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1、第一节 函数及其表示,基础梳理,1. 函数的概念设A、B是非空的 ,如果按照某种 ,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有 和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记作 .其中,所有输入值x组成的集合A叫做函数的 ;对于A中的每一个x都有一个 与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的 .,数集,对应法则f,唯一的元素y,y=f(x),xA,定义域,输出值y,值域,2. 构成函数的三要素: 、 和 。,3. 两个函数相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域B和对应关系f.定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的 和 都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
2、,4. 常用的函数表示法(1) (2) (3) .,5. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个 ,而每个 的 不同,这种函数称为分段函数.,定义域,对应法则,值域,定义域,对应关系,解析法,列表法,图象法,子区间,解析式,子区间,6. 映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元素,在集合B中都有 的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作 。,每一个,唯一,“f:AB”,典例分析,题型一 函数的概念,【例1】设函数f(x)= 求f(-4);f( )=8,求,分析 这是分段函数的变换问题，需要结合定义域作数值代换。,解 综上所述
3、，,学后反思 本题是在已知分段函数的解析式的前提下，通过给出自变量（函数值），确定函数值（函数值）这也是在近几年高考中考查函数概念的常见题型，解决这类问题的关键是要理解函数的定义：自变量确定，有唯一的函数值与之对应，函数值确定，可能有多个自变量与之对,应，同时，面对分段函数一定要结合定义域分段考虑,举一反三1.已知符号函数sgnx= ,则不等式（x+1）sgn的解集是 。,解析： 不等式（x+1）sgn x2,可化为 或 或解得x1或x1,答案： x|x1,题型二 判断两个函数是否相同【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数.,分析 根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断.,(4)由于函数
4、 的定义域为x|x0,而 的定义域为x|x-1或x0,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.,学后反思 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应关系都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.,解析 中两函数定义域不同,中两函数定义域不同,中两函数定义域不同,中两函数定义域相同，对应法则也相同.,答案：,分析 (1)用配凑法;(2)用换元法;(3)用方程组法.,解(1),把中的x换成,学后反思 函数解析式的常见求法
5、有:(1)配凑法.已知f h(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.,(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)= +bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出a、b、c即可.,(3)换元法.已知f h(x) =g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出
6、f(x).,举一反三3.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);（2）已知g(x)=1-2x, .,解析 (1)设f(x)=ax+b(a0),由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=2x+17ax+5a+b=2x+17，,(2)令g(x)=1-2x= ,得,题型四 分段函数的应用【例4】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时，
7、超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？,分析 在本题中，用水量（自变量x）属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费.,解 用y表示本季度应交水费（单位：元）.当0x5时， =1.3x3当5x6时，应把x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分收基本水费1.35，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=1.3(x-5)(1+200%)， =1.35+1.3（x-5）(1+200%)=3.9x-137当6x7时,同理： =1.35+1.3(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)
8、=6.5x-28.611综上可能,学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意要使各区间的端点既不重复又不遗漏.,例如，某人购物1300元，则享受这口优惠的金额为（1300-1000）元，优惠额300 10%=30，实际付款1270元。（1）某顾客购买了1800元的商品，它实际应付款多少元？（2）设某人购物总金额为x 元，实际应付款y 元，求y 关于x 的函数解析式,解析 （1）若顾客购买了1800元的商品，则实际付款为 100+500（1-10%）+（1800-1500） （1-20%）=1690（元）（2）当 元时，应付款 x 元; 当 元时，应付款 当,【例】
9、已知 错解 由已知得,易错警示,错解分析 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化致错.也就是说,在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换.,正解 由已知得,10.如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.,解析：由题易知函数的定义域为(0,12). 当0x4时,S=f(x)= 4x=2x; 当4x8时,S=f(x)=8; 当8x-2x的解集为（1，3）.若方程f(x) +6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式.,12.
10、经市场调查得知，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t) =80-2t（件），价格近似满足f(t)=20- (元）。 （1）是写出该种商品的日销售额y与时间（ ）的函数表达式；（2）球该种商品的日销售额y的最大值与最小值,解析 由方程f(x)=a(x-1)(x-3)-2x= -(2+4a)x+3a因为方程f(x)有两个相等的实根，所以 -(2+4a)x+9a=0即 -4a-1=0,解得 a=1或a=-易知 a0,故舍去a=1,将a=- 代入得 f(x)的解析式为f(x)=,解析 （1）y=g(t) f(t)=(80-2t)(20 )=(40-t)(40- )=(2)当 时，y 的取值范围是 ， 当t=5时，y 取得最大值为1225； 当 时，y的取值范围是 当t=20时,y取得最小值为600 所以日销售额的最大值为1225元，最小值为600元,