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1、一、问答题 ：常微分方程习题及解答学习文档 仅供参考1. 常微分方程和偏微分方程有什么区分？微分方程的通解是什么含义.答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式；常微分方程，自变量的个数只有一个；偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上；常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，假设其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解；2. 举例阐述常数变易法的基本思想；答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解；dy例：求dxPx yQ x 的通解；第一利用变量别离法可求得
2、其对应的线性齐次方程的通解为P xdxyc，然后将常数 c 变易为 x 的待定函数c x ，令P x dxyc x，微分之，得到dydc x dxdxP x dxcxP xP xdx，将上述两式代入方程中，得到dc x dxP x dxc xP xP xdxcxP x即dc xQ x dxP xdxP x dxQ x积分后得到c xP xdxQxdxc 进而得到方程的通解P x dxyQ xP xdxdxc3. 高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答： n 阶线性微分方程的初值问题2x na t x n 1.an 1t xant xft 1xt0 1, x t0 ,.xn1 t 0n其
3、中 a1t ， a2 t ,.an t,f t 是区间 atb 上的已知连续函数，t0a,b ，1,2,.,n 是已知常数；它可以化为线性微分方程组的初值问题0100000100xx00010xt 0an t an 1tan 2ta1t f t但是需要指出的是每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立；4. 假设常系数线性方程组x A 与 B 有什么关系？Ax 和 xBx 有相同的基本解矩阵，就答 ： 设 常 系 数 方 程 组 xAx 的 基 解 为1 t exp At ， xBt 的 基 解 为2 texp Bt ，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩
4、阵，依据的解的性质知1tC2 t ，就可得 exp AtC exp Bt ， C 为非奇特 nn的常数矩阵；5. 写出线性微分方程组的皮卡逐次靠近序列；0t,tatbk t A st0k 1sf s dsk1,2,二、求以下方程或方程组的通解或特解 ：1. yx dy dxy2 sin2 x解：方程可化为xyyy2 sin2x，当 x0 时，ysin2 xyy 2 ，是伯努利方程；xx1sin 2 x其中 P x,Q x；令 zyxx1，方程可化为dzz2sinx，就dxxx1dxzxsin2 x1 dxxcx1 sin2xdxc1 1cos2x dxcxx2111xx 24sin 2xc1
5、1 sin 2 xc2 4xx将 zy1代入上面的式子，可得y 111 sin 2xc或者 1y1 y sin 2 xcyy0 也是方程的解；24xx24xx2 y2. yxyy0解：令 yp ，就原方程可化为yxpp 2p0对 x 求导，可得dppxp2 p 2 p dp2 p dp0 ，就 x2 p 2 pdxdxdx2 p dp0dx那么： x2 p 2 p2 p0 或者 dp0dx2 p当 x2 p2 p时，就2 py 2 p2 p2 p pp2 p2 2 p2 pp2 pp2 p 2 2 pdpdy当0 时，就 pc ，那么dxdxp ，可得 ycxc ，其中c, c 是任意常数；3
6、. xy2 y0232解：方法一：方程两端同时乘以x ，转化为欧拉方程x y2x y0 ；它的特点方程k k1k22k k10 ，特点根为 0， 0， 1.方程的基本解组为 1,lnx , x, 故其通解为yC1C2 lnxC3x方法二：令 yz ，将方程转化为一阶线性方程xz2 z0 ，解之得 zC1 ；2x即有 yC1，积分得 yC1C，再积分得其通解为yCCln xC xx2x2123d 2 ydy4. x22 xy1y00, y 00dx2dx解：原方程可写成yx2 y2xy1 ，方程的左边可写成yx2 y yx2 y就 yx2 y =1积分可得，1yx2 yxc1那么 yx2 yxc
7、由于 y 00 ，所以 c0 ，就2yx2 yx12利用常数变易法可求得方程的解为：x 2dxx2y2xx32x3x2 dxdxcx3x313 3212100x15. xAxA013xx2011x3x3c3dxc3 3c2解：特点方程为12 1311 24122可得特点值为12, 21, 32 ；0对应于特点值12 的特点向量为 v11，11对应于特点值21 的特点向量为v20，00对应于特点值32 的特点向量为 v33；10t0令1,1,1 ，可得方程组的基解为三、证明题t2t03 2t；2 t02 t1. 给定方程 x2xxf t ，其中f t 在t上连续，设1 t ,2 t 是上述方程的
8、任一两个解，证明极限lim t1 t 2 t 存在；证明：齐次方程 x32 22 xx00 的特点方程为解之得，0,1 ；所以齐次方程的通解为xcctc tt12,3123由于 1t,2 t 是非齐次方程的两个解，有解的性质可得，1 t 2t 是对应齐次方程的解，也就是说存在适当的常数c1, c2 ,c3 使得t t = cctc tt12123从而 limt t limcctc ttlimcctctct12t123t123t12. 证明：已知二阶非齐次方程xpt xqt xf t 对应齐次方程的一个非零解x1 t ，就该方程可以求得通解；证明：对于二阶线性方程xpt xqt xf t ，经过
9、变换xx1 t y ，得到x1t y2 x1 tptx1t yf t再作变换 zy ，即 z2 x1tpt x1t zf t x1 t x1t 这 是 一 个 以 z 为 未 知 函 数 的 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 ， 容 易 求 出 它 的 通 解 为p t dt1zx 2tC1f t x1tp t dtdt 再积分yp t dt1x 2tC1f t x1tp t dtdt dtC2就该方程的解可表示为x2 tx1t p t dt1x 2 tC1f t x1tp t dtdtdtC2那么齐次方程的解为：xc1x1tc2 x2 t 然后利用常数变易法可以求得非齐次方程的一个特解xt那么所求方程的通解为xt c1x1tc2 x2t c3xt即证该方程可以求得通解；