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1、第一节 数列的概念与简单表示法,基础梳理,1. 数列的概念（1）按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的 项.（2）数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,an, ，数列简记为 an，其中a1称为数列的第1项(或称为首项），a2称为第2项，an称为第n项.2. 数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数 有限 的数列；无穷数列项数 无限 的数列.,3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集1,2,k）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)
2、(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n),.4. 数列的通项公式如果数列an的 第n项与序号n之间的关系 可以用一个 公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式.,列举法、列表法、解析法、图象法.,典例分析,题型一 数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式(1) 3,5,9,17,33,.;(2)(3)(4)(5),5. 递推公式如果已知数列an的首项（或前n项)，且 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.,任一项 与它的前一项 （或前几项）间,分析 分析各项的特点，找出规律，归纳出结论，然后再进行
3、验算，从而得出答案.,解 (1)中3可看做 ,5可看做 ,9可看做 ,17可看做 ,33可看做 ,所以 .(2)每一项的分母都是2，分子是相应项数的平方，所以 .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式 ,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可知，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是 , , ， ,按照这样的规律,第1、2两项可改写为 , ,所以,(4)数列中的1可看成 ，而0可看成 ，即 .(5)数列中偶数项均为0,奇数项的符号正负相隔，则想到用正弦、余弦函数来调整，若数列为1,0,-1,0,1,0,则可用 来表示,所以数列1,0, ,0, ,0,的通项公式为,学后
4、反思 由数列的前几项写出一个通项公式尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现其规律，首先要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变化而变化，其次要分析变化的因素与序号n的联系,再次是写出通项后进行验证或调整.,举一反三1. 数列 的通项公式an是.,解析:将数列中的各项变为故其通项公式,答案:,题型二 递推公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式.,分析(1)将递推关系写成n-1个等式累加.（2）将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.,方法二：由 ,得,学后反思（1）对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用
5、累加的方法求通项.（2）对于形如 的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法求通项.,举一反三2. 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式.（1）a1=1,an=an-1+3n-1(n2);,解析：(1) 以上n-1个等式两边分别相加得,(2),以上n-1个等式两边分别相乘得,题型三 利用数列的前n项和公式求通项【例3】已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式.（1）Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.,分析 当n2时，由 ,求出 .再验证当n=1时, 是否适合上式.,解(1)a1=S1=2-3=-1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n
6、)- 2(n-1)2-3(n-1) =4n-5,由于a1也适合此等式，an=4n-5.,(2)a1=S1=3+b,当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b-1时，a1不适合此等式.当b=-1时，an=23n-1;当b-1时，,学后反思已知an的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：应重视分类讨论的应用，分n=1和n2两种情况讨论,特别注意用an=Sn-Sn-1时需n2;由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1也适合“an式”,则需统一“合写”;,由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1不适合“an式”
7、,则数列的通项公式应分段表示（“分写”）,即,3. 已知数列 的前n项和 ，求数列 的通项公式.（1）(2) .,解析: (1)当n=1时， ; 当n2时， 又当n=1时， (2)当n=1时， ;当n2时， ,题型四 数列与函数【例4】（14分)已知数列 的通项公式为 (1)0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.,分析 （1）令an=0.98,看能否求出正整数n； （2）判断 的正负.,解 (1)令 =0.98，解得n=7,故0.98是此数列的项.6（2） .10 ,故此数列是递增数列.14,学后反思 （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判
8、断数列的单调性就是比较 与 的大小.,举一反三4. 已知数列 的通项公式为 ,试问数列 中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由.,解析： 当n7时， ,即 当n=8时， ,即 当n9时， ,即,综上可知，存在最大项，最大项为,易错警示,【例】已知数列an中 -kn(nN*)，且 单调递增，则实数k的取值范围是.,错解因为an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若 递增，则必有 1，故k2.错解分析函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即若数列所对应的函数单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它
9、的有限子集1,2,3,n)的特殊函数.故对于数列单调性的判断一般要通过比较 与 的大小来判断，若 ，则数列为递增数列;若 ,则数列为递减数列.,正解由于 ,由于 单调递增，故应有 ,即2n+1-k0恒成立，得k2n+1,故只需k3即可.,考点演练,10. 数列 中， =1,对于所有的n2，nN*都有 ，求 的值.,11. 已知数列an的通项公式为 =n(n+2),问： (1)80,90是不是该数列的项？如果是，是第几项？（2）从第几项开始，该数列的项大于10 000?,解析: (1)令n(n+2)=80,解得 =8, =-10(舍去)，80是数列的第8项;令n(n+2)=90,而此方程无正整数解,90不是该数列的项.（2） =9910110 000, 而 =10010210 000, 从第100项开始，该数列的项大于10 000.,12. (2008全国)设数列 的前n项和为 ,已知 ,nN*.(1)设 ,求数列 的通项公式；(2)若 ,nN*，求a的取值范围.,解析: (1)依题意， ,即 由此得 因此，所求通项公式为 ,nN*.(2)由知 ,nN*,于是，当n2时， 则,当n2时， 又 综上，所求的a的取值范围是-9,+).,