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1、1.1 构造数值(shz)求积公式的基本思想 定积分定积分I=abf(x)dxI=abf(x)dx在几何上为在几何上为x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0和和y=f(x)y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。定积分所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由积分中值定理计算之所以困难，是不规则图形的面积。由积分中值定理(dngl)(dngl)，对连续函数，对连续函数f(x)f(x)，在区间，在区间a,ba,b内至少存在一点内至少存在一点，使：，使：也就是说也就是说,曲边梯形的面积曲边梯形的面积I I恰好等于恰好等于(dngy)(dngy)底为底为b-a,b-a,
2、高为高为f(f()的规则图形的规则图形矩形的面积矩形的面积(图图7-1),f(7-1),f()为为曲边梯形的平均高度曲边梯形的平均高度,然而点然而点的具体位置一般是不知道的具体位置一般是不知道的的,因此难以准确地求出因此难以准确地求出f(f()的值。但是的值。但是,由此可以得到由此可以得到这样的启发这样的启发,只要能对平均高度只要能对平均高度f(f()提供一种近似算法提供一种近似算法,便可以相应地得到一种数值求积公式。便可以相应地得到一种数值求积公式。图7-1 a ab b 如用两端点的函数值f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度f()的近似值,这样可导出求积公式：第1页/共38页第一页，
3、共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-2更一般地在区间更一般地在区间a,ba,b上适当选取上适当选取(xunq)(xunq)某些点某些点xk(k=0,1,n),xk(k=0,1,n),然后用然后用f(xk)f(xk)的加权平的加权平均值近似地表示均值近似地表示f(f(),),这样得到一般的求积公式：这样得到一般的求积公式：其中,点xk 称为求积节点,系数(xsh)Ak 称为求积系数(xsh)，Ak 仅仅与节点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。另一方面定积分的定义，其中xk是a,b的每一个分割小区间的长度,它与f(x)无关,去掉极限,由此得到近似计算公式：第2页
4、/共38页第二页，共39页。因此，式（7-1）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问题归结为函数(hnsh)值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数(hnsh)的困难,适合于函数(hnsh)给出时计算积分,也非常便于设计算法,便于上机计算。求积公式（7-1）的截断误差为：Rn也称为(chn wi)积分余项.1.2代数(dish)精度定义定义1 1 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成，则称该公式具有m次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义1容易得到下面定理。数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能
5、对较多的函数准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式的准确差别,引入代数精度的概念。第3页/共38页第三页，共39页。试验证梯形(txng)公式具有一次代数精度。例1可以证明矩形可以证明矩形(jxng)(jxng)公式的代数精度也是一次的。公式的代数精度也是一次的。定理(dngl)1 一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对 1,x,x2,xm 精确成立，而对xm+1不精确成立。第4页/共38页第四页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-5 上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式.如,对于(duy)求积公式（7-1）,若事先选定一
6、组求积节点xk(k=0,1,n,),xk可以选为等距点,也可以选为非等距点,令公式对f(x)=1,x,xn 精确成立,即得：这是关于A0、A1、An的线性方程组,系数行列式为范德蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在(cnzi)唯一的一组解。求解方程组(7-2)确定求积系数Ak,这样所得到的求积公式(7-1)至少具有n次代数精度.第5页/共38页第五页，共39页。例2 确定(qudng)求积公式 使其具有尽可能高的代数(dish)精度。解：求积公式中含有三个待定参数(cnsh),可假定近似式（7-3）的代数精度为m=2,则当f(x)=1，x，x2时，式（7-3）应准确成立，即有：代回去可得：检查
7、（7-4）对m=3是否成立,为此,令f(x)=x3代入（7-4）,此时左边第6页/共38页第六页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-7再检查(jinch)（7-4）对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:因此(ync)近似式（7-4）的代数精度为m=3.由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。第7页/共38页第七页，共39页。1.3 插值型求积公式(gngsh)设给定一组节点设给定一组节点(ji din)a(ji din
8、)a x0 x1 xn-1xn x0 x1 xn-1xn b b，且已知，且已知f(x)f(x)在这些节点在这些节点(ji din)(ji din)上的函数值，则可求上的函数值，则可求 得得f(x)f(x)的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式：其中(qzhng)lk(x)为n次插值基函数。取f(x)Ln(x)，则有：记：则有：这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式.根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：其中a,b 与x有关.第8页/共38页第八页，共39页。关于插值型求积公式的代数精度，有如下(rxi)定理。具有n+1个节点的数值(shz)求积公式（7-1）
9、是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。定定理理(d d n ng gl l)2 2 定理2说明,当求积公式（7-1）选定求积节点xk后,确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程 组（7-2）或者计算积分（7-5）,即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数.由此得到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于n次.证：(充分性)设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度,那么,由于插值基函数 li(x)(i=0,1,n)均是次数为n的多项式,故式（7-1）对li(x)精确成立,即:第9页/共38页第九页，共39页。(必要性)设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有
10、次数不大于n的多项式f(x)，按（7-6）其求积余项Rn=0，即这时插值型求积公式是精确(jngqu)成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）例3考察(koch)求积公式：具有(jyu)几次代数精度.注：n+1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度.其原因是此求积公式不一定是插值型的。例：第10页/共38页第十页，共39页。2 牛顿(ni dn)一柯特斯(Newton-Cotes)公式 本节介绍节点本节介绍节点(ji din)(ji din)等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（Newton-CotesNew
11、ton-Cotes）公）公式。式。2.1 牛顿(ni dn)一柯特斯（Newton-Cotes）公式 设将积分区间a,b 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为:记：第11页/共38页第十一页，共39页。称之为n阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式简记为N-C公式，称 为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数f(x)和积分区间a,b 无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。表7-1中给了了部分柯特斯系数。柯特斯系数(xsh)表7-1 9895888-92810496-454010496-92858
12、889891/2835087513577132329892989132335777511/172807412162727227216411/84061975505075191/2885732123271/90413311/831411/61/62 1 11 11/21/21nABk第12页/共38页第十二页，共39页。经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应(duyng)的牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。当n=1时,按公式(gngsh)（7-7）有：得求积公式(gngsh)：即梯形公式 当n=2时第13页/共38页第十三页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-1
13、4相应(xingyng)的求积公式：称为(chn wi)辛卜生(Simpson)公式.当n=4时，所得的公式称作柯特斯公式，它有五个节点，其系数：第14页/共38页第十四页，共39页。所以(suy)柯特斯公式是：柯特斯系数(xsh)的性质1、与积分区间无关(wgun):当n确定后,其系数和都等于1,即 2、对称性：此特性由表7-1很容易看出，对一般情况可以证明。(略)3、柯特斯系数并不永远都是正的。表7-1看出当n=8时,出现了负系数,在实际计算中将使舍入误差增大,并且往往难以估计,从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证,因此实际计算中不用高阶的。第15页/共38页第十五页，共39页。
14、第七章 数值积分与微分(wi fn)7-16第16页/共38页第十六页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-172n阶Newton-Cotes公式(gngsh)至少具有2n+1次代数精度。我们知道，由n次插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公式至少具有n次代数精度.由于节点(ji din)等距，更进一步有以下结论：定理3 3证：计算知由2n次插值多项式导出的求积公式 的截断误差为0即可.第17页/共38页第十七页，共39页。例4 验证验证(ynzhng)(ynzhng)辛卜生辛卜生(Simpson)(Simpson)公式公式:具有三次代数精度(jn d)。（定理3直接得到）解：由定理
15、2,3个节点(ji din)的插值积分公式辛卜生公式至少具有二次代数精度,因此只需检查对f(x)=x3成立否。当f(x)=x3时：所以I=S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。在几种低阶N-C公式中,感兴趣的是梯形公式（最简单,最基本）辛卜生公式和柯特斯公式。第18页/共38页第十八页，共39页。例5解：由梯形(txng)公式（7-9）：由辛卜生公式(gngsh)（7-10）得：由柯特斯公式(gngsh)（7-11）得：事实上，积分的精确值：与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具
16、有七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结果最差,只有两位有效数字。分别用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分：第19页/共38页第十九页，共39页。2.2 几种(j zhn)低价N-C求积公式的余项 1.考察梯形(txng)公式,按N-c的截断误差知,梯形(txng)公式（7-9）的余项：这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子(ynz)t(t(ynz)t(t1)1)在区间在区间0,1 0,1 上不变号（非正），故由积分中值定理，在上不变号（非正），故由积分中值定理，在0,1 0,1 内至少存在一点内至少存在一点，使：，使：2.对于辛卜生公式,第20页/共38
17、页第二十页，共39页。需要注意的是，关于牛顿-科特斯公式的收敛性，可以(ky)证明，并非对一切连续函数f(x),都有：,也就是说牛顿柯特斯公式的收敛性没有保证。当n趋于无穷时，它的稳定性也没有保证，因此，在实际计算中，一般不采用高阶(n 8)的牛顿-柯特斯公式。3.柯特斯公式(gngsh)（6-10）的余项为：第21页/共38页第二十一页，共39页。在实际计算中常用前面三种低价N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用(shyng)以上三种低阶求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用(shyng)高阶的N-C公式，然而前面已指出，当n 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不
18、能采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-C公式。为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。3 复化求积公式(gngsh)第22页/共38页第二十二页，共39页。3.1 复化梯形(txng)公式 用分段用分段(fn dun)(fn dun)线性插值函数来近似被积函数线性插值函数来近似被积函数,等于把积等于把积分区间分成若干小区间分区间分成若干小区间,在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积形面积,即用梯形公式求小区间上积
19、分的近似值即用梯形公式求小区间上积分的近似值.这样求得的近这样求得的近似值显然比整区间上用梯形公式计算精度高。似值显然比整区间上用梯形公式计算精度高。式（7-15）称为复化梯形(txng)公式。第23页/共38页第二十三页，共39页。因为f(x)在a,b 连续，由介值定理(dngl)，存在(a,b)，使得：从而(cng r)有：这就是(jish)复化梯形公式的截断误差.第24页/共38页第二十四页，共39页。3.2 复化Simpson公式(gngsh)和复化Cotes公式(gngsh)如果用分段二次插值函数如果用分段二次插值函数(hnsh)(hnsh)近似被积函数近似被积函数(hnsh)(hn
20、sh)，即在小区间上用，即在小区间上用SimpsonSimpson公公式计算积分近似值，就导出复化式计算积分近似值，就导出复化SimpsonSimpson公式。公式。第25页/共38页第二十五页，共39页。如果如果(rgu)f(x)(rgu)f(x)C(4)a,b,C(4)a,b,由式（由式（7-137-13）可得复化）可得复化SimpsonSimpson公式的截断误差为：公式的截断误差为：整理(zhngl)得：式（7-17）称为(chn wi)复化Simpson公式。因为f(4)(x)连续，故存在(a,b)，使得：第26页/共38页第二十六页，共39页。若用复化求积公式(gngsh)计算积分
21、:的近似值，要求计算结果有四位有效数字(yu xio sh z)，n应取多大？例解 因为(yn wi)当0 x1时有0.3e-1e-x1于是：要求计算结果有四位有效数字,即要求误差不超过10-4/2.又因为:由复化梯形公式误差估计式：式（7-18）表明,步长h越小,截断误差越小.与复化梯形公式的分析相类似,可以证明,当n 时,用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值,而且算法具有数值稳定性.第27页/共38页第二十七页，共39页。例子的计算结果表明，为达到相同(xin tn)的精度，用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式的精度较高，实际
22、计算时多采用复化Simpson公式。复化求积方法又称为定步长方法。复化求积公式复化求积方法又称为定步长方法。复化求积公式,根据预先给定的精度根据预先给定的精度(jn d)(jn d)能估计能估计出合适的步长或出合适的步长或 n,n,进而确定对积分区间的等分数进而确定对积分区间的等分数,如同例如同例7 7一样一样.然而当被积函数稍复杂一些，然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。因此若用复化梯形公式求积分,n应等于41即41等分才能(cinng)达
23、到精度.若用复化Simpson公式,由式（7-18）即得n 1.6.故应取n=2即4等分.h=1/nh=1/2n第28页/共38页第二十八页，共39页。复化Cotes公式(gngsh)将区间(q jin)a,b分成n 等分,分点为：在每个小区间：上，共五个点：用用CotesCotes公式公式(gngsh)(gngsh)得到复化得到复化CotesCotes公式公式(gngsh)(gngsh)：复化复化CotesCotes公式的公式的截断误差截断误差为：为：第29页/共38页第二十九页，共39页。要使截断误差不超过(chogu)10-3/2，h应取多大？辛普生公式又怎么样？用复化梯形求积公式计算(
24、jsun)积分:作业(zuy)第30页/共38页第三十页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-314 逐次分半算法(sun f)(变步长方法)基于复化求积公式（定步长方法）的缺点，常采用变步长方法，即逐步缩小步长，每次将步长缩小一半，或者说逐次等分区间,反复利用复化求积公式，直到相邻两次计算结果相差不大为止或者满足(mnz)给定精度为止。第31页/共38页第三十一页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-32 梯形(txng)法的递推公式 第32页/共38页第三十二页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-33因此计算(j sun)梯形序列T2m可按:第3
25、3页/共38页第三十三页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-34此为复化梯形(txng)公式的递推公式 第34页/共38页第三十四页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-35按上述逐次分半算法,并利用递推公式,T2m 的计算较容易,那么,上述算法何时停止？第35页/共38页第三十五页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-36第36页/共38页第三十六页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-37 若f(x)在a,b 的二阶导数连续(linx)，则当m较大时：以此(y c)作为停止计算的控制。而由前面的推导可知，下面公式具有如下规律性：并且
26、是利用控制结束的误差式，构成新的、收敛更快的公式，第37页/共38页第三十七页，共39页。第七章 数值积分与微分(wi fn)7-38谢谢您的观看(gunkn)！第38页/共38页第三十八页，共39页。内容(nirng)总结1.1 构造数值求积公式的基本思想。这是关于A0、A1、。本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。表7-1中给了了部分柯特斯系数。经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。复化求积方法又称为(chn wi)定步长方法。谢谢您的观看第三十九页，共39页。