《2022年三角函数在实际中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三角函数在实际中的应用.docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载专题 3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧：1假如图形不是直角三角形,肯定要考虑添加适当的帮助线（作平行线或作垂线）,构 造直角三角形,然后挑选恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）；2在求线段长度的时候,假如不能直接求出长度,可以考虑列方程求值；仰角、俯角问题 一 1某数学爱好小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量,眼睛与地面的 距离（AB ）是 1.7 米,看旗杆顶部 E 的仰角为 30；小敏蹲着测量, 眼睛与地面的距离 （CD）是 0.7 米,看旗杆顶部 E 的仰角为 45两
2、人相距 5 米且位于旗杆同侧（点 B、D、F 在同 始终线上）（1）求小敏到旗杆的距离DF（结果保留根号）1.4,1.7）（2）求旗杆 EF 的高度（结果保留整数,参考数据：2如下列图,某古代文物被探明埋于地下的A 处,由于点 A 上方有一些管道,考古人员不能垂直向下挖掘,他们被答应从 B 处或 C 处挖掘,从 B 处挖掘时,最短路线 BA 与地面所成的锐角是 56,从 C 处挖掘时,最短路线 CA 与地面所成的锐角是 30,且 BC=20m,如考古人员最终从 B 处挖掘,求挖掘的最短距离 （参考数据： sin56=0.83,tan56 1.48,1.73,结果保留整数）细心整理归纳 精选学习
3、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载3 2022 潍坊 如图,某海疆有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行,飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶端 A 的俯角是 45,然后沿平行于AB 的方向水平飞行 1.99 10 4 米到达点 D 处,在 D 处测得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是 60,求两海岛间的距离 AB. 4.一电线杆 P
4、Q 立在山坡上, 从地面的点 A 看,测得杆顶端点 A 的仰角为 45,向前走 6m到达点 B,又测得杆顶端点（1）求 BPQ 的度数；P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60和 30,（2）求该电线杆 PQ 的高度（结果精确到 1m）5.如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机测量一岛屿两端A、B 的距离,飞机以距海平面垂直同一高度飞行,在点 C 处测得端点 A 的俯角为 60,然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 500 米,在点 D 测得端点 B 的俯角为 45,已知岛屿两端 A、B 的距离 541.91米,求飞机飞行的高度（结果精确到1 米,参考数据：1.73,1.41） 第 2 页,共
5、 16 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载两楼间的距离BD 是 60 米某6 2022 丹东 10 分如图, 线段 AB ,CD 表示甲、 乙两幢居民楼的高,人站在 A 处测得 C 点的俯角为 37,D 点的俯角为 48人的身高忽视不计 ,求乙楼的高度 CD.参考数据： sin37 35,tan37 34, sin48 10,tan48 710 117.如图,一楼房 AB 后有一假山,其斜坡 CD 坡
6、比为 1：,山坡坡面上点 E 处有一休息亭,测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC=6 米,与亭子距离 CE=20 米,小丽从楼房顶测得点 E 的俯角为 45（1）求点 E 距水平面 BC 的高度；（2）求楼房 AB 的高（结果精确到 0.1 米,参考数据1.414,1.732） 第 3 页,共 16 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载AF 3700 米,从飞机上观测8如图,某飞机于空中探测某座山的高
7、度,在点A 处飞机的飞行高度是山顶目标 C 的俯角是 45,飞机连续以相同的高度飞行 300 米到 B 处,此时观测目标 C 的俯角是 50,求这座山的高度 CD.参考数据： sin50 0.77, cos50 0.64, tan50 1.209.（2022.荆门）如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的大路上的 A 处朝正南方向撤退, 红方在大路上的 B 处沿南偏西 60方向前进实施拦截, 红方行驶 1000 米到达 C处后,因前方无法通行,红方打算调整方向,再朝南偏西45方向前进了相同的距离,刚好在 D 处胜利拦截蓝方,求拦截点D 处到大路的距离（结果不取近似值） 第 4 页,共 16
8、 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载10（2022.达州）学习 “利用三角函数测高 ”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度 AB,其测量步骤如下：（1）在中心广场测点 C 处安置测倾器,测得此时山顶 A 的仰角 AFH=30；（2）在测点 C 与山脚 B 之间的 D 处安置测倾器（ C、D 与 B 在同始终线上,且 C、D 之间的距离可以直接测得）,测得此时山顶上红军亭顶部E
9、的仰角 EGH=45；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5 米,并测得 CD 之间的距离为 288 米；AB（取已知红军亭高度为12 米,请依据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度1.732,结果保留整数）11（2022.河南）如下列图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度,他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是 30,朝大树方向下坡走6 米到达坡底A 处,在 A 处测得大树顶端B 的仰角是 48,如坡角 FAE=30 ,求大树的高度（结果保留整数,参考数据：tan48 1.11,1.73）sin48 0.74,cos48 0.67,细心整理归纳 精选学习资料 - - -
10、- - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -12（2022.河南）在中俄 “海上联合精品资料欢迎下载A 测得潜艇 C 的俯角为2022”反潜演习中,我军舰30,位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为 68,试依据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度（结果保留整数, 参考数据：sin68 0.9,cos68 0.4,tan68 2.5,1.7）二坡度、坡角问题13如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡
11、角 BAE45,坝高 BE20 米汛期来临,为加大水坝的防洪强度,将坝底从A 处向后水平延长到F 处,使新的背水坡BF 的坡角 F30,求 AF 的长度 结果精确到1 米,参考数据：21.414,31.7321142022 山西 如图,点 A、B、C 表示某旅行景区三个缆车站的位置,线段 AB, BC 表示连接缆车站的钢缆,已知 A,B, C 三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度 AA,BB, CC分别为 110 米, 310米, 710 米,钢缆 AB 的坡度 i 112,钢缆 BC 的坡度 i211,景区因改造缆车线路,需要从 A 到C 直线架设一条钢缆, 那么钢缆 AC 的长度是多少米？
12、注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载15（2022.广安）数学活动课上,老师和同学一起去测量学校升旗台上旗杆 AB 的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡 FC 的坡比为 i=1 ：10（即 EF：CE=1：10）,同学小明站在离升旗台水平距离为 35m（即 CE=35m）处的 C 点,测得旗杆顶端 B 的仰角为 ,已知 tan=,升旗
13、台高 AF=1m ,小明身高CD=1.6m ,请帮小明运算出旗杆 AB 的高度三 方向角问题16如图,小岛在港口P的北偏西60方向,距港口56海里的A处,货船从港口P动身,沿北偏东 45方向匀速驶离港口 P,4小时后货船在小岛的正东方向 求货船的航行速度（精确到 0.1 海里/时,参考数据：1.41,1.73）30的方向上,距A 港口 60 海里有一艘17某海疆有A、B 两个港口, B 港口在 A 港口北偏西船从 A 港口动身,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75方向的 C 处求该船与B港口之间的距离即CB 的长 结果保留根号 第 7 页,共 16 页 细心整理归纳 精选学习资
14、料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -18.如图,要测量精品资料欢迎下载30方向上,在C 点测A 点到河岸 BC 的距离,在B 点测得 A 点在 B 点的北偏东得 A 点在 C 点的北偏西 45方向上, 又测得 BC150 m求 A 点到河岸 BC 的距离 结果保留整数 参考数据：21.41,31.7319.20XX 年河南省 我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,依据工程方案,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原先的162 米增加到 1
15、76.6 米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为；BE ,背水坡坡角BAE68,新坝体的高为 DE ,背水坡坡角DCE60求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC .结果精确到 0.1 米,参考数据：sin 680.93,cos 680.37, tan 682.50,31.73 ） 第 8 页,共 16 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载答案1考点 :解直角三角
16、形的应用 -仰角俯角问题分析:（1）过点 A 作 AM EF 于点 M ,过点 C 作 CNEF 于点 N设 CN=x,分别表示出 EM、AM 的长度,然后在 Rt AEM 中,依据 tanEAM=,代入求解即可；（2）依据（ 1）求得的结果,可得EF=DF+CD,代入求解解：（1）过点 A 作 AM EF 于点 M,过点 C 作 CNEF 于点 N,设 CN=x,在 Rt ECN 中,ECN=45,EN=CN=x ,EM=x+0.7 1.7=x 1,BD=5,AM=BF=5+x ,在 Rt AEM 中,EAM=30 =,x 1=（x+5）,解得： x=4+3,即 DF=（4+3）（米）；（2
17、）由（ 1）得：EF=x+0.7=4+ +0.7 4+31.7+0.7 9.810（米）10 米答：旗杆的高度约为点评 : 此题考查明白直角三角形的应用,解答此题的关键是依据仰角构造直角三角形,利用三角函数的学问求解考点:解直角三角形的应用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载2分析 :作 ADBC 交 CB 延长线于点 D,线段 AD 即为文物在地面下的深度 设 AD=x 通过解
18、直角 ABD 求得 BD=；通过解直角 ACD 求得 CD= x,由此列出关于 x的方程,通过方程求得 AD 的长度最终通过解直角三角形 ABD 来求 AB 的长度即可解：作 AD BC 交 CB 延长线于点 D,线段 AD 即为文物在地面下的深度依据题意得 CAD=30,ABD=56 设 AD=x 在直角 ABD中,ABD=56 ,BD=在直角 ACD 中, ACB=30,CD=AD=x,x=+20解得 x18.97,AB=23答：从 B 处挖掘的最短距离为 23 米点评:此题考查明白直角三角形的应用,化为数学问题加以运算主要是正切、 余弦概念及运算, 关键把实际问题转3【思路分析 】第一,
19、过点A 作 AECD 于点 E,过点 B 作 BF CD 于点 F,易得四边形ABFE 为矩形,依据矩形的性质, 可得 ABEF,AEBF.由题意可知, AEBF1100200 900 米,CD 1.99 10 4米,然后分别在Rt AEC 与 Rt BFD 中,利用三角函数求得CE 与 DF 的长,继而求得两海岛间的距离 AB. 解：如解图,过点 A 作 AECD 于点 E,过点 B 作 BFCD ,交 CD 的延长线于点 F.就四边形 ABFE 为矩形,ABEF,AEBF. 由题意可知 AEBF 1100200900米,CD 19900米在 Rt AEC 中, C45,AE900米,细心整
20、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -CEAEAE tan45900米 ,精品资料欢迎下载tanC在 Rt BFD 中, BDF 60, BF900米,DF BF900 tan603003米 ,tanBDFABEFCD DF CE19900300390019000 300 3米答：两海岛之间的距离AB 是19000 3003米4.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题分析:（1）作 PQAB 交 AB
21、 的延长线于 H,依据三角形的外角的性质运算；（2）设 PQ=xm,依据正、余弦的定义表示出 运算即可QH、BH,依据等腰直角三角形的性质列式解：（ 1）作 PQAB 交 AB 的延长线于 H,由题意得, QBH=30,PBH=60,BQH=60, PBQ=30,BPQ=BQH PBQ=30；（2）设 PQ=xm,BPQ=PBQ, BQ=PQ=xm,QBH=30, QH= BQ= x,BH= x,A=45,6+ x=x x,解得 x=2 +69答：该电线杆 PQ 的高度约为 9m点评:此题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题,三角函数的定义是解题的关键5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角
22、问题把握仰角俯角的概念、 熟记锐角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载分析:过点 A 作 AECD 于点 E,过点 B 作 BFCD 于点 F,设高度为 x 米,在 Rt AEC中可得 CE=,在 Rt BFD 中有 DF=x,依据 AB=EF=CD+DF CE列出方程,解方程可求得x 的值解：过点 A 作 AECD 于点 E,过点 B 作 BFCD 于点 F,设高度为 x 米
23、AB CD,AEF=EFB=ABF=90,四边形 ABFE 为矩形AB=EF,AE=BF由题意可知： AE=BF=x 米, CD=500 米在 Rt AEC 中, C=60,CE=（米）在 Rt BFD 中, BDF=45,DF= =x（米）AB=EF=CD+DF CE,即 500+xx=541.91 解得： x=99 答：飞机行飞行的高度是 99 米6【思路分析 】此题考查三角函数的实际应用题中有角度没直角三角形,先考虑过点 C 向 AB 作垂线 CE 构造直角三角形,利用正切分别求得AB、AE,最终利用线段和差关系求解即可解：过点 C 作 CEAB 交 AB 于点 E ,就四边形 EBDC
24、 为矩形,BECD,CEBD 60 米 2 分 依据题意可得,ADB48, ACE 37. 在 Rt ADB 中, tan48 AB BD,就 ABtan48 BD11 1060 66米；5 分 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在 Rt ACE 中, tan37 AE CE,精品资料欢迎下载就 AEtan37 CE3 46045米 ,8 分 CD BEABAE664521米,乙楼的高度 CD
25、 为 21 米 10 分 7.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析:（1）过点 E 作 EFBC 于点 F在 Rt CEF 中,求出 CF= EF,然后依据勾股定 懂得答；（2）过点 E 作 EHAB 于点 H在 Rt AHE 中, HAE=45,结合（1）中结论得到 CF 的值,再依据 AB=AH+BH ,求出 AB 的值解：（1）过点 E 作 EFBC 于点 F在 Rt CEF 中, CE=20,EF 2+（EF）2=20 2,EF0,EF=10答：点 E 距水平面 BC 的高度为 10 米（2）过点 E 作 EHAB 于点 H就 HE=BF,BH=EF在 Rt AHE 中, HAE
26、=45,AH=HE ,由（1）得 CF=EF=10（米）又BC=6米,HE=6+10米,+10=16+1033.3（米）AB=AH+BH=6+10答：楼房 AB 的高约是 33.3 米8 解：设 ECx,在 Rt BCE 中, tanEBCEC BE, 第 13 页,共 16 页 - - - - - - - - - 就 BEEC tanEBCtan505 6x米,在 Rt ACE 中, tanEACEC AE,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就 AEECE
27、C tan45x米,精品资料欢迎下载tanEACABBEAE,3005 6xx,解得： x1800米, 这 座 山 的 高 度 CD DE EC AF CE 3700 1800 1900米答：这座山的高度是 1900 米14【思路分析 】对于解直角三角形的实际应用问题,第一要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直 角三角形中求 解如解图,过点 A 作 AECC于点 E,交 BB于点 F,过点 B 作 BD CC于点 D.分别 在 Rt AFB 和 Rt BDC 中依据坡度求得 AF,BD 的长度,再在 Rt AEC 中,依据勾股定理求得 AC 的长度解：如解 图,过点 A 作 AECC于点 E,
28、交 BB于点 F,过点 B 作 BDCC于点 D. 就 AFB, BDC 和 AEC 都是直角三角形,四边形 AABF,BBCD 和 BFED 都是矩形BFBBFBBBAA310 110200米,CD CC DCCC BB710310400米i 11 2,i 211, AF2BF400米 ,BDCD400米又 FEBD400米,DE BF200米 AEAFFE 800米,CECDDE600米2CE28002600 21000米第 8 题解图在 Rt AEC 中, ACAE答：钢缆 AC 的长度为 1000 米16.考点:解直角三角形的应用-方向角问题细心整理归纳 精选学习资料 - - - -
29、- - - - - - - - - - - 第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载分析:由已知可得 AB PQ, QAP=60, A=30,AP=56 海里,要求货船的航行速度,即是求 PB 的长,可先在直角三角形APQ 中利用三角函数求出PQ,然后利用三角函数求出 PB 即可解：设货船速度为 x 海里 /时, 4 小时后货船在点 B 处,作 PQAB 于点 Q由题意 AP=56 海里, PB=4x 海里,在直角三角形 APQ 中, APQ=60,所以 PQ=28在
30、直角三角形 PQB 中, BPQ=45,x所以, PQ=PBcos45=2 所以, 2 x=28,解得： x=79.9答：货船的航行速度约为 9.9 海里 /时17.解：设 MB x,DF CB, CDF 45, CDF 是等腰直角三角形,DF CF.1 分 EN、DM 、 CB 分别垂直于 AB,DF CB,四边形 ENMD 、四边形 DMBF 为矩形,ENDM BF,EDMN ,CF DFBM x,BC4,ENBF4x, 3 分 ANABMN MB,MN DE1,AB 6,AN5x,5 分 tanEANEN AN, EAN31,4x 5x 0.6,解得 x5 2.7 分 细心整理归纳 精选
31、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即 DM 与 BC 的水平距离精品资料欢迎下载BM 的长为5 2米 8 分 18【思路分析 】过点 A 作 ADBC 于点 D,设 ADx m用含 x 的代数式分别表示 BD,CD .再依据 BDCD BC,列出方程并求解即可解：过点 A 作 ADBC 于点 D,设 ADx m. 在 Rt ABD 中, ADB90, BAD30,BDADtan30 3 x.3 分 3在 Rt ACD 中, ADC 90, CAD 45,CD ADx. BDCDBC,3 3 xx150,95 m8 分 第 16 页,共 16 页 x 7533 95.即 A 点到河岸 BC 的距离约为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -