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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第三章 三角函数在实际生活中的应用三角学的进展, 由起源迄今差不多经受了三四千年之久,在古代, 由于古代天文学的需要,为了运算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时, 往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题的积存便形成了所谓古代球面三角学古代平面三角学；虽然古代球面三角学的进展早于古代平面三角学,但古代平面三角学却是古代球面三角学的进展基础；三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数；它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射；由于三角函数具有周期性
2、, 所以并不具有单射函数意义上的反函数；三角函数在复数中有重要的应用,在物理学中也是常用的工具；由于三角函数的周期性, 它并不具有单值函数意义上的反函数；三角函数在复数中有较为重要的应用；在物理学中,三角函数也是常用的工具；在实际生活中,有很多周期现象可以用三角函数来模拟,如物理中简谐振动、沟通电中的电流、 潮汐等,都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决,航海、测量、国防中都能找到奇妙的三角函数的影子；题应用极广、渗透才能很强；停车场设计问题如天气预报、建筑设计、因而三角函数解决实际问细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
3、 - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如图 ABCD是一块边长为 100m的正方形地皮,其中ATPN是一半径为 90m的扇形小山, P是弧 TN上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在 BC与CD上的长方形停车场PQCR ,求长方形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值；分析：矩形 PQCR 的面积明显跟 P 的位置有关,连AP ,延长 RP 交 AB 于 M . 如直接设 RP 的长度为 x,就 PM 100 , 在 Rt AP
4、M 中,2 2 2 2AM 90 100 x ,从 而 得 PQ MB 10090 100 x ,S（10090 2 100 x 2） x,虽然可以得出函数关系,但是求解面积的最值比较复杂；不妨以角为变量建立函数关系；解：如 上 添 加 辅 助 线,设 PAB（0 090 0） ,就AM 9 0 c o , PM 90sin,RP RMPM 100 90sin,PQ MB 10090cos,S PQ PR （10090cos）（100 90sin）100009000 sin cos） 8100 sin cos . 设 sin cos t 1 t 2,就2sin cos t 1；代入化简得 S（
5、 10）2950. 故当 t 10 时,S min 950 m 2；2 9 9当 t 2 时,S max 14050 9000 2 m 2 通讯电缆铺设问题如图,一条河宽 km,两岸各有一座城市A 和 , 与B的直线距离是 4km,今需铺设一条电A D B 第 2 页,共 12 页 缆连 A 与 B ,已知地下电缆的修建费是2 万元细心整理归纳 精选学习资料 C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -/km,水下电缆的修建费是4 万元/km,假定河岸是
6、平行的直线（没有弯曲） ,问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？分析：设电缆为 ADDB 时费用最少,由于河宽AC 为定值,为了表示AD 和BD的长,不妨设CAD.,BDtan, 解：设CAD（0900）,就ADsec ,CB总费用为y 4 sec2 tan 2 15 = 4 2 sin 2 15cos问题转化为求 u 4 2sin 的最小值及相应的 值,cos而 u2 sin 2 表示点 P（ ,）与点 Q（cos ,sin）cos斜率的 2 倍（0 90 0）,有图可得 Q 在 1 单位圆周上运动,当直线 PQ 与圆弧4切于点 Q 时,u 取到最小值；此时 K PQ 3,u min 2 3
7、,； 即水下6电缆应从距 B 城（15 3 ）km处向 A 城铺设,图三因此此时总费用达最小值32 3 +215（万元）；注：此题在求 u 的最小值时,除了利用数结合的方法外,仍可以利用三角函数的有界性等方法；探究与摸索：1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意义了吗？食品包装问题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -某糖果
8、厂为了拓宽其产品的销售市场,打算对一种半径为 1 的糖果的外层包装进行设计；设计时要求同时满意如下条件：（1）外包装要呈一封闭的圆锥外形； （2）为削减包装成本,要求所用材料最省；（3）为了便利携带, 包装后每个糖果的体积最小； 问：这些条件能同时满意吗？假如能,如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？如不能,请说明理由；P 分析：要求该圆锥的全面积和体积,需要知道它的下底面 半径 AC、母线 PA及高 PC,这些变量之间的关系可以通过一个“ 角” 把它们联系起来；OC1, 下 底 面 半 径A 11 O 2B 解 ： 如 图 , 设OAC, 就ACRcot,
9、母线长lR,高hRtan 2,（ ,4.）C cos2cot就S 全RlR2R RR R21cos2cos2112+1=tan22tan2; tan3 R tg21ctg32 tg2=111tan2V12 R h12 R Rtg213333tg32tg21tg2 第 4 页,共 12 页 当且仅当tg21tg2, 即tg2时,能使 S全 和v同时取到最小值,此时2R2,h2,即当圆锥的下底面半径和高分别为2 、 2 时能同时满意条件,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -
10、 - - - - - - - - - - - -外包装用料是 8,体积是8；3营救区域规划问题如图,在南北方向直线延长的湖岸上有一港口A,一机艇以 60km/h 的速度从 A 动身, 30 分钟后因故障而停在湖里,已知机艇动身后先按直线前进,以后又改成正东, 但不知最初的方向和何时转变方向；的区域；如何去营救, 用图示表示营救分析：1. 要表示出一个区域, 一般可在直角坐标系中表示,所以应第一建立直角坐标系； 2. 题中涉及到方向问题,所以不妨用方向角 作为变量来求解；解：以 A 为原点,过 A 的南北方向直线为 y 轴建立直角坐标系,如图：设机艇的最初航向的方位角为 ,设 OP方向前进 m到
11、达点 P,然后向东前进 n 到达点 Q发生故障而抛锚；就 m n 30 , 令点 Q的坐标为（x y）,x m sin n就 0,.y m cos 2AQ22 xy22 mn22 mnsin2 m2 n2 mn（m2 n）i900nnc机艇中途东拐,x2y2900. sm又xymsin4nmn30,xy30.满意不等式组和的点 探究与摸索：Q x y）所在的区域,按对称性知上图阴影区域所示；1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意 义了吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
12、- - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -足球射门问题在训练课上,教练问左前锋,如你得球后,沿平行于边线 GC 的直线 EF 助攻到前场（如图,设球门宽 AB a 米,球门柱 B 到 FE 的距离 BF b 米）,那么你推动到距底线 CD 多少米时,为射门的正确位置？（即射门角 APB 最大时为射门的正确位置）？请你帮忙左前锋回答上述问题；D 分析：此题中要求射门的正确位置, 题目中已对 A 题意进行了明确,即只要当射门角最大时为正确位置；所以设角后“ 求解角” 的过程是此题的关键
13、；F B C P G E 如直接在非特别 APB 中利用边来求 APB 的最值,显得比较繁琐,留意到 APB APFBPF,而后两者都在 Rt 中,故可应用直角三角形的性质求解；解：如图,设FPx,APB,BPF（、为锐角）, 第 6 页,共 12 页 就APF,tgaxb,tgb, xtgtgtgtg=xaabb；如令yxabb,1tgtgx就 y2xx abb=2ab b,当xab b, 即xab b 时, y 取到xx最 小 值2 abb, 从 而 可 知xab b 时 , tg取 得 最 大 值 , 即tg2 aabb时,有最大值；故当P 点距底线 CD 为ab b米时,为细心整理归纳
14、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -射门的正确位置； 依图像知,在白天的 915 时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动；点评： 本例一开头也可直接建立余弦函数模型yAcostk；另外,模拟汉书中的少数点有误差是答应的；最值问题三角函数的最值问题不仅与三角自身的全部基础学问亲密相关 , 而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何学问的联系也很亲密；因此 ,三角函数的最值问题的求解, 不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调
15、性、图象以及三角函数的恒等变形 , 仍常常涉及到函数、不等式、方程以及几何运算等众多学问；这类问题往往概念性较强, 具有肯定的综合性和敏捷性；如图,ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮, 其中AST是一半径为 AT 90 m 的扇形小山,其余部分都是平地；一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点 P 在弧 ST 上,相邻两边 CQ,CR 落在正方形的边BC,CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值；解：设 PAB , 0 0 90 0 , 延长 RP 交 AB 于 M,易得 PQ MB AB AM 100 90cos,RP RMPM 100 90sin,从
16、而 S矩形 PQCR 100 90 cos 100 90 sin 10000 9000 sin cos 8100 sin cos令 t sin cos, 1 t 2 ,就 S 矩形 PQCR 10000 9000 t 8100 t 21 4050 t 10 2950,故当 t 10 时,S矩形 PQCR2 9 9有最小值 950m ；当 2t 2 时,S矩形 PQCR 有最大值 14050 9000 2 m 2 思维点拔 引进变量 建立面积函数后,问题转化为求解三角函数的最值问题 . 一条河宽 1km,两岸各有一座城镇 A 和B, 与 B 的直线距离是 4km,仅需在A、B 间铺设一条电缆；
17、已知地下电缆的修建费是 2 万元/km,水下电缆的修建费是 2 万元 /km；假设河的两岸呈平行线状,那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A C D B 图九解：如下列图, 设过 A 点作对岸的垂线, 垂足为 C , 如从 A 到 C再到B的线路铺设电缆,虽然 AC 最短,但陆上线路 BC 太长并不合算；设在 BC 之间取一点D CDx km , CAD,就
18、xtan, 依题意知总施工费用 y 万元 的函数关系式为y41x22 15x 15 （1）41tan 22 15tan,0tany42 cossin22 15sin2 coscos42sin2152 2sin15,coscos令u2sin,就sinucos2cos有sinu212|sin|1 即u211,解得u33km,处的 D 点, 再从2当u3 时,就tan3 ,3,由（1）知sin1 即26时, ymin231511.2 万元即先从 B 镇沿河岸铺设地下电缆至距离B 镇153D 点向 A 镇铺设水下电缆,可使得总施工费用最少,约为11.2 万元；把一段半径为 R的圆木,锯成横截面为矩形的
19、木料, 怎样锯法, 才能使横截细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -面积最大？分析：如下列图：设CAB,就AB2Rcos,CB2RsinD O C 2R2S 矩形ABCDAB BC2R2sin 2当且仅当sin21时,即4 时,S max2 R 2A B 所以在圆木的横截面上截取内接正方形时,才能使横截面积最大；生活中的实际问题：在这里供应这样一个生活中的问题,看看它们与三角函数的联系；（让同学 探
20、究解决）在一住宅小区里,有一块空地,这块空地可能有这样三种情形：（1）是半径为 10 米的半圆；（2）是半径为 10 米,圆心角为60的扇形；（3）是半径为 10 米,圆心角为120的扇形；现要在这块空地里种植一块矩形的草皮, 使得其一边在半径上, 应如何设计,使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值；分析 1：第一种情形,如下列图：连结OC ,O C 设BOC,就BC10sin,OB10 cosAB2 OB20cosS 矩形AB BC200sincos100sin 2sin 21 S 矩形100即 290,45D 这时BOAO10cos 455 2,BC5 2E A B F 此时,点 A、D分
21、别位于点 O的左右方5 2处时 S 取得最大值 100；分析 2：其次种情形,连结OC,10 cos,O E C 第 9 页,共 12 页 设BOC,就BC10sin,OBD OABCcot 6010 3sinA B F 3S 矩形AB BCOB OA BC10cos10 3sin 10sin3100sincos100 3sin2350sin 250 31 cos2 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1003sin26
22、50333当且仅当sin261时,即6 时,Smax503m2B 3分析 3：如下列图：连结OB,E C 设AOB,就AB10sin,OA10 cos,S 矩形OA AB100sincos50sin 2O A D 当且仅当sin21时,即4 时,S max50同学发言完毕, 老师总结, 将每个同学的发言简洁整理； 引导同学分析此题与引例中的题的联系；试试身手： 看谁做得快又精确 下表是某地一年中10 天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1 小时）12 月3 月4 月5 月6 月8 月9 月10 月12 月日期月28 21 27 6 21 13 20 25 日21 日1日日日日日日日日日期1
23、59 80 117 126 172 225 263 298 355 位置序号 x 白昼5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 时间 y（小时）（I ）以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标, 白昼时间 y 为纵坐标, 在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（）试选用一个形如 y A sin x t 的函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号 x 之间的函数关系 . 注：求出所选用的函数关系式；一年按 365 天运算 （）用（）中的函数模型估量该地一年中大约有多少天白昼时间大于 15.9小时 . 细心整理归纳 精选学习资料 - -
24、 - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（I ）画散点图见下面 . （）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为yAsinxt,由图形知函数的最大值为19.4 ,最小值为 5.4 ,即ymax194.,ymin5 4.,由 19.4 5.4=14,得 A=7；由 19.4+5.4=24.8 ,得 t=12.4 ；（）又 T=365,2., 第 11 页,共 12 页 365当x172 时,2x2,365323等于32,3
25、23,161,65均可73073730365146y7 sin2x32312 . 4 . 1x365 ,xN365730由y15.9得sin2x3231.62x323536573023657306365323x3655323,112x232.细心整理归纳 精选学习资料 124264该地大约有 121 天（或 122 天）白昼时间大于15.9 小时 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -小结：通过我们的讨论,我们深深地体会到,身边就有数学, 数学就在
26、身边,在以后的学习过程中, 只要我们勇于探究, 有些同学可能会成为真正的创造家、制造者,我们现在的讨论让它作为一个奠基,一名数学家、创造家制造良好的条件；通过我们的讨论开拓思路, 为将来成为总之,设“ 角” 求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系,对这类问题,有的虽然可以用边为变量建立函数关系,但往往求解比较困难； 用“ 角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点,一般可以利用三角函数的相 关学问,如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数 单调性等；探究与摸索：1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意 义了吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - -