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1、但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：往会遇到下面情况：1.函数函数f(x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试数据形成的表格或数据形成的表格或图形。图形。关于定积分的计算，我们知道，只要求出关于定积分的计算，我们知道，只要求出f(x)的一个原的一个原函数函数F(x)，就可以利用牛顿，就可以利用牛顿莱布尼慈（莱布尼慈（Newton-Leibniz）公）公式出定积分值：式出定积分值：3.f(x)的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。的结构复杂，求原函数困难，即不定积
2、分难求。2.f(x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：的原函数无法用初等函数表示出来，如：由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微分而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。方程和积分方程的数值解法的基础。数值积分数值积分1.1构造数值求积公式的基本思想构造数值求积公式的基本思想定积分定积分I=ab f(x)dx在几何上为在几何上为x=a,x=b,y=0和和y=f(x)所围成的曲所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是
3、不规则图形的面积。由边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由积分中值定理，对连续函数积分中值定理，对连续函数f(x)，在区间，在区间a,b内至少存在一点内至少存在一点，使：使：也就是说也就是说,曲边梯形的面积曲边梯形的面积I 恰好等于恰好等于底为底为b-a,高为高为f()的规则图形的规则图形矩形的面矩形的面积积(图图7-1),f()为曲边梯形的平均高度为曲边梯形的平均高度,然然而点而点 的具体位置一般是不知道的的具体位置一般是不知道的,因此难因此难以准确地求出以准确地求出f()的值。但是的值。但是,由此可以由此可以得到这样的启发得到这样的启发,只要能对平均高度只要能对平均高度
4、f()提供一种近似算法提供一种近似算法,便可以相应地得到一种便可以相应地得到一种数值求积公式。数值求积公式。图图7-1a ab b 如用两端点的函数值如用两端点的函数值f(a)与与f(b)取算术平均值作为平均高度取算术平均值作为平均高度f()的近似值的近似值,这样可导出求积公式：这样可导出求积公式：第七章 数值积分与微分7-3更一般地在区间更一般地在区间a,b上适当选取某些点上适当选取某些点xk(k=0,1,n),然后然后用用f(xk)的加权平均值近似地表示的加权平均值近似地表示f(),这样得到一般的求积公这样得到一般的求积公式：式：其中其中,点点xk 称为求积节点称为求积节点,系数系数Ak
5、称为求积系数，称为求积系数，Ak 仅仅与节点仅仅与节点xk 的选取有关的选取有关,而不依赖于被积函数而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。的具体形式。另一方面定积分的定义，另一方面定积分的定义，其中其中 xk是是a,b的每一个分割小区间的长度的每一个分割小区间的长度,它与它与f(x)无关无关,去掉去掉极限极限,由此得到近似计算公式：由此得到近似计算公式：因此，式（因此，式（7-1）可作为一般的求积公式）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问其特点是将积分问题归结为函数值的计算题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难求原函数的困
6、难,适合于函数给出时计算积分适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计算也非常便于设计算法法,便于上机计算。便于上机计算。求积公式（求积公式（7-1）的截断误差为：）的截断误差为：Rn也称为也称为积分余项积分余项.1.2代数精度代数精度定义定义定义定义1 1 如果某个求积公式对所有次数不大于如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成的多项式都精确成立，而至少对一个立，而至少对一个m+1次多项式不精确成，则称该公式具次多项式不精确成，则称该公式具有有m次代数精度。次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义由定义
7、1容易得到下面定理。容易得到下面定理。数值积分是一种近似计算数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数但其中有的公式能对较多的函数准确成立准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式的准确差别公式的准确差别,引入代数精度的概念。引入代数精度的概念。试验证梯形公式具有一次代数精度。试验证梯形公式具有一次代数精度。例例1可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。定理定理1一个求积公式具有一个求积公式具有m次代数精度的充
8、分必要条件是该求次代数精度的充分必要条件是该求积公式对积公式对1,x,x2,xm精确成立，而对精确成立，而对xm+1不精确成立。不精确成立。第七章 数值积分与微分7-6上述过程表明上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式可以从代数精度的角度出发来构造求积公式.如如,对于求积公式（对于求积公式（7-1）,若事先选定一组求积节点若事先选定一组求积节点xk(k=0,1,n,),xk可以选为等距点可以选为等距点,也可以选为非等距点也可以选为非等距点,令公式对令公式对f(x)=1,x,xn 精精确成立确成立,即得：即得：这是关于这是关于A0、A1、An的线性方程组的线性方程组,系数行列式为范
9、德系数行列式为范德蒙行列式蒙行列式,其值不等于零其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。故方程组存在唯一的一组解。求解方程组求解方程组(7-2)确定求积系数确定求积系数Ak,这样所得到的求积这样所得到的求积公式公式(7-1)至少具有至少具有n次代数精度次代数精度.例例2确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。解：求积公式中含有三个待定参数解：求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式（可假定近似式（7-3）的代）的代数精度为数精度为m=2,则当则当f(x)=1，x，x2时，式（时，式（7-3）应准确成立，）应准确成立，即有：即有：代回去可得代回去可得：检查
10、（检查（7-4）对）对m=3是否成立是否成立,为此为此,令令f(x)=x3代入（代入（7-4）,此时左边此时左边第七章 数值积分与微分7-8再检查（再检查（7-4）对）对m=4是否成立是否成立,令令f(x)=x4代入代入(7-4),此时此时:因此近似式（因此近似式（7-4）的代数精度为）的代数精度为m=3.由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数
11、精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。求下，利用它可以得出各种求积公式。1.31.3插值型求积公式插值型求积公式插值型求积公式插值型求积公式 设给定一组节点设给定一组节点a x0 x1xn-1xn b，且已知，且已知f(x)在在这些节点上的函数值，则可求这些节点上的函数值，则可求得得f(x)的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式：其中其中lk(x)为为n次插值基函数。取次插值基函数。取f(x)Ln(x)，则有：，则有：记：记：则有：则有：这种求积系数由式（这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式）所确定的求积公式称为插值型求积公式.根据插值余项定理，插值型求积公式的
12、求积余项为：根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：其中其中 a,b与与x有关有关.关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。具有具有n+1个节点的数值求积公式（个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。次代数精度。定定定定理理理理2 2定理定理2说明说明,当求积公式（当求积公式（7-1）选定求积节点）选定求积节点xk后后,确定求积系数确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程有两条可供选择的途径：求解线性方程组（组（7-2）或者计算积）或者计
13、算积分（分（7-5）,即利用即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数次代数精度或插值型积分来确定求积系数.由由此得到的求积公式都是插值型的此得到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于其代数精度均不小于n次次.证：证：(充分性充分性)设求积公式（设求积公式（7-1）至少具有）至少具有n次代数精度次代数精度,那么那么,由于插值基函数由于插值基函数 li(x)(i=0,1,n)均是次数为均是次数为n的多项式的多项式,故式（故式（7-1）对）对li(x)精确成立精确成立,即即:(必要性必要性)设求积公式（设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项
14、式的多项式f(x)，按（，按（7-6）其求积余项）其求积余项Rn=0，即这时插值型求积公，即这时插值型求积公式是精确成立的。由定义式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）次代数精度。（证毕）例例3 考察求积公式：考察求积公式：具有几次代数精度具有几次代数精度.注：注：n+1个节点的求积公式不一定具有个节点的求积公式不一定具有n次代数精度次代数精度.其原因是其原因是此求积公式不一定是插值型的。此求积公式不一定是插值型的。例：例：22牛顿一柯特斯牛顿一柯特斯牛顿一柯特斯牛顿一柯特斯(Newton-CotesNewton-Co
15、tes)公式公式公式公式 本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。）公式。2.1牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式设将积分区间设将积分区间a,b划分为划分为n等分等分,步长步长h=(b-a)/n,求积节点取为求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,n),由此构造插值型求积公式由此构造插值型求积公式,则其求积系数为则其求积系数为:记：记：称之为称之为n阶牛顿一柯特斯（阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式简记为简记为N-C公式公式，称称为柯特斯系数。显
16、然，柯特斯系数与被积函数为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数f(x)和积和积分区间分区间a,b无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。表表7-1中给了了部分柯特斯系数。中给了了部分柯特斯系数。柯特斯系数柯特斯系数 表表7-19895888-92810496-454010496-92858889891/2835087513577132329892989132335777511/172807412162727227216411/84061975505075191/2885732123271/90413311/83 31411/61/62 2111
17、11/21/21 1nABk经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特斯（斯（Newton-Cotes）公式。）公式。当当n=1时时,按公式（按公式（7-7）有：）有：得求积公式得求积公式：即即梯形公式梯形公式当当n=2时时第七章 数值积分与微分7-15相应的求积公式：相应的求积公式：称为称为辛卜生辛卜生(Simpson)公式公式.当当n=4时，所得的公式称作时，所得的公式称作柯特斯公式柯特斯公式，它有五个节点，其系数：，它有五个节点，其系数：所以柯特斯公式是所以柯特斯公式是：柯特斯系数的性质柯特斯系数的性质1、与积分区间无
18、关与积分区间无关:当当n确定后确定后,其系数和都等于其系数和都等于1,即即2、对称性对称性：此特性由表此特性由表7-1很容易看出，对一般情况可以证明。很容易看出，对一般情况可以证明。(略略)3、柯特斯系数并不永远都是正的柯特斯系数并不永远都是正的。表表7-1看出当看出当n=8时时,出现了负系数出现了负系数,在实际计算中将使舍入误差增在实际计算中将使舍入误差增大大,并且往往难以估计并且往往难以估计,从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证得不到保证,因此实际计算中不用高阶的。因此实际计算中不用高阶的。第七章 数值积分与微分7-17第七章 数值积分与微分7
19、-182n阶阶Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有2n+1次代数精度。次代数精度。我们知道，由我们知道，由n次插值多项式导出的次插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公式至次牛顿一柯特斯公式至少具有少具有n次代数精度次代数精度.由于节点等距，更进一步有以下结论：由于节点等距，更进一步有以下结论：定理定理3 3证：计算知由证：计算知由2n次插值多项式导出的求积公式次插值多项式导出的求积公式的截断误差为的截断误差为0即可即可.例例4 验证辛卜生验证辛卜生(Simpson)公式公式:具有三次代数精度。（定理具有三次代数精度。（定理3直接得到）直接得到）解：由定理解：由定理2,3个节点的插值积分
20、公式辛卜生公式至少具有二次代个节点的插值积分公式辛卜生公式至少具有二次代数精度数精度,因此只需检查对因此只需检查对f(x)=x3成立否。当成立否。当f(x)=x3时：时：所以所以I=S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于立，用同样的方法可以验证对于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。辛卜生公式的代数精度可以达到三次。在几种低阶在几种低阶N-C公式中公式中,感兴趣的是梯形公式（最简单感兴趣的是梯形公式（最简单,最基本）最基本）辛卜生公式和柯特斯公式。
21、辛卜生公式和柯特斯公式。例例5解：解：由由梯形公式（梯形公式（7-9）：由由辛卜生公式（辛卜生公式（7-10）得：得：由由柯特斯公式（柯特斯公式（7-11）得：得：事实上，事实上，积分的积分的精确值精确值：与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结果最差果最差,只有两位有效数字只有两位有效数字。分别用梯型公式、辛卜生公式和柯分别用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分：特斯公式计算积分：2.22.2几种低价几种低
22、价几种低价几种低价N-CN-C求积公式的余项求积公式的余项求积公式的余项求积公式的余项1.考察梯形公式考察梯形公式,按按N-c的截断误差知的截断误差知,梯形公式（梯形公式（7-9）的余项的余项：这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子t(t1)在区间在区间0,1上不变号（非正），上不变号（非正），故由积分中值定理，在故由积分中值定理，在0,1内至少存在一点内至少存在一点，使：，使：2.对于辛卜生公式对于辛卜生公式,需要注意的是，关于牛顿需要注意的是，关于牛顿-科特斯公式的收敛性，可以证明，科特斯公式的收敛性，可以证明，并非对一切连续函数并非对一切连续函数f(x),都有：都有：,也就是说牛顿也就
23、是说牛顿柯特柯特斯公式的收敛性没有保证。当斯公式的收敛性没有保证。当n趋于无穷时，它的稳定性也没趋于无穷时，它的稳定性也没有保证，因此，在实际计算中，一般不采用高阶有保证，因此，在实际计算中，一般不采用高阶(n 8)的牛顿的牛顿-柯特斯公式。柯特斯公式。3.柯特斯公式（柯特斯公式（6-10）的余项为）的余项为：在实际计算中常用前面三种低价在实际计算中常用前面三种低价N-C公式，但若积分区间公式，但若积分区间比较大，直接使用以上三种低阶求积公式，则精度难以保证；比较大，直接使用以上三种低阶求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，当
24、公式，然而前面已指出，当n 8时，由于时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发，必采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶次插值，亦即不用高阶N-C公式。公式。为提高精度，当增加求积节点时，考虑对为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次被积函数用分段低次多项式近似多项式近似，由此导出复化求积公式。，由此导出复化求积公式。3复化求积公式复化求
25、积公式3.1复化梯形公式复化梯形公式用分段线性插值函数来近似被积函数用分段线性插值函数来近似被积函数,等于把积分区间分成等于把积分区间分成若干小区间若干小区间,在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积,即用梯即用梯形公式求小区间上积分的近似值形公式求小区间上积分的近似值.这样求得的近似值显然比整区间这样求得的近似值显然比整区间上用梯形公式计算精度高。上用梯形公式计算精度高。式（式（7-15）称为）称为复化梯形公式复化梯形公式。因为因为f (x)在在a,b连续，由介值定理，存在连续，由介值定理，存在(a,b)，使得：，使得：从而有：从而有：这就是这就是复化
26、梯形公式的截断误差复化梯形公式的截断误差.3.23.2复化复化复化复化SimpsonSimpson公式和复化公式和复化公式和复化公式和复化CotesCotes公式公式公式公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpson公式计算积分近似值，就导出复化公式计算积分近似值，就导出复化Simpson公式公式。如果如果f(x)C(4)a,b,由式（由式（7-13）可得复化）可得复化Simpson公式的截断误公式的截断误差为：差为：整理得：整理得：式（式（7-17）称为）称为复化复化Simpson公式公式。因为因为f(4)(x)连续，
27、故存在连续，故存在 (a,b)，使得：，使得：若用复化求积公式计算积分若用复化求积公式计算积分:的近似值，要求计算结果有四位有效数字，的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？应取多大？例例解解因为当因为当0 x1时有时有0.3e-1e-x1于是：于是：要求计算结果有四位有效数字要求计算结果有四位有效数字,即要求误差不超过即要求误差不超过10-4/2.又因为又因为:由复化梯形公式误差估计式：由复化梯形公式误差估计式：式（式（7-18）表明）表明,步长步长h越小越小,截断误差越小截断误差越小.与复化梯形公式的分与复化梯形公式的分析相类似析相类似,可以证明可以证明,当当n 时时,用复化用复
28、化Simpson公式所求得的近似公式所求得的近似值收敛于积分值值收敛于积分值,而且算法具有数值稳定性而且算法具有数值稳定性.例子的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化例子的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公式公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式的公式的精度较高，实际计算时多采用复化精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。公式。复化求积方法又称为复化求积方法又称为定步长定步长方法。复化求积公式方法。复化求积公式,根据预先给根据预先给定的精度能估计出合适的步长或定的精度能估计出合适的步长或n,
29、进而确定对积分区间的等分数进而确定对积分区间的等分数,如如同例同例7一样一样.然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。因此若用复化梯形公式求积分因此若用复化梯形公式求积分,n应等于应等于41即即41等分才能达到精度等分才能达到精度.若用复化若用复化Simpson公式公式,由式（由式（7-18）即得即得n 1.6.故应取故应取n=2即即4等分等分.h=1/nh=1/2n复化复化Cotes公式公式 将区间将区间a,b分成分成
30、n 等分等分,分点为：分点为：在每个小区间：在每个小区间：上，共五个点：上，共五个点：用用用用CotesCotes公式得到公式得到公式得到公式得到复化复化复化复化CotesCotes公式公式公式公式：复化复化复化复化CotesCotes公式的公式的公式的公式的截断误差截断误差截断误差截断误差为：为：为：为：要使截断误差不超过要使截断误差不超过10-3/2，h应取多大？应取多大？辛普生公式又怎么样辛普生公式又怎么样？用复化梯形求积公式计算积分用复化梯形求积公式计算积分:作作业业第七章 数值积分与微分7-324逐次分半算法逐次分半算法(变步长方法变步长方法)基于复化求积公式（定步长方法）的缺点，常
31、采用变基于复化求积公式（定步长方法）的缺点，常采用变步长方法，即逐步缩小步长，每次将步长缩小一半，或者说步长方法，即逐步缩小步长，每次将步长缩小一半，或者说逐次等分区间逐次等分区间,反复利用复化求积公式，直到相邻两次计算结反复利用复化求积公式，直到相邻两次计算结果相差不大为止或者满足给定精度为止。果相差不大为止或者满足给定精度为止。第七章 数值积分与微分7-33梯形法的梯形法的递推公式递推公式第七章 数值积分与微分7-34因此计算梯形序列因此计算梯形序列T2m可按可按:第七章 数值积分与微分7-35此为此为复化梯形公式的递推公式复化梯形公式的递推公式第七章 数值积分与微分7-36按上述逐次分半算法按上述逐次分半算法,并利用递推公式并利用递推公式,T2m的计算较容的计算较容易易,那么那么,上述算法何时停止？上述算法何时停止？第七章 数值积分与微分7-37第七章 数值积分与微分7-38若若f(x)在在a,b的二阶导数连续，则当的二阶导数连续，则当m较大时：较大时：以此作为停止计算以此作为停止计算的控制。的控制。而由前面的推导可知，下面公式具有如下规律性：而由前面的推导可知，下面公式具有如下规律性：并且是利用并且是利用控制结束的误差式，构成新的、收敛更快的公式控制结束的误差式，构成新的、收敛更快的公式，