日出日落时天的日出日落时间为间为 5月月1日日 5月月31日
2、日 6月月30日日日出日出 5：51 5：17 5：10日落日落 19：04 19：38 19：50插值插值：研究用简单函数为各种离散数据建立连续：研究用简单函数为各种离散数据建立连续数学模型的方法。数学模型的方法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程日照时间的变化设为日照时间的变化设为 y(x)=a0+a1x+a2x2,求出求出a0，a1，a2，即可得到，即可得到5、6月份的日照时月份的日照时间的变化规律。间的变化规律。根据三组数据根据三组数据:(1,15.2167)，(31,14.35)，(61,14.6667)导出
3、关于导出关于a0，a1，a2的线性方程组的线性方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定义定义已知函数已知函数已知函数已知函数y=f(x)在在在在a,b有定义，且已知它在有定义，且已知它在有定义，且已知它在有定义，且已知它在n+1个互异节点个互异节点个互异节点个互异节点a x0 x1xnb上的函数值上的函数值上的函数值上的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1),yn=f(xn)，若存在一个次数不超过若存在一个次数不超过若存在一个次数不超过若存在一个次数不超过n n次的多项式次的多项式次的多项式次的多项式 Pn(x)
4、=a0+a1x+a2x2+anxn满足条件满足条件满足条件满足条件 Pn(xk)=yk (k=0,1,n)则称则称则称则称Pn(x)为为为为f f(x x)的的的的n n次插值多项式。次插值多项式。次插值多项式。次插值多项式。点点点点x x0 0,x x1 1,x xn n称插值节点，称插值节点，称插值节点，称插值节点，f f(x x)为被插值函数。为被插值函数。为被插值函数。为被插值函数。a a,b b 称称称称插值区间，点插值区间，点插值区间，点插值区间，点x x称插值点。称插值点。称插值点。称插值点。插值点在插值区间内的叫插值点在插值区间内的叫插值点在插值区间内的叫插值点在插值区间内的叫
5、内插内插内插内插，否则叫，否则叫，否则叫，否则叫外插外插外插外插。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设设设设 P Pn n (x x)=)=a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a an nx xn n是是是是y y=f f(x x)在在在在 a a,b b 上的上的上的上的n n+1+1个互异节点个互异节点个互异节点个互异节点x x0 0,x x1 1,x xn n的插值多项的插值多项的插值多项的插值多项式，则求式，则求式，则求式，则求P Pn n(x x)问题归结为求系数问题归结为求系数问题归
6、结为求系数问题归结为求系数a a0 0,a a1 1,a an n。定理定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。次插值问题的解是存在而且唯一的。证明：证明：由插值条件：由插值条件：由插值条件：由插值条件：P Pn n (x xk k)=)=y yk k (k k=0,1,=0,1,n n)得关于得关于得关于得关于a a0 0,a a1 1,a an n的的的的n n+1+1阶线性方程组阶线性方程组阶线性方程组阶线性方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故故Pn(x)存在且唯一。存在且唯一。因因故上式不为故上式不为0。
7、据据Cramer法则，方程组解存在且唯一。法则，方程组解存在且唯一。其系数行列式是其系数行列式是Vandermonde行列式行列式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程给定插值节点给定插值节点 x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性插值多项式求线性插值多项式L1(x)=a0+a1x，使满足，使满足:L1(x0)=y0,L1(x1)=y1.5.2 Lagrange插值插值一、线性插值与抛物插值一、线性插值与抛物插值1.线性插值：线性插值：n=1情形情形y=L1(x)的几何意义就是过点的几何意义就是过点(x0,
8、y0)，(x1,y1)的直线。的直线。L1(x)的表达式：的表达式：点斜式点斜式:两点式两点式:病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由两点式可以看出，由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为y0，y1。即。即显然，显然，l0(x)及及l1(x)也是线性插值多项式，在节也是线性插值多项式，在节点点x0,x1上满足条件：上满足条件：l0(x0)=1,l0(x1)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1.称称l0(x)及及l1(x)为线性插值基函数。为
9、线性插值基函数。(j,k=0,1)即即病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0.l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.2.抛物插值：抛物插值：n=2情形情形假定插值节点为假定插值节点为x0,x1,x2，求二次插值多项式求二次插值多项式 L2(x)，使使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)y=L2(x)的的几何意义几何意义就是过就是过(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三点的抛物线。三点的抛物
10、线。采用采用基函数方法基函数方法，设，设L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2此时基函数此时基函数l0(x),l1(x),l2(x)是二次函数，且在节点是二次函数，且在节点上满足：上满足：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程满足上式的插值基函数很容易求出。如求满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x),因因x1,x2 为其零点，故可表为为其零点，故可表为故故即即(j,k=0,1,2)其中其中A为待定系数，由为待定系数，由l0(x0)=1,得得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳
11、定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程显然显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件满足条件L2(xj)=yj (j=0,1,2)同理同理将将l0(x),l1(x),l2(x)代入得代入得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程取取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,y2=4.取取x0=4,x1=9,x2=16例例 已知已知求求解解（1）线性插值：线性插值：取取x0=4,x1=9（2）抛物插值：抛物插值：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性
12、，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设有设有n+1个互异节点个互异节点x0 x1xn，且，且yi=f(xi)(i=0,1,2,n)构造构造Ln(x)，使，使 Ln(xj)=yj (j=0,1,2,n)二、二、Lagrange插值多项式插值多项式定义定义 若若n次多项式次多项式lj(x)(j=0,1,n)在在n+1个节个节点点x0 x1xn上满足条件上满足条件(j,k=0,1,n)则称这则称这n+1个个n次多项式次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为为节点节点x0,x1,xn上的上的n次次插值基函数插值基函数。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在
13、一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由由n=1,2时的讨论可得时的讨论可得(k=0,1,2,n)或记为或记为(k=0,1,2,n)故满足插值条件的多项式为故满足插值条件的多项式为称称Lagrange插值多项式插值多项式。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理 设设设设 f f(x x)在在在在 a a,b b 上具有上具有上具有上具有n n阶连续导数阶连续导数阶连续导数阶连续导数,且且且且f f(n n+1)+1)(x x)存在存在存在存在,节点节点节点节点a a x x0 0 x x1 1时时Ln在在-5
14、,5上不收敛。上不收敛。Runge证明了，存在一个常数证明了，存在一个常数c3.63，使得当，使得当|x|c时，时，lim(Ln(x)=f(x)(n)；而当；而当|x|c时，时，Ln(x)发散。发散。下图给出当下图给出当n=10时，时，y=L10(x)及及f(x)=1/(1+x2)在在-5,5上的图形。上的图形。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程取取xk=-5+k 计算计算:f(xk)(k=0,1,10)构造构造L10(x).取取:tk=-5+0.05k (k=0,1,200),计算计算:L10(tk)L10(t)f(
15、t)f(x)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、分段线性一、分段线性Lagrange插值插值构造构造Lagrange线性插值线性插值1.分段线性插值的构造分段线性插值的构造设插值节点为设插值节点为xi，函数值为，函数值为yi，i=0,1,2,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，任取两个相邻的节点任取两个相邻的节点xk，xk+1，形成一个插值区，形成一个插值区间间xk，xk+1,k=0,1,2,n-1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过
16、程显然显然我们称由上式构成的插值多项式我们称由上式构成的插值多项式L1(x)为为分段线性分段线性Lagrange插值多项式插值多项式。i=0,1,2,n病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程内插外插外插病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故也称折线插值，如右图：故也称折线插值，如右图：故也称折线插值，如右图：故也称折线插值，如右图：但曲线的光滑性较差，但曲线的光滑性较差，但曲线的光滑性较差，但曲线的光滑性较差，且且且且在节点处有尖点。在节点处有尖点。
17、如果增加节点的数量，减小如果增加节点的数量，减小如果增加节点的数量，减小如果增加节点的数量，减小步长，会改善插值效果。步长，会改善插值效果。步长，会改善插值效果。步长，会改善插值效果。因此因此因此因此则则则则病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由前述余项定理可知，由前述余项定理可知，n次次Lagrange插值多项式插值多项式的余项为：的余项为：2.分段线性插值的误差估计分段线性插值的误差估计则分段线性插值则分段线性插值L1(x)的余项为的余项为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长
18、繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、分段二次二、分段二次Lagrange插值插值1.分段二次插值的构造分段二次插值的构造设插值节点为设插值节点为xi，函数值为，函数值为yi，i=0,1,2,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，任取三个相邻的节点任取三个相邻的节点xk-1，xk，xk+1，以，以 xk-1，xk+1为插值区间构造二次为插值区间构造二次Langrange插值多项式：插值多项式：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.分段二次插值的误差估计分段二次插值的误差估计由于由于那么分段二次插值那么分段二次插
19、值L2(x)的余项为：的余项为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例:解解:(1)分段线性分段线性Lagrange插值的公式为插值的公式为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程同理病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程(2)分段二次分段二次Lagrange插值的公式为插值的公式为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的
20、病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程5.4 均差与均差与Newton插值插值一、均差及其性质一、均差及其性质Lagrange插值多项式理论上较方便，但当节点增插值多项式理论上较方便，但当节点增加时，全部基函数加时，全部基函数lk(x)都要变，在实际运算中并都要变，在实际运算中并不方便。不方便。可将插值多项式表示为如下形式：可将插值多项式表示为如下形式：其中其中a0,a1,an待定，可由待定，可由Pn(xi)=fi (i=0,1,n)确定确定.fi 为节点处的函数值为节点处的函数值.病原体侵入机体，消弱机体防御
21、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程当当x=x0时，时，当当x=x1时，时，当当x=x2时，时，病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程再继续下去待定系数的形式将更复杂，为此引再继续下去待定系数的形式将更复杂，为此引入均差的概念入均差的概念:病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定义定义定义定义 设设设设f f(x x)在互异节点在互异节点在互异节点在互异节点x xi i处的函数值为处的函数值为处的函数值为处
22、的函数值为f fi i，i i=0,1,=0,1,n n，称，称，称，称为为为为f f(x x)关于节点关于节点关于节点关于节点x xi i，x xj j的一阶均差，的一阶均差，的一阶均差，的一阶均差，两个一阶均差的均差两个一阶均差的均差两个一阶均差的均差两个一阶均差的均差称为称为称为称为f f(x x)关于节点关于节点关于节点关于节点x xi i，x xj j，x xk k的二阶均差，的二阶均差，的二阶均差，的二阶均差，一般地，两个一般地，两个一般地，两个一般地，两个n n-1-1阶的均差阶的均差阶的均差阶的均差称为称为称为称为n n阶均差（也称差商）。阶均差（也称差商）。阶均差（也称差商）
23、。阶均差（也称差商）。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程均差的性质：均差的性质：（2）均差具有对称性，即任意调换节点的次序，均差具有对称性，即任意调换节点的次序，均差的值不变。均差的值不变。如如（1）f(x)的的k阶均差可表示为函数值阶均差可表示为函数值f(x0),f(x1),f(xn)的线性组合，即的线性组合，即（3）设）设f(x)在在a,b上具有上具有n阶导数，且阶导数，且x0,x1,xn a,b，则，则n阶均差与导数的关系如下：阶均差与导数的关系如下：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，
24、且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程均差的计算方法(表格法):规定函数值为规定函数值为零阶均差零阶均差均差表病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例：例：已知函数已知函数f(x)的函数值列表如下：的函数值列表如下：列出一至三阶的均差表。列出一至三阶的均差表。解：解：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、二、Newton插值公式插值公式据均差定义，把据均差定义，把xxi看成看成a,b上一点，则上一点，则即即因此可得因此可得病原体侵入机体，
25、消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程将后一式代入前一式，得将后一式代入前一式，得其中其中称称Nn(x)为为Newton均差插值多项式均差插值多项式。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（1）Newton插值多项式的系数为均差表中各阶插值多项式的系数为均差表中各阶均差的第一个数据；均差的第一个数据；注：注：（2）Newton插值多项式的基函数为插值多项式的基函数为i(x)，i=0,1,n；（3）Newton插值多项式的插值余项为插值多项式的插值余项为Rn(x)。病原
26、体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例：例：已知已知f(x)的函数表，求的函数表，求4次牛顿插值多项式，次牛顿插值多项式，并由此计算并由此计算f(0.596)的近似值。的近似值。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程这说明截断误差很小。这说明截断误差很小。这说明截断误差很小。这说明截断误差很小。可得可得截断误差为：截断误差为：从表中可以看到从表中可以看到4阶均差几乎为常数，故取阶均差几乎为常数，故取4次次插值多项式即可，于是：插值多项式即可，于是：病原体
27、侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程此例中，五阶均差此例中，五阶均差fx,x0,x1,x4是用是用fx0,x1,x5来近似的。来近似的。另一种方法是取另一种方法是取x=0.596，由，由f(0.596)0.61392求求得得fx,x0,x1,x4的近似值，进而计算的近似值，进而计算|R4(x)|。截断误差的估计：截断误差的估计：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程5.5 埃尔米特插值（埃尔米特插值（Hermite）Newton插值和插值和Lagrange
28、插值虽然构造比较简插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。已知节点处函数值及对应节点导数值，求使其已知节点处函数值及对应节点导数值，求使其函数值及导数值均相等的插值多项式。函数值及导数值均相等的插值多项式。埃尔米特插值的基本思想为：埃尔米特插值的基本思想为：设设a x0 x1xnb上，上，(j=0,1,2,n)求求H(x)，使使(j=0,1,2,n)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程共有共有
29、2n+2个条件，可唯一确定一次数个条件，可唯一确定一次数 2n+1的多的多项式项式H2n+1(x)H(x)。形式：形式：一般来说，一般来说，Hermite插值多项式的次数如果太高插值多项式的次数如果太高会影响收敛性和稳定性，因此会影响收敛性和稳定性，因此2n+1不宜太大，不宜太大，仍用分段插值。仍用分段插值。故仅考虑故仅考虑n=1的情况，即三次的情况，即三次Hermite插值。插值。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、三次一、三次Hermite插值公式插值公式考虑只有两个节点的插值问题：考虑只有两个节点的插值问题：设
30、设f(x)在节点在节点x0，x1处的函数值为处的函数值为y0，y1；在节；在节点点x0，x1处的一阶导数值为处的一阶导数值为y0，y1。两个节点最高可以用两个节点最高可以用3次次Hermite多项式多项式H3(x)作为插值函数。作为插值函数。H3(x)应满足条件：应满足条件：采用基函数方法构造。采用基函数方法构造。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程H3(x)应用四个插值基函数表示。应用四个插值基函数表示。设设H3(x)的插值基函数为的插值基函数为0(x)，1(x)，0(x)，1(x)，则则其中其中病原体侵入机体，消弱机
31、体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程可知可知x1是是0(x)的二重零点，即可假设的二重零点，即可假设 由由可得可得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Lagrange插值基函数同理可得同理可得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程将以上结果代入将以上结果代入得两个节点的三次得两个节点的三次Hermite插值公式：插值公式：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长
32、繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、三次二、三次Hermite插值的余项插值的余项定理：定理：设设f(x)在区间在区间a,b上有定义，上有定义，f(x)在在(a,b)内内有有4阶导数，阶导数，H3(x)是满足插值条件是满足插值条件(j=0,1)的三次的三次Hermite插值函数，则对任意的插值函数，则对任意的xa,b，H(x)的插值余项为的插值余项为证明：证明：由由(i=0,1)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程可知，可知，x0，x1均为均为R3(x)的二重零点，因此可设的二重零点，因此可设其中其中K(x)待定待定构造
33、辅助函数构造辅助函数i=0,1因此因此(t)至少有至少有5个零点。个零点。连续连续4次使用次使用Rolle定理可得，至少存在一点定理可得，至少存在一点x0,x1，使得使得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程即即所以，两点三次所以，两点三次Hermite插值的余项为插值的余项为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例1.解解:病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程作为多项式插值，
34、三次已是较高的次数，次数再高就作为多项式插值，三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生有可能发生Runge现象，因此，对有现象，因此，对有n+1个节点的插个节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。插值。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设节点设节点x0 x1xn，分段插值函数，分段插值函数Hn(x)在两个在两个相邻节点构成的小区间相邻节点构成的小区间xj,xj+1(j=0,1,n-1)上满足条件：上满足条件：三、分段三次三、分段三次Hermite插值插值用三次用三次H
35、ermite插值，当插值，当x xj,xj+1 时，有时，有病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其中其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程5.6 三次样条插值三次样条插值样条：样条：是是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线出光滑的外形曲线(放样放样)所用的工具。所用的工具。样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一的曲线，在
36、拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。阶和二阶导数也是连续的。1946年，年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓将样条引入数学，即所谓的样条函数。的样条函数。因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导数连续但需要已知，故引入样条插值概念。数连续但需要已知，故引入样条插值概念。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、三次样条插值函数的定义一、三次样条插值函数的定义定义：定义：给定区间给定区间a,b上的一个划分：上的一个划分：a=x0 x1xn=b，已知函数已知函
37、数f(x)在点在点xj上的函数值为上的函数值为 f(xj)=yj,(j=0,1,2,n)如果存在分段函数如果存在分段函数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程(1)S(x)在每一个子区间在每一个子区间xj-1,xj (j=0,1,2,n)上是上是一个三次多项式；一个三次多项式；(2)S(x)在每一个内接点在每一个内接点xj(j=1,2,n-1)上具有直上具有直到二阶的连续导数；到二阶的连续导数；则称则称S(x)为节点为节点x0,x1,xn 上的上的三次样条函数三次样条函数。若若S(x)在节点在节点x0,x1,xn 上还满足
38、插值条件：上还满足插值条件：(3)S(xj)=yj (j=0,1,2,n)则称则称S(x)为为三次样条插值函数三次样条插值函数。（即全部通过样。（即全部通过样点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）满足下述条件：满足下述条件：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程三次样条插值多项式的确定：三次样条插值多项式的确定：由由(1)知，知，S(x)在每一个小区间在每一个小区间xj-1,xj 上是一上是一三次多项式，若记为三次多项式，若记为Sj(x)，则可设，则可设要确定函数要确定函数S(x)的表
39、达式，须确定的表达式，须确定4n个未知系数个未知系数aj，bj，cj，dj(j=1,2,n)。由由(2)知，知，S(x)，S(x)，S(x)在内节点在内节点x1,x2,xn-1上连续，则上连续，则j=1,2,n-1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程可得可得3n-3个方程，又由条件个方程，又由条件(3)j=0,1,n得得n+1个方程，共可得个方程，共可得4n-2个方程。个方程。要确定要确定4n个未知数，还差两个方程。个未知数，还差两个方程。通常在端点通常在端点x0=a,xn=b处各附加一个条件，称处各附加一个条件，称边界
40、条件边界条件，常见有三种：，常见有三种：(1)自然边界条件：自然边界条件：(2)固定边界条件：固定边界条件：自然样条（最光滑）(3)周期边界条件：周期边界条件：共共4n个方程，可唯一地确定个方程，可唯一地确定4n个未知数。个未知数。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程l例例 已知已知f(x)：f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，求，求f(x)在在-1,1上的三次自然样条插值函数。上的三次自然样条插值函数。解解设设由插值条件和函数连续条件得：由插值条件和函数连续条件得：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环
41、境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由一阶及二阶导数连续得：由一阶及二阶导数连续得：由自然边界条件得：由自然边界条件得：联立上面联立上面8个方程，求解得个方程，求解得故故病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、三次样条插值函数的建立二、三次样条插值函数的建立（1）用一阶导数值构造三次样条插值函数）用一阶导数值构造三次样条插值函数（m表达式）表达式）设设S(xj)=mj，(j=0,1,2,n)计算未知的计算未知的mj，即可通过分段三次，即可通过分段三次Hermite插插值得到分段三次样条插值多项
42、式。值得到分段三次样条插值多项式。假设插值节点为等距节点，假设插值节点为等距节点，h=xj+1-xj，(j=0,1,2,n-1)当当xxj,xj+1时，利用分段三次时，利用分段三次Hermite插值函插值函数表示数表示S(x)可得可得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其中其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程利用样条插值函数二阶导数连续性利用样条插值函数二阶导数连续性即即又又病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定
43、部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程所以有所以有上面两式右端相等，整理得上面两式右端相等，整理得(j=1,2,n-1)共共n-1个方程，个方程，n+1个未知量。个未知量。补充自然样条的边界条件：补充自然样条的边界条件：同理得同理得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程得得令令(j=1,2,n-1)可得具有可得具有n+1个方程，个方程，n+1个未知数的方程组：个未知数的方程组：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其矩阵形式为其矩阵形式为用追赶法求解
44、该方程组即可得用追赶法求解该方程组即可得mj，由此得三次样，由此得三次样条插值函数的表达式。条插值函数的表达式。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（2）用二阶导数值构造三次样条插值函数）用二阶导数值构造三次样条插值函数（M表达式，又称三弯矩算法）表达式，又称三弯矩算法）记记 hj=xj-xj1，(j=1,2,n)设设S(xj)=Mj，(j=0,1,2,n)因为因为S(x)是三次多项式，故是三次多项式，故S(x)是线性函数。是线性函数。按线性插值公式可得按线性插值公式可得积分两次得积分两次得病原体侵入机体，消弱机体防御机
45、能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其中其中c1，c2为积分常数。为积分常数。将将S(xj-1)=yj-1，S(xj)=yj代入上式，可确定代入上式，可确定c1，c2。故故病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程上式称上式称M表达式，只需确定表达式，只需确定Mi，即可确定三次，即可确定三次样条插值函数。样条插值函数。将将M表达式两端对表达式两端对x求导，得求导，得令令x=xj，得左导数，得左导数令令x=xj-1，得右导数，得右导数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相
46、对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故故因因S(x)一阶导数连续，即一阶导数连续，即整理得整理得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程记记则得则得Mj的的n-1个方程：个方程：(j=1,2,n-1)对自然边界条件：对自然边界条件：M0=0，Mn=0对固定边界条件：对固定边界条件：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程得得或记为或记为其中其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同
47、程度的病理生理过程则求则求Mi的方程的矩阵形式为的方程的矩阵形式为对于周期边界条件：对于周期边界条件：y0=yn，M0=Mn只需确定只需确定n个未知量个未知量Mi(i=1,2,n)即可。即可。由由当当j=n时，时，病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程方程组为方程组为上述方程组是关于上述方程组是关于Mj(j=0,1,n)的三对角方程组。的三对角方程组。Mj在力学上解释为细梁在在力学上解释为细梁在xj截面处的弯矩，称为截面处的弯矩，称为S(x)的矩，故称三弯矩方程组。的矩，故称三弯矩方程组。该方程组是严格对角占优的三对角方程组，有该方程组是严格对角占优的三对角方程组，有唯一解，可用追赶法求解。唯一解，可用追赶法求解。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程P137习题五：习题五：1 ，2，3，4，7，8本章作业