2022年微分方程复习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载常微分方程复习题一、填空题1微分方程dyndyy2x20的阶数是 _. dxdx答：1 2形如 _ 的方程称为齐次方程. 答：dygydxxy 1x,y2x3方程y4y0的基本解组是答： cos 2 , sin 2x. 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是答： 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）名师归纳总结 2. 方程y2yy0的基本解组是第 1 页,共 13 页答：ex xex3. 如 t和 t都 是XA t X的 基 解 矩 阵 , 就 t和 t具 有 的 关 系是；4. 一 阶 微 分

2、 方 程Mx ,ydxNx,ydy0是 全 微 分 方 程 的 充 分 必 要 条 件是；5. 方 程Mx,ydxNx ,y dy0有 只 含x 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件是；有只含 y 的积分因子的充要条件是；6. 一曲线经过原点,且曲线上任意一点x,y处 的切线斜率为2xy,就曲线方程为；7. 称为 n 阶齐线性微分方程；8. 常系数非齐线性方程 ya yn1a n1ya yexP m x 其中P m x 是 m 次多项式 中,就方程有形如的特解；9. 二阶常系数线性微分方程y3y2ye 有一个形如 x的特解；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

3、- - 10. 微分方程y4y21y精品资料欢迎下载；0的一般解为名师归纳总结 9. 微分方程xy2y3y40的阶数为；第 2 页,共 13 页10. 如ix t i0,1,2, n 为齐次线性方程的n 个线性无关解,就这一齐线性方程的通解可表为. 11. 设x t 为非齐次线性方程的一个特解, ix t i0,1,2, n 是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 就非齐线性方程的全部解可表为. 12. 如ix t i0,1,2, n 是齐次线性方程y a x yn1a n1 x yan x y0的 n 个解,w t为其朗斯基行列式,就wt满意一阶线性方程；答：wa 1 x w013. 函数是

4、微分方程yy2y0的通解 . 14. 方程y2yy0的基本解组是15. 常系数方程有四个特点根分别为11,0,1 二重根 ,那么该方程有基本解组16.YA x Y 肯定存在一个基解矩阵 x ,假如 x 是YA x Y 的任一解,那么 ；17. 如t是XA t X 的 基 解 矩 阵 , 就 向 量 函 数t= 是XA t XF t 的 满 足 初 始 条 件 0t0的 解 ； 向 量 函 数t= 是XA t XF t 的满意初始条件 0t的解；18. 设X1 ,X2 分别是方程组XA t XF 1 t ,XA t XF2 t 的解,就满意方程XA t XF t F2 的一个解可以为；19. 设

5、X*为非齐次线性方程组XA t XF t 的一个特解 , t是其对应的齐次线性方程组XA t X 的基解矩阵 , 就非齐线性方程组XA t XF t 的全部解可表为. 20. 方 程 组XA t X 的 n 个 解X1 ,X2 ,Xn 线 性 无 关 的 充 要 条 件- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是精品资料欢迎下载. 1,21. 如矩阵A 具有n 个线性无关的特点向量v v 2,v ,它们对应的特点值分别是2,n,那么矩阵 t = 是常系数线性方程组XAX 的一个基解矩阵；二、单项挑选题1 n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（C A

6、）个（D） n +2. （A） n ；（ B） n1；（C） n +1；2一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）（A）不是其对应齐次微分方程组的解；（ B）是非齐次微分方程组的解；名师归纳总结 （C）是其对应齐次微分方程组的解；（ D）是非齐次微分方程组的通解y. 第 3 页,共 13 页3如y1x,y2x 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,就该方程的通解可用这两个解表示为（C ）（A）1x2x；（B）1x 2x；（C）C1x2x1x； （ D）C1x2x . 4以下方程中为常微分方程的是（）A x22x10；Byxy2 ；C u2 u2u；D yx2c c 为常数） . t2

7、x2 y2 xy . 5. 以下微分方程是线性的是（）Ayx2y2；Byy2x e；Cyx20；Dy6. 方程y3y2y2 x e2x特解的外形为 Ay 12 ax ey2x；By 1ax2bxc e2x；Cy 1x2ax2bxc e2x；Dy 1x2ax2bxc e2x. 7. 以下函数组在定义域内线性无关的是（）A 4, x ；Bx2 ,2 , x x ；C5,cos2x ,sin2x ； D2 1,2, ,x x . 8. 以下方程中为常微分方程的是（）A2 t dtxdx0；B sinx1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Cyx1精品资料欢迎

8、下载2 u0. c c 为常数 ；D2ux2y 2名师归纳总结 9. 以下微分方程是线性的是（）40. x . 第 4 页,共 13 页Ay12 y ； Bdy11； Cy2bycx ； Dyxydxxy10. 方程y2y2yex cosx2sinx 特解的外形为 A y 1exAxBcosxCsin x ；B y 1exAxcosxCsinx ；C y1exAxB cosxCxD sin ；D y1xexAxB cosxCxDsinx . 11. 以下函数组在定义域内线性无关的是（）A1,3 x x ; B2x22 , , x x ；C1,sin2x,cos2x ；D2 5,sin x2 1

9、,cos x1. 12. 以下方程中为常微分方程的是（）Ax2y210；Byx2；yC2 u2u2 u；Dxy2c c 为常数 . 2x22 yyy2 cos13. 以下微分方程是线性的是（）Ady dxy；By26y1； Cyy3sinx ； D yx14. 方程yy2sinx 特解的外形为 A y 1xAcosxBsinx ；B y1Axsinx；C yBxcosx；D y 1Ax2cosxsinx .15. 以下方程中为常微分方程的是（）Ax2y2z20；B ycex ；C u2 u；D y=c 1cost+c2sint c1, c2 为常数 . tx2- - - - - - -精选学习

10、资料 - - - - - - - - - 16. 以下微分方程是线性的是（精品资料欢迎下载）yA x t xf t ；By3ycosx ；C xy2y ；Dy1yy . 4317. 方程y2y3yexcosx 特解的外形为 A y 1AcosxBsinx；B y 1Aex；C y 1exAcosxBsin ；D y 1Axexcosx. 18. 以下函数组在定义域内线性无关的是（）At 2e et,3 te；B 2 0, ,t t ；C 1,sin2t1 ,cos 2t2 ；D 4t, 2t 3, 6t+8. 19. 以下方程中为常微分方程的是（）A x 3+1=0；B ycex ； Cua2

11、2u0； D y2ye . xtx220. 以下微分方程是线性的是（）Ay2y21x ； By2ycosx ；C y2y2x ；2D xdx+ydy=0. 21. 方程y6y9y16e3x特解的外形为 A y 1Ae3x；B y12 Ax e3 ；C y1Axe3 ；D y13 exAsin3xBcos3x . 22. 以下函数组在定义域内线性无关的是（）Aex,x xe,2 xx e ；B2 22,cos , cosx ； C2 1,2, x ；D0,5 x 4 x 2e x e x . 23. 微分方程 y 3y+2y=2x 2e x 的特解 y*的形式是 A ax+bexB ax+bxe

12、xC ax+b+cexD ax+b+cxex 24. 微分方程y2y3y0的通解是 y= A3 xx3；B c xc 23；xC c exc e3 ；D c e 1xc e 2 3 . 25. 设 y1 ,y2 ,y 3 是线性非齐次方程ya x yb x yf x 的特解,就 1c 1c2y 1 c y2 c y3 A 是所给微分方程的通解；B 不是所给微分方程的通解；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载C 是所给微分方程的特解；名师归纳总结 D 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通

13、解,但确定不是特解. 第 6 页,共 13 页26. 微分方程 y4y2cos 12x的特解的形式是y= （）Aacos2x；Baxcos2 x ；Casin2xbcos2x ；Daxsin 2xbxcos2x .27. 以下方程中为常微分方程的是（）Ax43 x2x10；B yy2 x ；C 2 u2 u2u；Duv2w . 2 tx2y228. 以下微分方程是线性的是（）Ayxyy2 x ； Byx22 y ; Cyxy2f x ； Dyy3 y . 29.设y x ,y2 ,y 3 x 是二阶线性非齐次微分方程yP x yQ x yf x 的三个线性无关解,c c2是任意常数,就微分方程

14、的通解为 Ac y 1c y2y ;Bc y 1c y21c 1c2y ; Cc y 1c y2c 1c 2y ; Dc y 1c y 21c 1c2y . 30. 如连续函数f x 满意关系式f 2xftdtln 2,就f x 为（）02Aexln 2; Be2 ln 2; Cx eln 2De2xln 2. 31. 如y 13 ex,y23 xex,就它们所满意的微分方程为（）Ay6y9y0; By9y0; Cy9y0; Dy6y9y0. 32. 设y 1,y 2,y 是二阶线性微分方程yp x yq x yf x 的三个不同的特解,且y 1y2不是常数,就该方程的通解为（）y 2y3Ac

15、 y 1c y2y3; Bc 1y 1y2c 2y2y 3y ; Cc y 1c y 3y ; Dc y 1y 2c2y2y 3. 33. 设y 1,y 是方程yp x yq x y0的两个特解,就yc y 1c y （c c 2为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 任意常数）（）精品资料欢迎下载名师归纳总结 A 是此方程的通解; B 是此方程的特解; 第 7 页,共 13 页C不肯定是该方程的解; D 是该方程的解 . 34. 微分方程yyex1的一个特解形式为（）Aaexb ; Baxexbx ; Caexbx ; Daxexb . 35. 方程px

16、yy2dxqxy2x2dy0是全微分方程的充要条件是（B ）Ap4,q2; Bp4,q2; Cp4,q2; Dp4,q2. 36. 表达式cosxy2ay dxbycos xy23 x dy是某函数的全微分,就（）Aa2,b2; Ba3,b2; Ca2,b3; Da3,b3. 37. 方程yyyyxex是特解* y 的形式为（）A axb ex; Bx axb ex; Cx2axb ex; Dexaxbcos 2xcxdsin 2 x . 38. 方程y2yyx xe 的特解* y 的形式为（）A x axe ; B axx b e ; C x axx b e ; Dx2axx b e . 3

17、9. 已知y 1coswx 与y 23coswx 是微分方程y2 w y0的解 ,就yc y 1c y2是（）A 方程的通解 ; B 方程的解 , 但不为通解 ; C方程的特解 ; D 不肯定是方程的解. 40. 方程y3y2y3xx 2 e 的特解* y 的形式为（）A axx b e ；B axx b xe ; C axbx ce ; D axbx cxe . 41. 方程y3y2y2 x e2x特解的形式为（）A y2 ax e2x; Byax2bxc e2x; Cyx ax2bxc e2x; Dyx2ax2bxc e2x. 42. 方程x6x13xt e t25 t12特解外形为（）A

18、x 1At2Btt c e ; Bx 1Att B e ; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （Cx 1t Ate ; 精品资料D欢迎下载x 1t Ae . 名师归纳总结 43. 方程y2y2yexcosx 的特解外形为（）sint . 第 8 页,共 13 页Ay 1Acosxex; By 1Asinxex; Cy 1exAcosxBsin x ; Dy 1Aex. 44. 方程x2x2xtetcost 的特解外形为（）Ax 1At2Btt c ecost ; Bx 1At2Btt c esint ; Cx 1etAcostBsin t ; Dx 1

19、At2Btt c ecost2 Dt Ett F e45. 方程24 xy ey2xy3y dx2 4x y ey2 x y23 x dy0的积分因子为（）A 1; B 1; C 1; D 1. x2xy4y246. 方程eyx2xyeydy0的积分因子为（）A 1; B 1; C 1; D 1. x2xy2y47. 方程ex3y2dx2xydy0的积分因子为（）A 1; B 2 x ; C 1; D 2 y . xy48. 方程 y1xy dxxdy0的积分因子为（）A x e ; B ex; C y e ; D ey. 49. 方程22 x y2y5dx2x32 x dy0的积分因子为（）

20、A 1; B 11x2; C 1; D 11y2. xy50. 方程23 xy dx2 x y21 dy0的积分因子为（）A 1; B 1; C 1; D 1. xx2yy251. 方程x e dxx e ctgx2 cos y dy0的积分因子为（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A sinx ; B 精品资料C欢迎下载y ; D cosy . cosx ; sin52. 方程ydxx2y2x dy0的积分因子为（）. x1y. y2; D , A 1; B 1; C , x21x2y253. 方程3 y dx2x2xy2dy0的积分因子为（）1

21、2 x y. A 1; B1; C12; Dx2xy2 x y54. 方程y4y4y0的一个基本解组是 . e2 , x xe2x. A x ,e2x; B,1e2x; Cx2,e2x; D55. 方程y32 x yx e 是 . D线性非齐次方程A 可分别变量方程; B齐次方程 ; C全微分方程 ; 三、证明题p x1. 在方程ypxyqxy0中,p x,qx在 x ,上连续,求证：如,上的严格单恒不为零,就该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W是调函数名师归纳总结 证明 ：设y 1x ,y2x是方程的基本解组,就对任意x,它们朗斯基第 9 页,共 13 页行列式在,上有定义,且Wx0又由刘维

22、尔公式Wx Wx 0exps ds,x0,（5 分）x 0Wx Wx 0exps dspx x 0由于W0x0,px0,于是对一切x,有Wx0或W x 0故Wx是,上的严格单调函数（10 分）2设y1x和y2x是方程yqxy0的任意两个解,求证：它们的朗斯基行列式WxC,其中 C 为常数证明 : 假如y1x和y2x是二阶线性齐次方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yp x y精品资料0欢迎下载qxy的解,那么由刘维尔公式有与WxWx 0exptd tA 1tXx 0现在,px0故有WxWx 0 ex 0 d x 0tWx0C3设nn矩阵函数A 1t,

23、A 2t在区间 I 上连续, 试证明, 如方程组dXdtdXA 2x X在区间 I 上有相同的基本解组,就A t A 2 t , xI. t是dt证明： 由于方程组与dXA2xX在区间I 上有相同的基本解组,所以可设dt其基本解矩阵；从而有：d A t ,tI,求证： 它们dtd A 2 ,tI,dt所以A t A 2 ,tI ,又由于t 是其基本解矩阵,所以dett0,即t 可逆,故A t A 2 , xI. 4设y1x和y2x是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解,不能有共同的零点证明： 因 y 1x 和 y 2x 是两个线性无关解,故它们的朗斯基行列式1 x 2 x W x 0 * 1

24、x 2 x 反证；假如它们有共同零点,那么存在一个点 x ,使得1 x 0 2 x 0 0于是Wx01x 02x 0102001x 02x 0x 0x 0这与 * 式冲突所以它们不能有共同的零点名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5给定方程x3x2x精品资料欢迎下载t上连续 ,设1 ,2 是上f t ,其中f t 在述方程的两个解, 证明极限lim t1 2 存在 . 12x0的 解 , 因 为证 明 : 由 条 件 知 ,1 2 是 齐 次 线 性 方 程x3xx3x2x0的特点方程是33220 ,特点根是0,2

25、1,32 , 所以x3x2x0的基本解组为n 个解,它们所构成的1,et,e2t从而1 2 t 可由基本解组 1,et,e2t线性表示 , 即1 2 c 1c etc e2t所以极限tlim1 2 c 存在 . 6设y 1 ,y2 ,yn x 是 n 阶齐线性方程 y a x yn1a n1 x ya n x y0的任意 n 个解,它们所构成的朗斯基行列式为w x ,证明：1 w x 满意w x a x w x 0；2 w x w x ex xa t dt 0. 证明： 1 设y 1 ,y2 ,y n x 是 n 阶齐次线性方程的任意朗斯基行列式为w x y 12y 22y32y n2y 1y 2y3y ny 1 ny n2y n3y nny 1 n1y n21y n31y nn1由行列式的求导公式得名师归纳总结 w x y 12y22y 32yn2y 12y22y 32yn2第 11 页,共 13 页y 1y2y 3yny 1y2y 3yny n2y nny n2y nn y 1n y 3n y 1n y 3n y 1n1y n21 y 3n1y nn1 y 1n1y n21 y 3n1y nn1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 1y 2y 3精品资料yn欢迎下载y2y 3yny1a 1y 1y 2y 3yyn