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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考复习序列 - 高中数学数列名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、数列的通项公式与前 n 项的和的关系s 1 , n 1 a n（注：该公式对任意数列都适用）s n s n 1 , n 2 S n S n 1 a n ( n 2)（注：该公式对任意数列都适用） S n a 1 a 2 a n（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列通项公式与公差：n、定义式：ana n1
2、d一般式：ana 1n1danpnq推广形式：anam(nm ddana m；nmSnSm前n项和与公差的关系：dnm；2nm前 n 项和与通项a 的关系：前 n 项和公式：snn a 12an)na1n n1)dd n 22(a11d n . 22前 n 项和公式的一般式：S nAn2Bn,其中Ad,Ba11d22应用：若已知fn2 n2n，即可判断fn为某个等差数列a 的前 n 项和，并可求出首项及公差的值。a 与S 的关系：a nS nS n1(n2)（注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列Sn2n1，a nan1（直接利用通项公式作差求解）常用性质：若 m+n=p+q ，则有a ma
3、 napaq；特别地：若am 是an,ap的等差中项，则有2ama napm、p 成等差数列；等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1a2a 3,a4a 5a6,a 7a8a ，）仍是等差数列；a n为公差为 d 等差数列，S 为其前n项和，则S m,S 2mS m,S 3mS 2m，S 4mS 3m，也成等差数列, A、 构成的新数列 公差为 D=m 2d，即 m 2d=(S2m-Sm)- Sm；名师归纳总结 B、对于任意已知Sm，Sn，等差数列a n公差dS nS m，即Sn也构成一个公差为d 等差数列。2第 2 页，共 14 页nm2nmn- - - - - - -精选学习
4、资料 - - - - - - - - - 若项数为偶数，设共有2n 项，则 S 偶学习必备欢迎下载S 奇a n1；S 奇nd ； S 偶a n若项数为奇数，设共有2 n1项，则 S 奇S 偶a na中；S 奇nn1。S 偶例：已知等差数列an，其中S 10100 ,S 10010,则S 110解析：法一，用等差数列求和公式na1n n1)d求出a ,d2法二，S ，S 20S 10,S 30S 20. S 110S 100成等差数列，设公差为D，则：S 110S 10010S 1045D法三 , 63. 等比数列的通项公式： 一般形式：ana qn1a 1qn(nN*)；2,a 11a q q
5、 q1. a 1qn1q推广形式：a namqn m，qnma n1，或s na ma 1(1qn) ,q其前 n 项的和公式为：s n1q数列a n为等比数列na q110nna q1a n2an1annNan1q q0anana 1、q0，nN*SnA qnB 常用性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 若 m+n=p+q ，则有a manapaq学习必备欢迎下载an,ap的等比中项，则有a m2a napn、；特别地：若am 是m、p 成等比数列 ; 等比数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1a2
6、a 3,a 4a 5a6,a 7a 8a ，）仍是等比数列；a n为等比数列，S 为其前n 项和，则S m,S 2mS m,S 3mS 2m，S 4mS 3m，也成等比数列（仅当当q1或者q1且 m 不是偶数时候成立） ；设等比数列b n的前n 项积为T ，则T ，T 2k,T 3k，T 4k成等比数列T kT 2kT 3kan为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列. 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an1and(常数）（nN）na是等差数列中项法：2 an1anan2（nN)an是等差数列一般通项公式法：anknb(
7、k,b为常数)an是等差数列一般前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A,B为常数)a n是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：（1）定义法：an 1q（常数）a n为等比数列；a n（2）中项法：a n12a nan2(a n0 )an为等比数列；（3）通项公式法：ankqn(k,q为常数）an为等比数列；（4）前 n 项和法：S nk( 1qn)（k,q为常数）a n为等比数列。Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。数列最值的求解名师归纳总结 （1）a 10，d0时，S 有最大值；a 10，d0时，S 有最小值；的最值；第 4 页，共 14 页（2）的最值可求二次函数S 最值的
8、求法：若已知S ，S nS nan2bn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载中的正、负分界项，即：可用二次函数最值的求法（nN ）；或者求出a n若已知a ，则S 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定a n10或a n100。a n0a n例 1：等差数列an中，a 10，S 9S 12，则前项的和最大。【解析】：a 10，S 9S 12nS 12S 90a 12a 11a 100S 130a 11a 12a 10aa 12a 10前 11（或前10 项）项和最大2a 11a 12a 10a 110S ，已知a312，S 120，例 2
9、设等差数列的前n项和为求出公差 d 的范围，指出S 1，S 2，S 12中哪一个值最大，并说明理由。【解析】：a 1a32d122d,S 1212a 12a 12122122d11 d14442d2同理：S 1315652d,根据已知S 120，S 130，24d37由a 312，S 120，S 130及d0，可知， n=12 是前 n 项和正负分界项，故an0n6,an0n7,所以，S 最大变式：若等差数列的首项为为31，从第 16 项开始小于1 ，则此数列公差d 的取值范围是解析：a 161，但要注意此时还要一个隐含条件a 151，联立不等式组求解。3、若数列的前n 项和Snn210n，则
10、an，ns n数值最小项是第项。【解析】：法一（导数法） ：根据等差数列前n 项和的标准形式SnAn2Bn，可知该数列为等差数列，令ns na 1S 1n210 n9 ,a2S 2S 17 ,da2a 1,2a n2 n11nS n2 n211 nf(n )nS n2n211 n,f(n)4 n11 ,当f(n)0 时，即n11时,取得最小值，4其中2113，分别求出f(2)14,f(3 )15，可见当 n=3 时ns n取得最小。4法二（列举法）：对于a 10 且数值较小 d0 且数值较大时,可用列举法， 分别求出 n=1、2 时的的值，再进行比较发现。名师归纳总结 4、已知数列an，a 1
11、33,an1an2 n,则an的最小值为ana 1n2-na nn2-n33， 令n【 解 析 】： 法 一 （ 均 值 不 等 式 ）： 由 累 加 法 ：第 5 页，共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f(n )an，n331 ,可见当n学习必备欢迎下载取得最小值，5336，33，即n33 时，a nnnnnf(5)33f(6 )63 6，可见n6 时取得最小值。5法二（列举法） ：实在没招时使用该法。5、 已知等差数列an的前 n 项和S n,S 100 ,S 1525 ,则nS n 的最小值为。【解析】：dnSnS m,2,S 100
12、a 1a 100a 1f30，即n20时取得最小值，nm md2n3n3102 nS n,f( n)2 n20n ,当(n )S n令f( n)n333620-48，f( 7 )-49，故取-7 ,而f(6 )4936 、数列通项公式的求法：名师归纳总结 类型 1 ：等差数列型an1anf(n)f(n)，再使用累加法（逐差相加法）求解。第 6 页，共 14 页1思路：把原递推式转化为a na n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载3，故数列a n例， 已知数列 an满足an1a n2n1，a 11，求数列 an的通项公式。解
13、：由an1a n2n1得an1a n2n1则a na n12 (n)11a n1a n2(2n2 )1a 2a 12*11以上逐次累加，a n2 n所以数列 a n的通项公式为a nn2变式：已知数列 a n满足a n12a n3n 2，a 12，求数列 na的通项公式。解：a n12an32n两边除以n 21，得a n1a n3，则a n1a n3，此时f(n )n 21n 22n 21n 222n 2是以a121为首项，以3 为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，2得a n1(n212n 2，不能直接使用前述方法，a n，所以数列 an1( n3n 2转化为a n1a n3，说明数列
14、a n是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出a n精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由 a n a 1 2 a 2 3 a 3 ( n 1) a n 1 ( n 2)，取 n 2 得 a 2 a 1 2 a 2，则 a 2 a ，又知 a 1 1，则 a 2 1，代入得 a n 1 3 4 5 n n !。所以， a n 的通项公式为 a n n !.2 2评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n 1 ( n 1) a n ( n 2) 转 化 为 a n 1n 1( n 2)， 进 而 求 出a na n a n 1
15、a 3 a 2，从而可得当 n 2 时，a n 的表达式，最后再求出数列 a n 的通项公式。a n 1 a n 2 a 2类型 4 ：待定系数法处理 a n 1 pa n q 或 a n 1 pa n q n 型数列把 原 递 推 式 a n 1 pa n q , 转 化 为 a n 1 t p ( a n t ), t p ; 转 化 思 路：1 q令 a n 1 t p ( a n-t ), 此式与原式比较，得到 t p，则数列 a n 1 t 为等比数列1 q a n-t例，数列 a n , a 1 1 , a n 1 2 a n ,3 求 a n解：令 a n 1 t 2 ( a n
16、 t ), 比较原递推式，t 2-1，所以 a n 1 1 2 即 a n 1 是公比为 2 的等1 3 a n 1比 数 列 ，a n 1 = （1a 1）2 n 1-， 或 令 a n 1 b n，b n 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 所 以n 1 nb n b 1 * 2 , 其中 b 1 a 1 1 2 , b n 2，变式 1：已知数列 a n 满足 a n 1 2 a n 3 5 n，a 1 6，求数列 a n 的通项公式。思 路 ： 等 式 两 边 同 时 除 于 5 n 1； 原 递 推 式 变 成 a nn 11 2 * a nn 3 , 令 an nb n，5
17、 5 5 5 5b n 1 25 b n5 3 b n 1 t 25 ( b n t ) t1 2535 1 b n 1 b 1 25 n 1, b 1 a5 1 65n 1 n 1 n 1 n 12 1 2 2 2 n 1 nb n 1 b n 1 * * n b n n 1 a n 2 55 5 5 5 5n评注： 本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 5 转化为 a n 1 t p ( a n-t )，最后再求出数列 a n 的通项公式。名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 2：已知数列
18、 an满足an12an2,a 1学习必备欢迎下载1，求数列 a n的通项公式。a n思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为an1panq,变式 3：已知数列 an满足a n13a n5，a 17，求数列 a n的通项公式。思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为an1panq ,变式 4：已知数列 an满足a n11 (1 4 16a n124 a n)，a 11，求数列 a n的通项公式。思路：换元b n124 a ，则a n1 ( b n 2241)，再代入原递推式，再转化为a n1panq,类型 5 已知S 、an递推式S nfa n求ananS nS n1，消去S ，得到a 与an
19、1的递推式，再利用前这种类型一般利用anS 1,nS1,n1导出Snn1面的方法求解出a （知识迁移：ana n1S 1,n1,n2）S nS n2例，已知数列an前 n 项和S n4a n12，求：（1）an1与an 的关系，（2）通项a 。n 2解：（ 1）名师归纳总结 an1S n1S n(4a n111)(4an12)an11a n11111第 9 页，共 14 页2n2n222n22nan11an2111*2111a n12n1a n12nan22n2n22nn2，（2）由上式：2n1an12nan22n1an12nan令b n2na n，即有b n1b n2，而，b 12a 12
20、S 12，所以，bn为1b2，公差为 2,的等差数列，b n2 n ,b n2na na n2n类型 6：a a2a nf n 求an- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 用作商法：a nf(1),( nf n ( )1)2)学习必备欢迎下载,(nf n1)数列求和的常用方法然数和公式：12nn n12n1；2；2 1222 nn n163 13 2n3n2n124一、利用等差等比数列的求和公式求和1、 等差数列求和公式：S nn (a 12a n)na 1n( n)1d求和公式得22、等比数列求和公式：S nna1qn)a1a nq(qq1 )1 )a
21、11(1q1q例 1 已知log3xlog13，求xx2x 3xn的前 n 项和 . 2解：由l o g1l o glo gx1，由等比数列l o g2S nxx2x3xnx1(xn)1( 11)11 （利用等比数列求和公式 n 222 1n）1x12例 2 设 Sn 1+2+3+ +n ，nN*,求f(n)(nS n)S n1的最大值 . 32解：由等差数列求和公式得Sn1n (n1 )，Sn11( n1 )(n2 )22f(n)(nS n)S n12 nn64n164(n1)25013234 n85034nn 当n8，即 n8 时，f(n )max1508二、错位相减法求和名师归纳总结 -
22、 - - - - - -第 10 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 a nbn 的前 n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 . 2 3 n 1例 3 求和：S n 1 3 x 5 x 7 x ( 2 n 1 ) x 解：由题可知， ( 2 n 1 ) x n 1 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 x n 1 的通项之积2 3 4 n设 xS n 1 x 3 x 5 x 7 x ( 2 n )1 x . 2 3 4 n 1 n得 (
23、 1 x ) S n 1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x ( 2 n 1 ) x（错位相减）n 1再利用等比数列的求和公式得：1( x ) S n 1 2 x 1 x( 2 n 1 ) x n1 xn 1 n( 2 n )1 x ( 2 n 1 ) x 1( x )S n 2( 1 x )例 4 求数列 2, 42 , 63 , , 2 nn , 前 n 项的和 . 2 2 2 2解：由题可知， 2 nn 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 1n 的通项之积2 2设 S n 2 42 63 2 nn 2 2 2 21 2 4 6 2 nS n 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2- ( 1 1) S n 2 22 23 24 2n 2n n1 2 1n 1 2n n12 2 2 2 2 2 2 2 2S n 4 nn 1 22三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1an). 例 5 求sin21sin222 sin32 sin882 sin89的值解：设Ssin21sin22sin23sin288sin 289 .将式右边反序得名师归纳总结 Ssin289sin288x),sin23sin22sin21 .第 11 页，共 14 页又因为sinx