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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 常微分方程期中测试试卷 11 班级 _ 姓名 _ 学号 _得分 _ 1 微分方程dyndyy2x20的阶数是 _ 条,就方程dxdx2 如Mx,y和Nx ,y在矩形区域 R 内是x ,y的连续函数,且有连续的一阶偏导数Mx,y dxNx ,ydy0有只与y有关的积分因子的充要件是_ 名师归纳总结 3 _ 称为齐次方程. 第 1 页,共 4 页4 假如fx ,y_ ,就dyfx ,y存在唯独dx的解yx,定义于区间xx 0h上,连续且满意初始条件y0x0,其中h_ . 5 对 于 任 意 的x ,1y,x ,y2R R 为 某 一 矩 形 区 域
2、 , 如 存 在 常 数N N0使_ , 就称fx ,y在 R 上关于 y 满意利普希兹条件. 6 方程dyx2y2定义在矩形区域R :2x2 ,2y2上 ,就经过点0 ,0的解的dx存在区间是_ 7 如xiti,12 ,.n 是齐次线性方程的n 个解 ,w t为其伏朗斯基行列式,就wt满意一阶线性方程_ 8如xit i,12,. n为齐次线性方程的一个基本解组,xt为非齐次线性方程的一个特解,就非齐次线性方程的全部解可表为_ 9如 x 为毕卡靠近序列nx的极限,就有x nx _ 10_称 为 黎 卡 提 方 程 , 如 它 有 一 个 特 解yx ,就经过变换_,可化为伯努利方程二求以下方程
3、的解dyxyy3dx求方程dyxy2经过0 ,0的第三次近似解dx争论方程dyy2,y1 1的解的存在区间dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 求方程dy2y210的奇解dx5 cosx21 ydx1 y7x 2dyy0x6 yy2ysinxcosxsin27 2xy23y3dx3 xy2dy0三 证明题1 试证 :如已知黎卡提方程的一个特解,就可用初等积分法求它的通解P x yQx, 当2 试用一阶微分方程解的存在唯独性定理证明:一阶线性方程dydxP x, Qx在,上连续时 ,其解存在唯独参考答案 一 填空题11 hmina ,b2 MN1 M
4、yyx3 形如dygy的方程dxx4 在 R 上连续且关于y 满意利普希兹条件m5 fx ,y 1fx ,y2Ny 1y 26 1x1447 wa 1tw0n8 xc ix ixy2q x yrx 的方程yzy9 MLi11x nhn1 .npdy10 形如dx二 求以下方程的解名师归纳总结 1 解：dxxy3xy2,就xe1dyy2e1dydyc 所以xy3cy第 2 页,共 4 页yydyyy2另外y0也是方程的解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 解：0x0名师归纳总结 1x xx02xdx1x21x 5第 3 页,共 4 页02 12x xx
5、12x dxx202203x xx22x dx1x21x5111 x1x8022044001603 解：dydxy2两边积分1xcy所以方程的通解为yx1c故过y1 1的解为yx12通过点1 1, 的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到,所以解的存在区间为,24 解: 利用 p 判别曲线得p22y210消去 p 得y21即y1p0所以方程的通解为ysinxc , 所以y1是方程的奇解5 解: M=y2, N=y2, M=N, 所以方程是恰当方程. yxyxucosx1得usinxxyxyv1xyyyy2uxy2y所以y lnyy故原方程的解为sinxxlnycy6 解: yy22ysinxcos
6、xsin2x故方程为黎卡提方程.它的一个特解为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即ysinx,令ycz, sinx, 就方程可化为dz2 z, zx1cdxysinx1故ysinxx1cx名师归纳总结 7 解: 两边同除以2 y 得qxzy 1y2第 4 页,共 4 页2xdx3ydx7dy3 xdy0y2dx2d3xyd70y所以x23xy7c, 另外y0也是方程的解y三证明题1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为yy令yzy, dydzdy又dypxy2qxyrxdxdxdxdxdzpxzy2qx zyrx dydxdx由假设dypxy2qxyrx得dzpxz22pxydxdx此方程是一个n2的伯努利方程,可用初等积分法求解y2L2 证明 : 令 R : x, yRP x, Qx在,上连续 , 就fx,yPxyQx明显在 R 上连续, 由于Px 为,上的连续函数, 故Px在,上也连续且存在最大植, 记为L即Px L, x,y ,y2Rfx ,y 1fx ,y 2P x y 1P x y 2=P x y 1因此一阶线性方程当Px, Q x 在,上连续时 ,其解存在唯独- - - - - - -