二章插值ppt课件.ppt

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1、二章插值ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望插值与图像图像插值是图像处理的主要内容之一图像插值是图像处理的主要内容之一,普遍应用于军普遍应用于军事、航空、医学、通讯、气象、动画制作、电影合事、航空、医学、通讯、气象、动画制作、电影合成等领域。图像插值就是利用已知邻近像素点的灰成等领域。图像插值就是利用已知邻近像素点的灰度值来产生未知像素点的灰度值。从而获得交织质度值来产生未知像素点的灰度值。从而获得交织质量的图像，采用插值技术实现数值图像的分

2、辨率有量的图像，采用插值技术实现数值图像的分辨率有很重要的意义。很重要的意义。1 1 引引 言言一一、引例引例已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（深度（M M）466 741 950 1422 1634466 741 950 1422 1634水温（水温（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500500米，米，600600米，米，10001000米米）处的水温）处的水温.这就是本章要讨论的

3、这就是本章要讨论的“插值问题插值问题”二二、插值问题的定义、插值问题的定义 当精确函数当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时，在区间非常复杂或未知时，在区间这个问题称为这个问题称为“插值问题插值问题”(2.1.1)近似函数近似函数 g(x)f(x)，满足条件，满足条件 ,由此构造一个简单易算的由此构造一个简单易算的 上一系列节点上一系列节点 处测得函数值处测得函数值 这里的这里的 g(x)称为称为f(x)的的插值函数插值函数。节点节点 x0 xm称为称为插值节点插值节点,条件（条件（2.1.1)称为称为插值条件插值条件，区间区间 称为称为插值区间插值区间。插值函数的类型有很多种插值函数的类型

4、有很多种最常用的插值函数是最常用的插值函数是?代数多项式代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值代数插值，即，即选取次数不超过选取次数不超过n的多项式的多项式 Pn(x)，使得使得 Pn(xj)=yj (j=0,1 n)(2.1.2)本章主要讨论的内本章主要讨论的内容容插值问题插值问题插值法插值法插值函数插值函数2 2 代代 数数 插插 值值代代数数插插值值v一、一、插值问题解的存在唯一性？插值问题解的存在唯一性？v二、二、插值多项式的常用构造方法？插值多项式的常用构造方法？v三、三、插值函数的误差如何估计？插值函数的误差如何估计？一、插值多项式的存在

5、唯一性：一、插值多项式的存在唯一性：设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为：由插值条件由插值条件 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组：（2.2.1）（2.2.2）此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 当当 时时，D 0，因此，因此，Pn(x)由由a0,a1,an唯一确定。唯一确定。范得蒙行列式的转置！范得蒙行列式的转置！定理定理 (唯一性唯一性)满足满足 的的 n 阶插值阶插值多项式多项式Pn(x)存在且唯一。存在且唯一。插值多项式的构造：插值多项式的构造：插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多

6、项式多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关与构造方法无关。如何如何构造构造插值函数才能达到预期的效果呢？插值函数才能达到预期的效果呢？，用于插值的简单函数元素集用于插值的简单函数元素集用于插值的简单函数元素集用于插值的简单函数元素集 +线性组合结构线性组合结构线性组合结构线性组合结构 插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式简单简单函数元素集是指构成多函数元素集是指构成多项项式的基函数集合，例如式的基函数集合，例如自然形式（自然形式（2.2.1）的自然基底）的自然基底 ,、(结构结构)(集合集合)若求自然形式若求自然形式(2.2.1)的插的插值值多多项项式式问题问题，只要求，只要求解解线线性

7、方程性方程组组（2.2.2）计计算出多算出多项项式系数即可。式系数即可。一般插值多项式的构造方法一般插值多项式的构造方法通过解方程组通过解方程组(2.2.2)(2.2.2)求得插值多项式求得插值多项式 的方法的方法并不可取并不可取.这是因为当这是因为当n n较大时解方程组的计算量较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能（可能是是病态方程组病态方程组）,当阶数当阶数n n越越高时，高时，病态越重病态越重。怎样可以不通过求解方程怎样可以不通过求解方程组而获得插值多项式呢组而获得插值多项式呢?在在n n次多项式空间次多项式空间P P

8、n n中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 ,使使不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法.Lagrange插值插值Newton插值插值三次样条插值三次样条插值插值LagrangeNewtonLagrange(1736-1813)n法国数学家、物理学家.他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。n分析力学的创立者。引入了势和等势面的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础.n近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地

9、溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最伟大的数学家欧洲最伟大的数学家”。二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)插值插值1线性插值线性插值(n=1)x0 x1(x0,y0)(x1,y1)f(x)P1(x)n=1已知已知 x0,x1;y0,y1，求，求l0(x)l1(x)基函数从直线的两点式方程从直线的两点式方程L1(x)是两个线性函数的组合是两个线性函数的组合其中其中,满足满足2抛物插值抛物插值(n=2)p2(x)f(x)x0 x1x2f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值抛物插值

10、。二次插值给定三点给定三点使使采用基函数的方法采用基函数的方法,要求要求于是于是3n次次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式设连续函数设连续函数y=f（x）在在a,b上对给定上对给定n+1个个不同结点：不同结点：x0,x1,xn ,分别取函数值分别取函数值y0,y1,yn其中其中 yi=f(xi)i=0,1,2,n试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i=0,1,2,n要求：要求：无重合节点，即无重合节点，即若能求得若能求得n次多项式次多项式lk(x),k=0,1,n，则则 i=0,1,2,n即即Pn(x)满足插值条件满足插值条件（2.1.2）

11、.满足满足因此，令因此，令又由又由lk(xk)=1，得得：的表达式推导：的表达式推导：根据根据lk(x)的定义的定义，xk以外所有的结点都是以外所有的结点都是lk(x)的根的根，从而得从而得 n 阶拉格朗日（阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：）插值公式：4、插值余项、插值余项/*Remainder*/定理定理4.3.1 若若 在在a,b内存在内存在,则在则在a,b上的上的n+1个个互异的点，对互异的点，对 f（x)所作的所作的n次次Lagrange插值多项式插值多项式 有误差估计有误差估计 Rolles Theorem的推论的推论:若若 充分光滑，且充分光滑，且存在存在使得使得也称也称为

12、为Lagrange插插值值多多项项式的插式的插值值余余项项。当当n=1时时，线线性插性插值值的余的余项项当当n=2时时，抛物插，抛物插值值的余的余项项注：注：通常不能确定通常不能确定 ,而是估计而是估计 ,x(a,b)，将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式 时，时，,可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式多项式是是精确精确的。的。插插值值多多项项式一般式一般仅仅用来估用来估计计插插值值区区间间内点的函内点的函数数值值（即内插），用它来（即内插），用它来计计算插算插值值区区间间外点的函外点的函数数值

13、值（即外插）（即外插）时时，误误差可能很大。差可能很大。通常取通常取依靠增加依靠增加节节点不一定能减少点不一定能减少误误差；差；事后误差估计事后误差估计在在实际计实际计算中，由于函数算中，由于函数f(x)往往未知或很往往未知或很难难求得，也就求得，也就难难以求出以求出或估或估计计出其出其较较精确的上界，从而精确的上界，从而难难以以估计估计一般可使用求出两个插一般可使用求出两个插值值多多项项式之差的方法来估式之差的方法来估计误计误差，差，称之称之为为事后估事后估计计。图图2.1 前后两组插值节点的划分前后两组插值节点的划分插值余项可表示成插值余项可表示成 取取n+2个个节节点点分分别别用前用前n

14、+1个个节节点和后点和后n+1个个节节点点和和，如如图图2.1所示所示构造构造n次插次插值值多多项项式式例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50，并估计误差。并估计误差。解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用利用利用 计算得：计算得：sin 50 0.76008,sin 50 =0.7660444利用利用x0,x1 作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.010010.01001利用利用x1,x2作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.005960.0059

15、6n=2sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061三、牛顿插值三、牛顿插值（NewtonNewtons Interpolation s Interpolation）Lagrange Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部全部基函数基函数li(x)都需要重新计算。都需要重新计算。希望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可上去即可。1 1、能否重新在能否重新在 中寻找新的中寻找新的基函数基函数？F回顾：回顾：Lagrange 插值的优缺点：插值的优缺点：优点：优点：具有严格的

16、规律性具有严格的规律性,便于记忆。便于记忆。缺点：缺点：计算量大、不具有承袭性。计算量大、不具有承袭性。利用插值条件利用插值条件 代入上式，代入上式，得关于得关于 的线性代数方程组的线性代数方程组:设设当当 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解It is not a difficult thing for a mathematician.We can use notationHow complex the expression are!2差商差商2.1 差商的定义差商的定义(亦称均差亦称均差)定义定义1：设有函数设有函数f(x)以及自变量的一系列以及自变量的一系

17、列的值的值 f(xi),称称为为f(x)在点在点xi,xj处的处的一阶差商一阶差商，并记作并记作f xi,xj，互不相等的互不相等的 （即在（即在 时，时，）又称又称为为f(x)在点在点xi,xj,xk处的处的二阶差商二阶差商 称称 为为f(x)在点在点x0,x1,xk处的处的k阶差商阶差商。由差商定义可知：由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。高阶差商是两个低一阶差商的差商。利用插值条件和差商的定义利用插值条件和差商的定义,可求出可求出 的的系数系数 :从而从而 因因此此，每每增增加加一一个个结结点点，NewtonNewton插插值值多多项项式式只只增增加加一项，克服了一项，克服了

18、LagrangeLagrange插值的缺点。插值的缺点。2.2 差商的性质差商的性质:性质性质1(差商与函数值的关系差商与函数值的关系):记记 ,则则 性质性质2（对称性）（对称性）：差商的值与结点排列顺序无关，即差商的值与结点排列顺序无关，即性质性质3 3(差商与导数的关系差商与导数的关系):设设 在在 上有上有 阶导数阶导数,且且则存在则存在 使得使得性质性质4 4(特征定理特征定理):差商可列表计算：差商可列表计算：f(x0)f(x1)f(x2)f(xn 1)f(xn)f x0,x1f x1,x2 f xn 1,xnf x0,x1,x2 f xn 2,xn 1,xnf x0,xnxi y

19、i 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 n 阶差商阶差商 x0 x1x2xn-1xn xn+1 f(xn+1)f xn,xn+1 f xn 1,xn,xn+1 f x1,xn+1 f x0,xn+12.3 差商的计算差商的计算:3.3.牛顿差值余项牛顿差值余项F由插值多项式的由插值多项式的唯一性可知唯一性可知 ，故其余项也相同，即故其余项也相同，即定理：定理：Newton插值多项式的余项为插值多项式的余项为 其中其中例例:给定 的数据表 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.098611.构造差商表2.分别写出二次

20、、四次Newton插值多项式解解:构造差商表构造差商表一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商四、等距节点插值四、等距节点插值 1 1引入引入(微商的离散化微商的离散化)2差分的定义差分的定义设函数设函数 在等距节点在等距节点 上的上的值值 为已知为已知,这里这里 为常数为常数,称为称为步长步长.定义定义:偏差偏差分别称为分别称为 在在 处以处以 为步长的为步长的向前差分向前差分,向后差分向后差分,以及以及中心差分中心差分.3、差分表、差分表 计算各阶差分可按如下差分表进行：计算各阶差分可按如下差分表进行：4 4、差分的性质、差分的性质性质性质1(差分与函数值的关系差

21、分与函数值的关系):各阶差分均可表示各阶差分均可表示 为函数值的线性组合为函数值的线性组合:其中，其中，性质性质2 (前差与后差的关系前差与后差的关系):性质性质3 (多项式的差分多项式的差分):若若 f(x)Pn(n次多项式类次多项式类),则则性质性质4 4(差分与差商的关系差分与差商的关系):在等距节点的前提下，在等距节点的前提下，性质性质5 (差分与导数的关系）差分与导数的关系）：在等距节点的前提下，在等距节点的前提下，性质性质6：常数的差分等于零常数的差分等于零.性质性质7 7：差分算子为线性算子，即差分算子为线性算子，即性质性质8：这个性质类比于这个性质类比于 性质性质9：（类比于分

22、部积分法则（类比于分部积分法则）5、等距节点的牛顿插值公式、等距节点的牛顿插值公式牛顿公式牛顿公式:牛顿前插公式牛顿前插公式利用差分的性质利用差分的性质,可将可将Newton公式简化为公式简化为(1)称公式称公式(1)(1)为为NewtonNewton向前差分插值公式向前差分插值公式,其余项为其余项为(2)牛顿后插公式牛顿后插公式如果将如果将Newton插值公式插值公式改为按节点改为按节点 的的(3)次序排列的次序排列的NewtonNewton插值公式插值公式,即即令令x=xn-th,则当则当x0 xxn时时,0tn.利用差商与利用差商与向后差分的关系向后差分的关系,式式(3)(3)可简化为可

23、简化为(4)称式称式(4)(4)为为NewtonNewton向后差分插值公式向后差分插值公式。其余项为其余项为注：注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，时用后插，故两种公式亦称为故两种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。例例 给定给定f f(x x)在等距节点上的函数值表如下在等距节点上的函数值表如下:xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi)1.5 1.8 2.2 2.8分别用分别用NewtonNewton向前和向后差分公式求向前和向后差分公式求f f(0.5)(0.5)及及f f(0.9)(0.9)的近似值的近似值.解解 先构

24、造向前差分表如下先构造向前差分表如下:xi fi fi 2 2fi 3 3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.分别用差分表中对角线上的值和最后一行分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值的值,得得NewtonNewton向前和向后插值公式如下向前和向后插值公式如下:(1)(2)当 x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5.将t=0.5代入(1),得 f(0.5)N3(0.5)=1.64375.当x=0.9时,用公式(2),这时t=(x3-x)/h=0.5

25、.将t=0.5代入(2),得 f(0.9)N3(0.9)=2.46875.五、五、Hermite Hermite 插值插值1 1引入引入 在实际问题中，对所构造的插值多项式，在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅不仅要求函数值重合，而且要求若干阶要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 P(x)满足满足:（1）把此类插值多项式称为把此类插值多项式称为带导数的插值多项式带导数的插值多项式，记为，记为H(x)。埃米尔特（埃米尔特（Hermite）插值多项式）插值多项式或称或称H(x)存在且唯一存在且唯一2.2.推导推导只讨论函数值与导数值个数相等的情

26、况只讨论函数值与导数值个数相等的情况.设在节点设在节点 上上,要求插值多项式要求插值多项式 ,满足条件满足条件(5)这里给出的这里给出的 个条件个条件,可唯一确定一个次数不超可唯一确定一个次数不超过过 的多项式的多项式 其形式为其形式为如根据条件如根据条件(5)(5)来确定来确定 个系数个系数 ,显然非常复杂显然非常复杂,因此因此,仍采用求仍采用求LagrangeLagrange插值多项式的插值多项式的基函数方法基函数方法.先求插值基函数先求插值基函数 及及 ,共有共有 个个,每一个基函数都是每一个基函数都是 次多项式次多项式,且满足条件且满足条件(6)于是满足条件于是满足条件(5)(5)的插

27、值多项式的插值多项式 可写成用插值基函数表示的形式可写成用插值基函数表示的形式,即即(7)由条件由条件(6),(6),显然有显然有下面的问题就是求满足条件下面的问题就是求满足条件(6)(6)的基函数的基函数 及及 为此为此,可利用可利用LagrangeLagrange插值基函数插值基函数 .令令 其中其中 是式是式 所表示的基函数所表示的基函数.由条件式由条件式(6),(6),有有整理整理,得得解得解得由于由于两端取对数再求导两端取对数再求导,得得于是于是同理可得同理可得(8)(9)3.3.Hermite Hermite 插值余项插值余项还可以证明满足条件还可以证明满足条件(5)(5)的插值多

28、项式是唯一的的插值多项式是唯一的.用反证法用反证法,假设假设 及及 均满足条件均满足条件(5),(5),于是于是在每个节点在每个节点 上均有二重根上均有二重根,即即 有有 重根重根.但但 是不高于是不高于 次的多项式次的多项式,故故 .唯一性得证唯一性得证.仿照仿照Lagrange插值余项插值余项的证明方法的证明方法,若若 在在 内的内的 阶导数存在，则其阶导数存在，则其插值余项为多少？插值余项为多少？(10)其中其中 且与且与 有关有关.作为带导数插值多项式作为带导数插值多项式(7)(7)的重要特例是的重要特例是n=1n=1的情形的情形.这时可取节点为这时可取节点为 及及 ,插值多项式为插值

29、多项式为 ,满足条件满足条件(11)相应的插值基函数为相应的插值基函数为 ,它们满足条件它们满足条件根据根据(8)(8)式及式及(9)(9)式的一般表达式式的一般表达式,可得可得于是满足条件于是满足条件(11)(11)的插值多项式是的插值多项式是其余项为其余项为 ,由式由式(10)(10)得得注：注：N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。其余项为其余项为N 1要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的阶导数都重合的插值多项式即为插值多项式即为 在在 点处的点处的Taylor多项式多项式4.举例举例例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 ,求多项式求多项

30、式 P(x)满足满足 解：解：首先，首先，P 的阶数为的阶数为3,模仿模仿 Lagrange 多项式的多项式的 思想，设思想，设其中其中且且 ,并估计误差。并估计误差。h0(x)有根有根 x1,x2，且且 x1 是重根。是重根。又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)与与h0(x)完全类似。完全类似。h1(x)有根有根 x0,x2 由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 可解。可解。(x)h1 有根有根 x0,x1,x2又又:C1 可解。可解。与与 Lagrange 分分析完全类似析完全类似解解:设设hi(x)有根有根 x0,xi,xn且都是且都是2重根重根 一般地，已知一般地，已知 x

31、0,xn 处有处有 y0,yn 和和 ，求，求 H2n+1(x),满足满足 。其中其中由余下条件由余下条件 和和 可解可解Ai 和和 Bi 这样的这样的Hermite 插值唯一插值唯一 (x)hi有根有根 x0,xn,除了除了xi 外都是外都是2重根重根 设设则则六、分段低次插值六、分段低次插值1.多项式插值的龙格现象多项式插值的龙格现象例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x)f(x)n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象2.分段线性插值

32、分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ,易证：当易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。yxoy=f(x)y=p(x)若令若令则则 是分段一次的连续函数且满足条件是分段一次的连续函数且满足条件 则则 即为分段线性插值的基函数即为分段线性插值的基函数,基函数基函数 只在只在 附近不为零附近不为零,在其它地方均为零。在其它地方均为零。这种性质称为这种性质称为局部非零性质局部非零性质。相应的分段线性插值。相应的分段线性插值函数为：函数为：分段线性插值的误差估计分段线性插值的误差估计定理定理1 1 如果如果

33、在在 上二阶连续可微上二阶连续可微,则分段线则分段线性插值函数性插值函数 的余项有以下估计的余项有以下估计 其中其中,3.分段三次分段三次Hermite插值插值 给定节点给定节点 ，在节点在节点 上的上的函数值及导数值分别为函数值及导数值分别为 。其中基函数为其中基函数为是分段三次，总体是直至一阶导数连续，插值函数为是分段三次，总体是直至一阶导数连续，插值函数为在每个子区间在每个子区间 上作两点三次上作两点三次Hermite插值，因此插值，因此 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，这种插值方法称为这种插值方法称为样条插值样条插值。它所对应的曲

34、线称为它所对应的曲线称为样条曲线样条曲线，其节点称为，其节点称为样点样点，把满足这样条件的插值函数，称为把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数样条插值函数，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，图图2.1 早期机翼下早期机翼下轮轮廓的放廓的放样样 如图如图2.1所示，在早期的板材曲线切割时，常把富有弹性的所示，在早期的板材曲线切割时，常把富有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，其它地方让其自由弯曲，细长木条（样条）固定在样点上，其它地方让其自由弯曲，然后画出长条的曲线称为样条曲线，由此启发设计整体连然后画出长条的曲线称为样条曲线，由此启发设计整

35、体连续光滑的样条插值函数续光滑的样条插值函数。问问 题题 分段低次插值虽然具有简单、收敛性、整体分段低次插值虽然具有简单、收敛性、整体连续性及数值计算的稳定性等优点，但在节连续性及数值计算的稳定性等优点，但在节点处常有点处常有“尖点尖点”出现，光滑性较差。特别出现，光滑性较差。特别是需要给出节点处的导数值，这在多数问题是需要给出节点处的导数值，这在多数问题中是不实际的。如何在没有节点导数数据时中是不实际的。如何在没有节点导数数据时也能达到上述目的？为此引入样条插值函数也能达到上述目的？为此引入样条插值函数。七、三次样条插值七、三次样条插值1.引入引入定义：定义：设对设对y=f(x)在区间在区间

36、a,b上给定一组节点上给定一组节点a=x0 x1 x2 xn=b和相应的函数值和相应的函数值y0,y1,yn，如果如果s(x)具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个子区间在每个子区间xi-1,xi(i=1,2,n)上上s(x)是不高是不高 于三次的多项式于三次的多项式;（2）s(x)，s(x)，s (x)在在 a,b上连续；则称上连续；则称s(x)为为三次样条函数三次样条函数.如再有如再有（3）s(xi)=f(xi)(i=0,1,2,n)，则称则称s(x)为为y=f(x)的的三次样条三次样条插值函数插值函数。注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区

37、别在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个个端点可能需要）；而端点可能需要）；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插在所有插值点的导数值。值点的导数值。S(x)H(x)f(x)给定函数给定函数f(x)在在 a,b上的一组节点：上的一组节点：及节点上的函数值及节点上的函数值，函数函数S(x)是满足下列条件的函数是满足下列条件的函数的三次样条插值的三次样条插值(1)S(xi)=f(xi)=yi，(2)S(x)在子区间在子区间 上是三次多上是三次多项项式，式，记为记为；2.三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造(3)S(x)在插值

38、节点处连续，即在插值节点处连续，即(4)在插在插值节值节点点处连续处连续，即，即(5)即即。要保证要保证S(x)的存在唯一性，必须附加两个边界条件。例如，的存在唯一性，必须附加两个边界条件。例如，满足下列四种满足下列四种边界条件边界条件中的任意一个：中的任意一个：(1)固支边界条件（固支边界条件（D1-样条）：样条）：3.边界条件边界条件(2)弯矩边界条件（弯矩边界条件（D2-样条）：样条）：(3)自然自然边边界条件（自然界条件（自然样样条）：条）：(4)周期周期边边界条件界条件（周期样条）（周期样条）：上述几种边界条件都有它们的实际意义，从力学角度看，上述几种边界条件都有它们的实际意义，从力

39、学角度看，附加边界条件相当于在细梁两端加上约束。工程中常用附加边界条件相当于在细梁两端加上约束。工程中常用自然边界条件求样条插值函数，这类插值函数称为自然自然边界条件求样条插值函数，这类插值函数称为自然样条函数，利用插值条件和连续线性条件列出线性方程样条函数，利用插值条件和连续线性条件列出线性方程组并求解，是一种构造样条的基本方法。组并求解，是一种构造样条的基本方法。构造思想构造思想:通过构造含待定参数的分段三次通过构造含待定参数的分段三次Hermite插值多插值多项式来构造三次样条插值函数。构造项式来构造三次样条插值函数。构造Hermite插值多项式需插值多项式需要知道被逼近函数要知道被逼近

40、函数f(x)的导数，而导数通常是不知道的。三的导数，而导数通常是不知道的。三次样条插值函数的构造则不需要知道次样条插值函数的构造则不需要知道f(x)的导数值，直接将的导数值，直接将其作为待定参数，利用各节点在连接处的光滑性与连续性其作为待定参数，利用各节点在连接处的光滑性与连续性条件，建立关系式来确定待定参数，从而构造插值多项式。条件，建立关系式来确定待定参数，从而构造插值多项式。4.三弯矩方程三弯矩方程设设f(x)是定义在是定义在 a,b区间上的一个二次连续可微函数区间上的一个二次连续可微函数，为分划：为分划：令令 i=0,1,2,n在每一个小区间在每一个小区间xi-1,xi i=1,n 上

41、都是三次上都是三次多项式，多项式，S (x)在在 xi-1,xi 上的表达式为：上的表达式为：其中其中 ，将（将（12）两次积分得）两次积分得：（12）Ai 和和Bi 为积分常数。为积分常数。因为因为所以它满足方程：所以它满足方程：（13）求求 Mi，确定确定S(x)的表达式的表达式。微分微分（13）式式于是于是 11111163)(+=iiiiiiiiiMhhyyMhxS由由 得得（14）则则（13）可以写为可以写为各项除以各项除以hi+hi+1，并记，并记 （1）D1-样条样条：于是可得于是可得有有给定两端点导数值：给定两端点导数值：分别补充为方程组分别补充为方程组（13）的第一个和最后的

42、第一个和最后一个方程组，得一个方程组，得D1-D1-样条的三弯矩方程为：样条的三弯矩方程为：（2）D2-样条样条：给定边界条件：给定边界条件得三弯矩方程得三弯矩方程若取若取 M0=Mn=0，称为，称为三次自然样条三次自然样条。（3）周期样条：）周期样条：若若f(x0)=f(xn),则可将则可将s(x0)=f(x0)或或 s(xn)=f(xn)去掉，去掉，再加入条件再加入条件 可得周期样条的三弯矩方程可得周期样条的三弯矩方程补充（补充（14）中的最后及第一个方程）中的最后及第一个方程经补充后的方程组经补充后的方程组（13）为为（14）其中，对端点条件其中，对端点条件，有，有对端点条件对端点条件，

43、有有（14）是一个三对角方程组是一个三对角方程组，可用可用追赶法追赶法解之。解之。此方程组系数此方程组系数严格对角占优严格对角占优！从而存在唯一解！从而存在唯一解。求出了求出了Mi(i=0,1,n)，也就求得了也就求得了S(x)在各个在各个小区间的表达式小区间的表达式Si(x)（i=0,1,2,n）5、三次样条插值的计算步骤、三次样条插值的计算步骤(1)根据已知条件顺次计算方程组系数根据已知条件顺次计算方程组系数 ，求出三次求出三次样样条插条插值值的三弯矩方程的三弯矩方程组组；(2)由由给给定定边边界条件，确定界条件，确定；(3)用追赶法求解方程用追赶法求解方程组组(14)，求出求出，再使用逆

44、序回代求出再使用逆序回代求出；(4)将求出的将求出的代入代入(13)式，求出式，求出 上的三次上的三次样样条插条插值值 函数函数。对给对给定的点定的点，须须首先确定首先确定 所在的子区所在的子区间间 然后按三次然后按三次样样条插条插值值的的计计算步算步骤计骤计算算，进进而求出而求出。6.算法算法若取等距节点若取等距节点 hi=h,i=1,n 1（1）i=1,2,nhi=xi xi-1（2）i=1,2,n（3）解解n 1阶三对角方程组阶三对角方程组，得得M1,M2,Mn-1 代入端点条件计算代入端点条件计算M0,Mn（4）若取若取 ，计算计算7.三次样条插值函数的收敛性三次样条插值函数的收敛性定

45、义定义:设设 是区间是区间 上的连续函数，记上的连续函数，记函数函数 的范数的范数.为为定理定理 设被插值函数设被插值函数 为满足边界为满足边界条件条件或或的的3次样条插值函数，则在插值区间次样条插值函数，则在插值区间 上成立余项估计式上成立余项估计式其中其中,汽车刹车距离求解汽车刹车距离求解 使用三次使用三次样样条插条插值值来来预测车辆预测车辆的停止距离，若的停止距离，若给给定自然定自然边边界界条件条件进进行三次行三次样样条插条插值值，则则有有，由公式由公式可可计计算出算出代入代入(14)可得可得由追赶法可求得由追赶法可求得代入公式代入公式求得三次求得三次样样条函数如表条函数如表2.1所示，

46、插所示，插值图值图像如像如图图2.2所示。所示。表表2.1图图2.2 刹刹车车距离距离问题问题的三次的三次样样条插条插值值函数函数 显显然然这这个个结结果与果与“2秒法秒法则则”并不一致，并不一致，对对于每小于每小时时40英里英里以下速率是相当吻合的，而以下速率是相当吻合的，而对对速率大于每小速率大于每小时时40英里的汽英里的汽车车来来说则说则大大低估了停止距离。根据大大低估了停止距离。根据样样条插条插值值函数，函数，计计算不同算不同速率的刹速率的刹车时间为车时间为：由此可以提出一种新的法由此可以提出一种新的法则为则为：当速率介于：当速率介于为为 英里英里/小小时时之之间时间时遵循遵循“2秒法

47、秒法则则”，当速率介于当速率介于为为 英里英里/小小时时之之间时间时遵循遵循“3秒法秒法则则”，当速率介于当速率介于为为英里英里/小小时时之之间时间时遵循遵循“4秒法秒法则则”。历史与注记历史与注记 17561756年，拉格朗日被任命为普鲁士科学年，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。院通讯院士。17661766年任普鲁士科学院数学部主任。年任普鲁士科学院数学部主任。17861786年出任法国米制委员会主任。年出任法国米制委员会主任。17951795年拉格朗年拉格朗日被选为法兰西研究院科学院数理委员会主席。日被选为法兰西研究院科学院数理委员会主席。18131813年年4 4月月3 3日，拿破

48、仑授予他帝国大十字勋章日，拿破仑授予他帝国大十字勋章。拉格朗日在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力拉格朗日在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚。他在数值计算上的主学脱离开来，使数学的独立性更为清楚。他在数值计算上的主要贡献是发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基要贡献是发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地础。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作，在数学史上被认为是对数学的发展产溯源于拉格朗日的工作，在数学史上被认为是对数学的发展产生全面影响的数

49、学家之一。生全面影响的数学家之一。拉格朗日拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange，17361813)拉格朗日拉格朗日1736年生于年生于意大利意大利都灵都灵，1813年卒于年卒于巴黎巴黎。在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其它许多又是导出其它许多 数值方法（如数值积分、非线性方程求数值方法（如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）的依据。插值法的一般参考资料见根、微分方程数值解等）的依据。插值法的一般参考资料见文献文献1,2，关于样条的一篇有重要影响的论文参见文献，关于样条的一篇有重要影响的论文参

50、见文献3。插值一词最早是由插值一词最早是由Wallis提出的，公元提出的，公元6世纪，中国刘焯世纪，中国刘焯已将等距二次插值用于天文计算。已将等距二次插值用于天文计算。17世纪，牛顿和格雷果世纪，牛顿和格雷果里建立了等距节点上的插值公式。里建立了等距节点上的插值公式。18世纪，拉格朗日给出世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。了更一般的非等距节点上的插值公式。1946年年,Schoenberg 首先提出了样条插值函数。首先提出了样条插值函数。1 P.J.Davies.The Finite Element Method:A First Approach.Oxford Univers