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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载常微分方程期中测试试卷 11 班级 _姓名 _学号 _得分 _ 1 微分方程dyndyy22 x0的阶数是 _ dxdx2 如Mx,y 和Nx,y在矩形区域R 内是x,y的连续函数 ,且有连续的一阶偏导数,就方 程Mx ,ydxNx,ydy0有 只 与 y 有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是_ 3 _ 称为齐次方程 . dy4 假如 f x , y _ ,就 f x , y 存在dx唯独的解 y x ,定义于区间 x x 0 h 上 ,连续且满意初始条件 y 0 x 0 ,其中h _ . 5 对 于任 意的 x
2、 , y 1 , x , y 2 R R 为 某一 矩 形区 域 ,如 存 在常数 N N 0 使_ , 就称 f x , y 在 R 上关于 y 满意利普希兹条件 . 6 方程 dy x 2y 2定义在矩形区域 R : 2 x 2 , 2 y 2 上 ,就经过点 0 0, 的解dx的存在区间是 _ 7 如 xi t i ,1 2 ,. n 是齐次线性方程的 n 个解 , w t 为其伏朗斯基行列式 ,就 w t 满意一阶线性方程 _ 8 如 xi t i ,1 2 ,. n 为齐次线性方程的一个基本解组 , x t 为非齐次线性方程的一个特解,就非齐次线性方程的全部解可表为_ 名师归纳总结
3、9如x 为毕卡靠近序列n x 的极限,就有xnx_ 第 1 页,共 6 页10_称为黎卡提方程,如它有一个特解二yx ,就经过变换_,可化为伯努利方程求以下方程的解dyydxxy3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求方程dyxy2经过,0精品资料欢迎下载0 的第三次近似解dx争论方程dyy2,y1 1的解的存在区间dx4 求方程dy2y210的奇解dx5 cosx1dx1x 2dyy0yy6 yy22ysinxcosxsin2x7 2xy23y3dx73xy2dy0名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - -
4、- - - - - - 精品资料 欢迎下载三 证明题1 试证 :如已知黎卡提方程的一个特解,就可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯独性定理证明:一阶线性方程dyP xyQx , 当dxP x, Qx在,上连续时 ,其解存在唯独参考答案一 填空题名师归纳总结 11 hmina,b第 3 页,共 6 页2 MN1yyxM3 形如dygy的方程dxx4 在 R 上连续且关于y 满意利普希兹条件m5 fx ,y 1fx ,y 2Ny 1y 26 1x1447 wa1tw0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8 xncixix精品资料欢迎下载名师
5、归纳总结 i1y所以xy3cy第 4 页,共 6 页9 MLnhn1n1 .10 形如dyp xy2q x yrx 的方程yzdx二 求以下方程的解1 解：dxxyy3xy2,就xe1dyy2e1dydyyyc dyy2另外y0也是方程的解2 解：0x01x xx02xdx1x2022x xx12x dx1x215 x02203x xx22x dx1x21x5111 x1x802204400160,3 解：dydxy2两边积分1xcy所以方程的通解为yx1c故过y1 1的解为yx12通过点 1,1 的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到所以解的存在区间为,2 4 解: 利用 p 判别曲线得p22
6、y210消去 p 得y21即y1p0所以方程的通解为ysinxc, 所以y1是方程的奇解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 解: M=y2, N=y精品资料M=欢迎下载. 2, N x, 所以方程是恰当方程yxy名师归纳总结 ucosx1得usinxxyc.它的一个特解为第 5 页,共 6 页xyv1xyyyy2uxy2y所以y lnyy故原方程的解为sinxxlnycy6 解: yy22ysinxcosxsin2x故方程为黎卡提方程ysinx,令yzsinx, 就方程可化为dzz2, zx1dx即ysinxx1c, 故ysinxx1c7 解: 两边
7、同除以2 y 得2xdx3ydx7dy3 xdy0y2dx2d3xyd70y所以x23xy7c, 另外y0也是方程的解y三证明题1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为yy令yzy, dydzdy又dypxy2qx yrx dxdxdxdxyq x zdzpxzy2qx zyrx dydxdx由假设dypxy2qx yrx得dzpxz22pxdxdx此方程是一个n2的伯努利方程 ,可用初等积分法求解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 证明 : 令 R : x, y精品资料欢迎下载R名师归纳总结 P x, Qx在,上连续 , 就y 1y2Ly 1y 2第 6 页,共 6 页fx,yPxyQx明显在 R上连续, 由于Px 为,上的连续函数, 故Px在,上也连续且存在最大植, 记为L即Px L, x,y ,y2Rfx,y 1fx ,y2Px y 1P x y2=P x因此 一阶线性方程当Px , Qx在,上连续时 ,其解存在唯独- - - - - - -