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1、第一节第一节 二次函数二次函数基础梳理基础梳理一条抛物线向上最小2yabxc a0 xR2bxa 24(,)24bacbaa1.二次函数的性质与图象(1)函数 叫做二次函数,它的定义域是 .(2)二次函数有如下性质：函数的图象是 ,抛物线顶点的坐标是 . 抛物线的对称轴是 ;当a0时,抛物线开口 ,函数在 处取 值 . 在区间 上是减函数,在 上是增函数;2bxa ()2bfa,2ba ,2ba当a0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程 的两根;当=0时,与x轴切于一点 ;当0=00)的图象一元二次方程的根有两相异实根x1,x2(x10(a0)的解集 . . .ax2+bx+c0)的解集 .
2、. .x|xR12x | xxxx或1x | xx12x | xxx max f m ,f n(2)hm,n 时,当hn时,f(x)在 m,n 上单调 , . .minymaxyf(n)f(m)题型一题型一 二次函数图象和性质的应用二次函数图象和性质的应用【例1 】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.分析 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题.解 方法一 :利用二次函数一般式. 设f(x)=2axbxc a0由题意得24a2bc-1,a-4,a-bc-1
3、, b4,c7,4ac-b8,4a解得所求二次函数为2y4x4x7 方法二:利用二次函数顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n(a0).f(2)=f(-1),抛物线对称轴为 又根据题意,函数有最大值f(x)max=8, 212(-1)2x21m 22221f(x)a(x-)8.21f(2)-1, a(2-)8-1a-4.21f(x)-4(x-)8-4x4x7.2解得方法三:利用两根式.由已知f(x)+1=0的两根为 ,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即 .又函数有最大值f(x)max=8,即 解得a=-4，或a=0(舍去).故所求函数解析式为 .12x2,x1 2f xax
4、ax2a1 2f x4x4x7 学后反思 求二次函数的解析式的关键是求待定系数的值.由题目的条件,合理地选择二次函数解析式的表达形式,最简单地求出解析式是关键.举一反三举一反三1.右图是一个二次函数的图像（1）写出这个二次函数的零点；（2）求这个二次函数的解析式；（3）当实数k在和范围内变化时，g(x)=f(x)-kx在区间 上是单调函数2 2 ，解析： （1）由图可知二次函数的零点为-3，1.（2）设二次函数为y=a(x+3)(x-1)，由点（-1，4）在函数上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=223xx(3)g(x)= 开口向下，对称轴为当 ，即k2时，g(x)在 上单调递减当
5、,即k-6时，g(x)在 上单调递增综上所述，当k-6或k2时，g(x)在区间 上是单调函数2223(2)3,xxkxxkx 22kx222k 2,2222k 2,22,2题型二题型二 轴定区间动轴定区间动【例2 】已知 ，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式2( )35,1f xxxxt t分析 在对称轴确定的情况下，对区间 进行分析,1t t 解 二次函数的图像的对称轴 (1)当（2）当 32x 2351, ( )(1)5122tth tf ttt 即353222t t+1即-2235tt，t-2题型三题型三 轴动区间定轴动区间定【例3 】已知函数 在0 x1时有最大值2,求
6、a的值. 2f xx2ax1 a 分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在 0,1 上的单调情况.解 当对称轴x=a0时,如图(1)所示.即当x=0时,y有最大值,所以1-a=2,即a=-1，且满足a1时,如图(3)所示.即当x=1时,y有最大值, maxyf 12aa2a=2,且满足a1,当a=2时也成立.综上可知，a的值为-1或2.学后反思 二次函数 在区间 m,n 上求最值的方法:先判断 是否在区间 m,n 内：(1)若 则最小值为 ,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n中与 距离较远的一个为最大值）。2yaxbxc a02ab-x00 x
7、m,n ,4ab-4ac)f(x202ab-(2)若 当 n时,f(x)在 m,n 上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).0 x m,n ,2ab-2ab-举一反三举一反三3. 已知函数 在0 x1时有最小值2,求a的值. 2f xx2ax1 a 解析 由题意知函数的对称轴为x=a.当a0时, ,不合题意;当0a1时,若0a ,则 ,不合题意; minf xf 1a 2 minf xf 1a 2 12若 1时,f(x)min=f(0)=1-a=2,a=-1,不合题意.综上所述,不存在这样的实数a,使f(x)在0 x1时有最小值2.题型四题型四 一元二次方程根的分布问题一元二次
8、方程根的分布问题【例4 】(14分) 已知函数 的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围 2f xmxm 3 x 1分析 本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系,可根据韦达定理去解决.解(1)当m=0时,f(x)=-3x+1,直线与x轴的交点为 ,在原点右侧,符合题意. 3,0) 31( (2)当m0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).5若m0,f(x)的开口向上,如图(2)所示.要使交点在原点右侧,当且仅当10. 0,m 0,2mm-30,4m-3)-(m2解得综上所述,所求m的取值范围是(-,1 142.1.1.m03m09,m1m即或学后反
9、思 (1)对于“二次”型函数,若 的系数不确定,要分系数等于零与不等于零两种情况讨论.(2)对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较容易解决.2x举一反三举一反三4. 方程 在x -1,1 的范围内有实根,求实数k的取值范围.22x3xk解析 设 ,对称轴为 2f x2x3xk, 43x (1)当方程f(x)=0在-1x1的范围内有两实根时,由图1可得-1.k89-0,k-1-0,k-50,8k90,f(1)0,f(-1)0,解得即(2)当方程f(x)=0在-1x1的范围内有且仅有一个实根时,由图2可得 综上所述,方程在x-1,1的范围内有根时,k的取值范围是 5k1-0,k-1-0,
10、k-5,89-k0,f(1)0,f(-1)0,解得即5,89-易错分析易错分析【例例】已知函数 求函数f(x)的最大值和最小值. 22f xx2ax3a1(a0,0 x1)， 22xa0,f x2a1错解 函数f(x)的最小值为 ,最大值不存在. 2222f xx2ax3a1xa2a1 22a1错解分析 由 就认为f(x)的最小值是 ，最大值不存在是不正确的.因为这里函数的定义域是 0,1 ,而且这里的二次函数f(x)图象的对称轴(x=a)的位置是不确定的.因此，应该讨论直线x=a相对于区间 0,1 的各种可能. 22f xxa2a122a1正解 由a0知，当a1时，由于f(x)在 0,1 上
11、是减函数，故f(x)的最大值为 ，最小值为 ;当0a1时，f(x)的最小值为 的最大值为f(0),f(1)中的较大者， 若f(0)f(1),则 解得a所以当0a 时，f(x)的最大值为 ;当 a1时，f(x)的最大值为 . 2222f xx2ax3a1xa2a1, 2f 03a1 2f a2a1,f x223a13a2a,2121 2f 13a2a21 2f 03a1考点演练考点演练10.(2008.浙江改编）已知t为常数，函数 在区间 上的最大值为2，求t的值。22yxxt0,3max32yt 解析： 当-1-t0，即t-1时，则当x=1时， 即t=1（与t-1矛盾）不合题意当-1-t0，即
12、t-1时，结合 的图像若当x=1时，y取得最大值 ，又t-1可得t=1.若当x=3时，y取得最大值 ，解得t=1或t=5，已验证t=5时，不合题意，故t=122211.yxxtxt 2yx11t 22yxxtmax12yt max32yt11.(2009江苏改编）设a为实数，函数（1）若 ,求a的取值范围； (2)求 的最小值。( )f x2( )2() ()f xxxaxa(0)1fmin( )f x( ),0f aa (),03afa 222,0,2,0.3aaaa(0)1f1a a 0a 21a 1a 解析 （1）若 ，则 （2）当 时， ， 22( )32f xxaxaxa当 xa时， = = 22( )2f xxaxamin( )f x ( ),0f a a 22,0aa22,0aa (),0fa a综上所述min( )f x22,0aa22,03aa