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1、第一节 二次函数,基础梳理,一条抛物线,向上,最小,R,1.二次函数的性质与图象(1)函数 叫做二次函数,它的定义域是 .(2)二次函数有如下性质：函数的图象是 ,抛物线顶点的坐标是 . 抛物线的对称轴是 ;当a0时,抛物线开口 ,函数在 处取 值 . 在区间 上是减函数,在 上是增函数;,当a0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程 的两根;当=0时,与x轴切于一点 ;当0时,与x轴 ;当b0时,是非奇非偶函数;当b=0时,是 ;,没有交点,偶函数,对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线 对称.,x=a,2.二次函数、一元二次方程、一元
2、二次不等式三者之间的关系,x|xR,(2)hm,n 时,当hn时,f(x)在 m,n 上单调 , . .,f(n),f(m),题型一 二次函数图象和性质的应用,【例1 】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.,分析 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题.,解 方法一 :利用二次函数一般式. 设f(x)=,方法二:利用二次函数顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n(a0).f(2)=f(-1),抛物线对称轴为 又根据题意,函数有最大值f(x)max=8,方法
3、三:利用两根式.由已知f(x)+1=0的两根为 ,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即 .又函数有最大值f(x)max=8,即 解得a=-4，或a=0(舍去).故所求函数解析式为 .,学后反思 求二次函数的解析式的关键是求待定系数的值.由题目的条件,合理地选择二次函数解析式的表达形式,最简单地求出解析式是关键.,举一反三,1.右图是一个二次函数的图像（1）写出这个二次函数的零点；（2）求这个二次函数的解析式；（3）当实数k在和范围内变化时，g(x)=f(x)-kx在区间 上是单调函数,解析： （1）由图可知二次函数的零点为-3，1.（2）设二次函数为y=a(x+3)(x-1)
4、，由点（-1，4）在函数上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=,(3)g(x)= 开口向下，对称轴为当 ，即k2时，g(x)在 上单调递减当 ,即k-6时，g(x)在 上单调递增综上所述，当k-6或k2时，g(x)在区间 上是单调函数,题型二 轴定区间动,【例2 】已知 ，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式,分析 在对称轴确定的情况下，对区间 进行分析,解 二次函数的图像的对称轴 (1)当（2）当,学后反思 二次函数 在区间 上求最值的方法可分为情况讨论：(1)若 ，则最小值为 ，最大值为 中较大者(m,n中与 距离较远的一个为最大值).(2)若 ，当 时，f(x)在
5、上是单调增函数，则最小值为f(m)，最大值为f(n);当 时，f(x)在 上是单调递减函数，则最小值f(n)，最大值 f(m)。,举一反三,2.已知函数y=(2m-1)x+1-3m，m为何值时，（1）这个函数为一次函数？（2）函数值y随x的增大而减小？（3）这个函数图像与直线y=x+1的图像交点在x轴上?,解析 : 二次函数图像的对称轴为 (1)当 时，即 ， ，（2）当 ，当 时，即当 时，即,(3)当 时，h(t)=,题型三 轴动区间定,【例3 】已知函数 在0x1时有最大值2,求a的值.,分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在 0,1 上的单调情
6、况.,解 当对称轴x=a0时,如图(1)所示.即当x=0时,y有最大值,所以1-a=2,即a=-1，且满足a1,当a=2时也成立.综上可知，a的值为-1或2.,学后反思 二次函数 在区间 m,n 上求最值的方法:先判断 是否在区间 m,n 内：(1)若 则最小值为 ,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n中与 距离较远的一个为最大值）。,(2)若 当 n时,f(x)在 m,n 上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).,举一反三,3. 已知函数 在0x1时有最小值2,求a的值.,解析 由题意知函数的对称轴为x=a.当a0，即t-1时，则当x=1时， 即t=1（与t-1矛盾）不合题意当-1-t0，即t-1时，结合 的图像若当x=1时，y取得最大值 ，又t-1可得t=1.若当x=3时，y取得最大值 ，解得t=1或t=5，已验证t=5时，不合题意，故t=1,11.(2009江苏改编）设a为实数，函数（1）若 ,求a的取值范围； (2)求 的最小值。,综上所述,