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1、第三章 三角函数在实际生活中的应用 三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工
2、具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。停车场设计问题 如图 ABCD是一块边长为 100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为 90m的扇形小山，P是弧 TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地
3、上建造一个有边落在BCCD与上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP，延长.RPABM交于若直接设RPx的长度为，则100PMx,在Rt APM中，2290(100)AMx，从而得2210090(100)PQMBx，2210090(100)Sx（）x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。解：如 上 添 加 辅 助 线，设00090PAB（），则9 0c oAM,90sinPM，10090sinRPRMPM，10090cosPQMB，10090cosSPQ PR （）1009
4、0sin（）100009000 sin cos（）8100 sincos.设sin cos(12)tt，则21sincos2t。代入化简得109St（2950.）故当109t 时，2min950Sm；当2t 时，max140509000 2S(m2)通讯电缆铺设问题 如图，一条河宽 km，两岸各有一座城市ABAB和，与的直线距离是 4km，今需铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆的修建费是 2 万元A C D B 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学
5、中/km，水下电缆的修建费是 4 万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？分析：设电缆为ADDB时费用最少，因为河宽AC为定值，为了表示ADBD和的长，不妨设.CAD 解：设0090CAD（），则sec,tanADCBBD,总费用为4 sec2tan2 15y=cossin242 15 问题转化为求42sincosu的最小值及相应的值，而sin2u2cos表示点0 2P（，）与点cos,sinQ（）斜率的2 倍0090（），有图可得Q在41单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧切于点Q时，u 取到最小值。此时3PQK，min2 3u，6。即水下电缆应从距
6、B城（1533）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值23+215（万元）。注：本题在求 u 的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。探索与思考：1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？食品包装问题 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中 某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为 1 的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时
7、满足如下条件：（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径 AC、母线 PA及高 PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。解：如图，设OAC，则1OC，下底面半径cotACR,母线长cos 2Rl，高tan 204hR，（，.）则2(cos 2RSRlRR全21)(cos 2RR21)cot(2211tan1tan+1)=2
8、22tan(1tan);13V 213R h 21 23R Rtg 32R tg 321231tgctgtg=31 222(1)tgtg 当且仅当221tgtg,即22tg时，能使S全和v同时取到最小值，此时2R，2h，即当圆锥的下底面半径和高分别为2、2 时能同时满足条件，P A B C O 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中外包装用料是8，体积是38。营救区域规划问题 如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口 A，一机艇以 60km/h 的
9、速度从 A 出发，30 分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角 作为变量来求解。解：以 A为原点，过 A的南北方向直线为 y 轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为，设 OP方向前进 m到达点 P，然后向东前进 n 到达点Q发生故障而抛锚。则30mn,令点Q的坐标为,x y（），则cossinmynmx 0.2，222222222sin2900AQxymnmnmnmnm
10、n（）机艇中途东拐，22900.xy 又(sincxymn sin(4m)30,nmn 30?xy 满足不等式组和的点,Q x y（）所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。探索与思考：1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中足球射门问题 在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽AB
11、a米，球门柱B到FE的距离BFb米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角APB最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。若直接在非特殊APB中利用边来求APB的最值，显得比较繁琐，注意到APBAPFBPF，而后两者都在Rt中，故可应用直角三角形的性质求解。解：如 图，设FPxAPBBPF，（、为锐角），()APFtg 则，xba,tg xb,()()1()tgtgtgtgtgtg =xbbaxa)(。若令()abbyxx ，则y
12、 xbbax)(2=bba)(2，当()abbxx,即()xab b 时，y取到最 小 值bba)(2，从 而 可 知()xab b 时，tg取 得 最 大 值，即2()atgabb 时，有最大值。故当P点距底线CD为bba)(米时，为G E P C F B A D 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中射门的最佳位置。依图像知，在白天的 915 时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型ktAycos。另外，
13、模拟汉书中的少数点有误差是允许的。最值问题 三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。如图，100ABCDm是一块边长为的正方形地皮，其中 AST是一半径为90ATm的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQCR，落在正方形的边BCCD，
14、上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。解：设 PAB,)900(00,延长RPABM交于，易得10090cosPQMBABAM，10090sinRPRMPM，从而cossin8100)cos(sin900010000)sin90100)(cos90100(PQCRS矩形 令cossint，)21(t，则2181009000100002ttSPQCR矩形t(4050950)9102，故当910t时，PQCRS矩形有最小值2950m；当2t时，PQCRS矩形有最大值2)2900014050(m 思维点拔 引进变量建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.一条河宽 1km，两岸各有一
15、座城镇A和BAB，与的直线距离是 4km，仅需在AB、间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是 2 万元/km，水下电缆的修建费是 2 万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中 图九 解：如图所示，设过A点作对岸的垂线，垂足为C,若从A到CB再到的线路铺设电缆，虽然AC最短，但陆上线路BC太长并不合算。设在BC之间取一点,D CDx km,CAD则tanx,依题意知总施工费用
16、y(万元)的函数关系式为 )15tan0(),tan15(2tan14)15(21422xxy ),15cossin2(2152cossin24)cossin15(2cossincos4222y 令cossin2u，则2cossinu 有12)sin(2u （1）31121|)sin(|2uu，解得即 21)sin(1,3,3tan3即）知（由时，则当u )(2.11)153(26min万元时，y 即先从B镇沿河岸铺设地下电缆至距离B镇)3315(km,处的D点,再从D点向A镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2 万元。把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使
17、横截C D B A 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中面积最大？分析：如图所示：设 CAB，则sin2,cos2RCBRAB 222sin 22ABCDSAB BCRR矩形 当且仅当sin21时，即4时，2max2SR 所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。生活中的实际问题：在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生探究解决）在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况：（1）是半径为 10
18、 米的半圆；（2）是半径为 10 米，圆心角为60的扇形；（3）是半径为10 米，圆心角为120的扇形；现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。分析 1：第一种情况，如图所示：连结OC，设BOC，则10sinBC，10sOBco，220cosABOB 200sincos100sin 2SAB BC矩形 sin 21 S100矩形 29045即，这时10cos455 2,5 2BOAOBC 此时，点A、D分别位于点O的左右方5 2处时S 取得最大值100。分析2：第二种情况，连结 OC，设BOC，则10sinBC，10sOBco
19、，10 3cot 60sin3OABC ()10 3 (10cossin)10sin3SAB BCOB OA BC矩形 2100 3100sincossin350 3 50sin2(1cos 2)3 A B C D O A D B F E C O A D B F E C O 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中 100350 3sin(2)363 当且仅当sin(2)16时，即6时，2max5033Sm 分析 3：如图所示：连结,OB 设AOB，
20、则10sinAB，10sOAco，100sincos50sin 2SOA AB矩形 当且仅当sin21时，即4时，max50S 学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。试试身手：(看谁做得快又准确)下表是某地一年中 10 天测量的白昼时间统计表（时间近似到 0.1 小时）日期 1月1日 2 月28 日 3 月21 日 4 月27 日 5 月6 日 6 月21 日 8 月13 日 9 月20 日 10 月25 日 12 月21 日 日期位置序号 x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 白昼时间 y（小时）5.6 1
21、0.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 （I）以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标，白昼时间 y 为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（）试选用一个形如txAy)sin(的函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号 x 之间的函数关系.注：求出所选用的函数关系式；一年按 365 天计算 （）用（）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于 15.9小时.A D B E C O 成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数
22、三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中 解：（I）画散点图见下面.（）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为 txAy)sin(，由图形知函数的最大值为 19.4，最小值为 5.4，即4.5,4.19minmaxyy，由 19.45.4=14，得 A=7；由 19.4+5.4=24.8，得 t=12.4；又 T=365，.3652 )14665,365161,730323,7332(730323,23652,172均可等于时当xx ),3651.(4.12)7303233652sin(7Nxxxy （）,6573032336526.21)7303233652sin(9.15xxy
23、得由 .232112,4323625365432312365xx 该地大约有 121 天（或 122 天）白昼时间大于 15.9 小时.成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中小结：通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。探索与思考：1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？成解平面三角形这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中