《2022年微积分习题之常微分方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年微积分习题之常微分方程.docx（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第八部分常微分方程第 1 页 共 16 页 填空题 1微分方程 y y tan x cos x 0 的通解为 y x C cos x；2过点 12 , 0 且满意关系式 y arcsin x1 yx 2 1 的曲线方程为1y arcsin x x；23微分方程 x y 3y 0 的通解为 y C 1 C2 2；x4设 y 1 x , y 2 x , y 3 x 是线性微分方程 y a x y b x y f x 的三个特解,且y 2 x y 1 x C,就该微分方程的通解为y 3 x y 1 x y C 1 y 2 x y 1 x C 2 y
2、3 x y 1 x y 1 x ；2 2 x5设 y 1 3 x , y 2 3 x e 是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相应齐次方程的一个解为 y3 x,就该微分方程的通解为 y 3 x 2C 1 x C 2 e x；6设出微分方程 y 2 y 3 y x xe x e xcos 2 x 的一个特解形式* x xy Ax B x Cx D e e E cos 2 x F sin 2 x ；x x7微分方程 y 2 y 2 y e 的通解为 y e 1 C 1 cos x C 2 sin x ；8微分方程 y 4 y e 2 x的通解为 y C 1 e 2 xC 2 1x e 2 x；
3、49函数 y C 1 cos 2 x C 2 sin 2 x 满意的二阶线性常系数齐次微分方程为 y 4y 0；10如连续函数 f x 满意关系式 f x 0 2 xf 2 t dt ln 2,就 f x e 2xln 2； 挑选题 11设曲线积分Lfxx esinydxfx cosydy与路径无关, 其中fx具有一阶连续导数,且f00,就fx 等于 1x eex；A1exex； B 221 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - C 1 exex1； D 1第八部分x常微分方程第 2 页 共 16 页1x ee；22答
4、 B 注： 依据题意,fx cosyyfx e x cosy,解得fx 1e xCex；由2f00,得C1,所以fx1 exex,即选项 B 正确；2212如函数ycos2x是微分方程pxy0的一个特解,就该方程满意初始条件y0 2的特解为 ycos x1；Aycos x2； B C y2cosx； D y2cos2x；答 D 注： 依据解的结构,通解为yCcos2x,由y 02得C2；应选项 D 正确；其他选项体会证不满意方程或定解条件；13设函数y 1x,y2x是微分方程yp xy0的两个不同特解,就该方程的通解为 AyC 1y 1C2y2； B yy 1yCy2；C yy1Cy 1y2；
5、 D yC2y 1答 D 注： 由于 y 1 x , y 2 x 是微分方程 y p x y 0 的两个不同特解,所以 y 2 y 1 是该方程的一个非零特解；依据解的结构,其通解为 y C y 2 y 1 ,即选项 D 正确；另：根据通解定义, 选项 A 中有两个任意常数, 故其不对；当 y 2 0 时,选项 B 不对；当 y 2 y 1时,选项 C 不对；14已知函数yy x在任意点 x 处的增量yyxo x ,y 0 ,就y1 等于1x2 A 2； B； Ce4； D e ；答 D 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - -
6、- - - 第八部分 常微分方程 第 3 页 共 16 页注： 依据微分定义及微分与导数的关系得 y1 yx 2,解得 ln y arctan x C,由y 0 ,得 C ln,所以 y 1 e arctan 1 e 4；因此选项 D 正确；15设函数 y f x 是微分方程 y 2 y 4 y 0 的一个解；如 f x 0 0 , f x 0 0,就函数 f x 在点 x A 取到极大值； B 取到微小值；C 某个邻域内单调增加； D 某个邻域内单调削减；答 A 注： 由于fx00,fx04fx00,所以选项 A 正确；C1,C2是两个任16. 设y1, y2是二阶常系数线性齐次方程yp y
7、qy0的两个特解,意常数,就以下命题中正确选项 （A）C1y1C2y2肯定是微分方程的通解；（B）C1y 1C2y2不行能是微分方程的通解；（C）C1y 1C2y2是微分方程的解；（D）C1y 1C2y2不是微分方程的解；答 C 注： 依据叠加原理,选项（C）正确,选项（ D）错误；当y 1, y2线性相关时,选项（A）错误 , 当y1, y 2线性无关时,选项（B）错误；17. 微分方程yyex1的一个特解应具有形式 Aaexb； Baxexb；C aexbx； D axexbx；答 B 注： 相应齐次方程的特点根为,11,所以yyex的一个特解形式为axex,3 名师归纳总结 - - -
8、- - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - yy1的一个特解形式为第八部分常微分方程第 4 页 共 16 页b ；依据叠加原理,原方程的一个特解形式为axexb,即选项B 正确；其他选项经检验不满意方程；18. 具有特解y1ex,y22xex,y 33ex的三阶线性常系数齐次微分方程是 Ayyy11y0； B yyyy0；C y6yy6y0； D y2yy2y0；答 B 注 ： 根 据 题 意 ,11是 特 征 方 程 的 两 个 根 , 且y1是 重 根 , 所 以 特 征 方 程 为1 1 23210；故所求微分方程为yyy0,即选项 B正确；1
9、9. 设y1ex,y2x是三阶线性常系数齐次微分方程aya yb ycy0的两个特解,就a,b,c的值为 1 ,b1 ,c0；Aa1,b1,c0； Ba,1b0 ,c0；Ca,1b0,c0； D答 C 注 ： 根 据 题 意 ,1 ,0是 特 征 方 程 的 两 个 根 , 且 0 是 重 根 , 所 以 特 征 方 程 为12320；故原微分方程应为yy0,所以a,1b0,c0即选项C 正确；20. 设二阶线性常系数齐次微分方程yb yy0的每一个解y x都在区间0,上有界,就实数 b 的取值范畴是 Ab0； Bb0； Cb4； Db4；答 A 注： 由于当b2时,yx bb24xbCbb2
10、4xb240C 1e22 e2,所以,当时,要想使yx在区间,0上有界,只需要b 240 ,bb240,即4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第八部分 常微分方程 第 5 页 共 16 页b 2；当 b 2 4 0 时,要想使 y x 在区间 0 , 上有界,只需要 b b 24 与b b 2 4 的实部大于等于零,即 0 b 2；当 b 2 时,y x C 1 e x C 2 xe x 在区间 0 , 上有界； 当 b 2 时,y x C 1 e x C 2 xe x C 1 2 C 2 2 0 在区间 0 ,
11、 上无界；综上所述,当且仅当 b 0 时,方程 y b y y 0 的每一个解 y x 都在区间 0 , 上有界,即选项 A 正确； 解答题 21求微分方程x1y2y y12 x0的通解；0,解： 方程两端同乘以1dx,得1x2y2xdxydy1x21y2此方程是一个变量分别方程,其通解为1y21x2CC2 ；的通解；22求微分方程dy1ysinxdxxx解： 这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程dy1y0,dxx得其通解为令yCx lnylnC,即yC x；x,x,代入原方程,得Cx Cx sinxx Cx 2 xx2x解得CxcosxC；所以原方程的通解为5 名师归纳总结 - -
12、 - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - y1cos第八部分常微分方程第 6 页 共 16 页xC；x注： 此题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得y sin xxe1dx dxc e1dx1cosxc；xx y 的一阶线性xxx23求解微分方程xdyydx2 y e dy；解： 将 y 看成自变量,x看成是的y函数,就原方程是关于未知函数微分方程dxxyey,dyy此方程通解为xe1dyCyeye1dydyCyyey,yy其中 C 是任意常数； 24求微分方程x2yxyy2满意初始条件y1 1的特解；解： 将原方程变形,得这是一
13、个齐次型方程；令yxuyy2y,xx,代入上式,得2 u,xuu2分别变量,得u2dudx,2 ux积分,得uu2Cx2,即由于y1 1,所以C1yy2xCx2；于是所求特解为6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - y12 x2；施微分方程xypxyx第八部分常微分方程第 7 页 共 16 页x25设yex的一个解, 求此微分方程满意条件y ln20的特解；解： 将yex代入原方程,得xexpxexx,解出p xxexx；所以原方程为xyxexx yx,解其对应的齐次方程,得yCexex；所以原方程的通解为yexCe
14、xex；1由yln20,得Cx4e2；故所求特解为x1；26求微分方程1 yyxyexexe2yx的通解；21解： 将原方程化为这是一个伯努利方程；令zy4x1yxxy,2 xy,就原方程化为；dzx2x1zdx22这是一个一阶线性微分方程,解得z1x21 Clnx21 ,4所以原微分方程的通解为7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - yz2z第八部分常微分方程第 8 页 共 16 页1x21 Cln2 x1 2；16xdxxx dy0的通解；27求微分方程 1eyey 1y解： 将 y 看成自变量,就xx y是 y
15、 的函数；由于原方程是齐次型方程,令uyx,y原微分方程化为y uu eu,eu1这是一个变量可分别的方程,解得yeuuC；所以原方程的通解为xyeyxC；P x ,yexxexQx ,y ,另解：令P x ,y 1ex,Qx ,yex 1x,就yyyyyy2x所以,在y0时,原方程为全微分方程；令xdy,ux ,y x,y1exdxex 1yy,01 y 1xdy的一个原x由于此曲线积分与路径无关,所以ux,y就是全微分式1eydxyy函数,且ux,yx ,y 1x dxexexdyeyy 1,01 yy 1e0 10 dyx 1xdxyyy0xy1xyey1 xyeyx1；所以原方程的通解
16、为xyeyxC；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第八部分 常微分方程 第 9 页 共 16 页28设 为实数,求微分方程 y y 0 的通解；解： 此方程的特点方程为 2 0,所以,（ 1 ） 当 0 时 , 特 征 方 程 有 一 对 复 根 i, 方 程 有 两 个 线 性 无 关解cos x sin x；因此微分方程的通解为y C 1 cos x C 2 sin x C 1 , C 2 R ；（2）当 0 时,特点方程有一个二重根 0 ；方程有两个线性无关解 ,1 x , 于是微分方程的通解为（ 3）当
17、yC1C2x；方程有两个线性无关解0 时,特点方程有两个单重实根ex,ex,所以微分方程的通解为0 是特点方程20的单根,所以原C2ex C 1,C2R ；yC 1ex29求微分方程yy2x21的通解；解 将方程写作yy2x21 e0x；由于方程一个特解形式为y*xax3bx2cx,将此解代入原方程,得3ax22 b6axc2b2x21,比较两端同次项的系数,有3a2 ,2 b6a,0c2 b1；解上述方程组,得a2,b,2c5；3从而得到原方程的一个特解又由于相应齐次方程yyy*x 23 x22 x5x；30的通解为9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习
18、资料 - - - - - - - - - yC 1第八部分常微分方程第 10 页 共 16 页C2ex；所以原方程的通解为另解： 方程yyy2C1C2ex2x32x25 x；32x1两端积分,得xC 1,yy2x33这是一个一阶线性微分方程,其通解为yexC22x3xC 1exdx x；的重根,所以原方程的一个待定特解为3C1C2ex2x32x25x53C1C2ex2x32x25x；330求解微分方程y2yy4xe解： 由于1是特点方程2210y*x2axb ex,将此解代入原方程,得比较两端系数,得a2 b 306 ax2 bex4x xe；于是得到原方程的一个特解y*2x3ex；3又由于相
19、应齐次方程的通解是yC 1C2x x e；因此原方程的通解为yC 1C2xex2x3ex；x的通解；331求微分方程yyxcos解： 原方程所对应齐次方程的通解为yC1cosxC2sinx；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设非齐次方程第八部分常微分方程第 11 页 共 16 页yyx的一个特解为代入次方程,得,y1AxB,A,1B0；所以y1x；设非齐次方程yycosx的一个特解为y2ExcosxDxsinx代入方程,得E,0D1；所以y 21xsinx；22由于y1y2为原方程的一个特解,所以原方程的通
20、解为yC 1cosxC2sinxx1xsinx；232求解微分方程yyy2y2lny；解： 由于原微分方程不显含自变量x ,所以这是一个可降阶微分方程；令uyyyx,就yxuyyx u2uu；原方程变为yuuy2lny；再令pu2 y,就有p2p2ylny,y这是一个一阶线性微分方程,求得py2Cln2y；所以uy2 Cln2y,故yy2 Cln2y；这是个变量可分别微分方程,解得lnlnyCln2yxC 1,这就是原微分方程的通解；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注： 方程yuuu23y2lny第八部分
21、常微分方程第 12 页 共 16 页是一个伯努利方程,可用伯努利方程的一般解法求解；33求解微分方程yy3yy3yyexx5 ；解： 微分方程y3y0的特点方程为332310,1是其三重特点根；所以该齐次方程的通解为yexC1C2xC3x2；令原微分方程的一个特解形式为y*x3axb ex,代入原微分方程,并整理得所以a1,b524 ax6 bx5,；因此原微分方程的一个特解为246y*x31x5ex,64故所求通解为34求解微分方程x yyexC1C2xC3x2xx31x5ex；64yx2；解： 令uxyx,就原方程化为u1u,x这是个一阶线性微分方程,解得因此yuxC1x；C 1x2C2,
22、xC1x ,所以原微分方程的通解为1x3y1x31C 1x2C2其中C1, C3232是任意常数；12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 另解：令px yx ,就原方程化为p1第八部分常微分方程第 13 页 共 16 页,所以pxC1；由yxpxxC 1x得35求解微分方程x2y2x yxyy1x3C 1x2C2；32yx3lnx；解： 原方称为二阶欧拉方程；令xte,得ydydy,x2yd2dtdt2dt所以原微分方程化为d2y3dy2yet3t,dt2dt其中 t 是自变量；这是一个二阶线性常系数非齐次方程,
23、解得yC 1t eC22 et1 t33 t e；22所以原微分方程的通解为yC 1xC2x21x3lnx3,22其中C1, C2是任意常数；0 0；36求解定解问题y0 2x y2y,1y0 20,解： 令uxyx,就原方程化为u2xu这是个变量可分别微分方程,解得依据u0uy000,得uux21C,或u0,C 11,故原定解问题的解为0；由yx xy0 1,所以,得yC1；由于y1；13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注： 在求解变量可分别微分方程u2xu20第八部分常微分方程0第 14 页 共 16 页
24、时,简单丢掉解u,从而得不到原定解问题的解；37已知函数fx 在 0,f）上可导,f0 11,且满意等式,x fxxftdt0x1求fx,并证明exf0x1 x0；解： 依据条件,得x1 fxfxxftdt0,x0时 ,0由于fx在 0,）上可导,由上式,知f x 在 0,）上二阶导数存在,所以fx 1x1 1fx 0,这是fx满意的一个一阶线性齐次方程,解得fxCex,x1fxf01； 又由于f0f0 1,所以C1,故fxex；1x当x0时 , 因 为fxex0, 所 以x1fxexexexxex0,所以fxexf0e00；x1x1故exfx1x0；并不要求肯定知道函注：证明不等式时, 只需
25、要知道导数的符号及函数在某点上的值,数的表达式；38设 p x , 为连续函数 , 证明方程ypx yqx的全部积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点；证：记yy 1x为方程ypx yqx的一条积分曲线, 就 方程yp xyqx的14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 任一条积分曲线可记为y,第八部分常微分方程第 15 页 共 16 页Cy 1x ；曲线yy 1x在点x 0,y 1x0的切线方程为曲线yCy 1x在点x0yy 1x 0y 1x 0xx0,Cy1x0的切线方程为yCy1x 0Cy 1x0xx 0；求
26、解方程组yyy 1x0y 1x 0xxx 0,Cy 1x0C y 1x 0x 0得所以,任一条积分曲线yxx0y1x0,y0；在横坐标为x0的点处的切线y1x0Cy1x与积分曲线yy1x相交于与 C 无关的点x0y 1x0,0 ,即方程ypxyqx 的全部积分曲线上横坐y 1x0标相同的点的切线交于一点；39 设p x 在0 ,上连续非负,证明微分方程ypxy0的任意非零解满意x limyx0的充要条件是广义积分0pxdx发散；t dt,证： 设yx是方程yp xy0的任一解,就y x C0exp tdt,0其中C是非零常数；所以 0xlimyxlim xC0exptdt0xlimxp 00即lim xyx0的充要条件是广义积分0pxdx发散；yayfx