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1、学习必备欢迎下载高考复习序列 - 高中数学数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载一、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn（注：该公式对任意数列都适用）1(2)nnnSSan（注：该公式对任意数列都适用）12nnSaaa（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列通项公式与公差：定义式：daann1一般式：qpnadnaann11推广形式：()nmaanm dmnaadmn；mnmSnSdnmn2项和与公差的关系：前；
2、前n项和与通项na的关系：前 n 项和公式：1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 前 n 项和公式的一般式：daBdABnAnSn21,2,12其中应用：若已知nnnf22，即可判断nf为某个等差数列na的前 n 项和，并可求出首项及公差的值。na与nS的关系：1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列12nSn，1nnaa（直接利用通项公式作差求解）常用性质：若 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；特别地：若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p 成等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,
3、aaa456,aaa789aaa，）仍是等差数列；na为公差为d 等差数列，nS为其前n项和，则232,mmmmmSSSSS，43mmSS， 也成等差数列, A、 构成的新数列公差为 D=m2d，即 m2d=(S2m-Sm)- Sm；B、对于任意已知Sm，Sn，等差数列na公差mnmSnSdmn2，即nSn也构成一个公差为2d等差数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd； 1nnSaSa奇偶；若项数为奇数，设共有21n项，则S奇S偶naa中；1SnSn奇偶。
4、例：已知等差数列na，其中11010010,10,100SSS则解析：法一，用等差数列求和公式1(1)2n nnad求出da ,1法二，10S，10011020301020.,SSSSSS成等差数列，设公差为D，则：DSSS451010100110法三 , 63. 等比数列的通项公式： 一般形式：1*11()nnnaaa qqnNq；推广形式：n mnmaaq，nmnmaaq其前 n 项的和公式为：11(1),11,1nnaqqsqna q，或11,11,1nnaa qqqsna q. 数列na为等比数列211111002,nnnnnnnaq qaaannNaaqa1aq0nN*、，nnSA
5、qB 常用性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载若 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；特别地：若,mnpaaa是的等比中项，则有2mnpaaan、m、p 成等比数列 ; 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,aaa456,aaa789aaa，）仍是等比数列；na为等比数列，nS为其前n 项和，则232,mmmmmSSSSS，43mmSS， 也成等比数列（仅当当1q或者1q且m不是偶数时候成立） ；设等比数列nb的前n项积为nT，则kT，232,kkkkTTTT，43kkTT成
6、等比数列na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列. 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列一般通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列一般前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：（1）定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常
7、数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。数列最值的求解（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，的最值可求二次函数的最值；nS2nSanbn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载可用二次函数最值的求法（nN） ；或者求出中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例 1：等差数列na中，12910SSa，则前项的和最大。【解析】：项）项和最大
8、（或前前，1011020001110121012111012111011129121291aaaaaaaaaaaaSSSSa例 2设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。【解析】：372400,5215642144211212212212,21221312131211231dSSdSdddaaSddaa，根据已知同理：由0001213123dSSa及，可知， n=12 是前 n 项和正负分界项，故,70,60nanann所以，6S最大变式：若等差数列的首项为为31，从第 16 项开始小于1 ，则此数列公差d
9、的取值范围是解析：116a，但要注意此时还要一个隐含条件115a，联立不等式组求解。3、若数列的前n 项和nnSn102，则na，nns数值最小项是第项。【解析】：法一（导数法） ：根据等差数列前n 项和的标准形式BnAnSn2，可知该数列为等差数列，nnnSnaaadSSannSann112112, 2,7,910212122211令时时，即当4110)(,114)(,112)(2nnfnnfnnnSnfn,取得最小值，其中15)3(,14)2(34112ff，分别求出，可见当 n=3 时nns取得最小。法二 （列举法）： 对于,0,01且数值较大时且数值较小 da可用列举法， 分别求出 n
10、=1、 2 时的nns的值，再进行比较发现。4、已知数列na，的最小值为则nanaaannn,2,3311【 解 析 】： 法 一 （ 均 值 不 等 式 ）： 由 累 加 法 ：33-221nnannaann， 令na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载时取得最小值。，可见，取得最小值，时，即可见当6663)6(533)5(63353333,133)(nffnannnnnnanfnn法二（列举法） ：实在没招时使用该法。5、 已知等差数列na的前 n 项和的最小值为则nnSnSSS,25,0,151
11、0。【解析】：49-49-)7(48-)6(,732063200)(,320)(,)(,310300,322223110110，故取，而时取得最小值，即当令ffnnfnnnfSnnfnnSnaaaSdmnmSnSdnnmn6 、数列通项公式的求法：类型 1：等差数列型)(1nfaann思路：把原递推式转化为)(1nfaann，再使用累加法（逐差相加法）求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载例， 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则
12、21221111*21)2(21)1(2naaanaanaannnnn以上逐次累加，所以数列na的通项公式为2nan变式：已知数列na满足1232nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n， 得113222nnnnaa， 则113222nnnnaa， 此时23)(nf， 故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan， 所以数列na的通项公式为31()222nnan评注：本题nnaa、1前的系数不一致， 不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnna
13、a，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。类型 2：等比数列型nnanfa)(1把原递推式转化为)(1nfaann，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例（20XX 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnana n；故11(2)nnanna所以13222122! (1)43.2nnnnnaaanaan
14、 naaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得， 则21aa， 又知11a， 则21a，代入得!1 3 4 52nnan。所以，na的通项公式为!.2nna评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式1(1)(2)nnanan转 化 为11(2)nnanna， 进 而 求 出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。类型 4：待定系数法处理qpaann
15、1或nnnqpaa1型数列把原递推式,1qpaann转化为;1),(1qpttaptann转化思路：为等比数列，则数列此式与原式比较，得到令tataqpttaptannnn-1),-(11例，数列nnnnaaaaa求, 32,1,11解：令1-312),(21ttatann比较原递推式，所以2111nnaa即1na是公比为2 的等比 数 列 ，1na= （11a）1 -n2， 或 令nnba1，nb是 公 比 为2的 等 比 数 列 ， 所 以nnnnbabbb2,21,2*1111其中，变式 1：已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。思路 ：等式两边同 时除于15
16、n；原 递推式变成,535*52511nnnnaa令nnnba5，nnnnnnnnnnnnnnnnnnabbbabbbttbtbbb521525252*5152*11565,521153152)(52535211111111111评注： 本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为)-(1taptann，最后再求出数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载变式 2：已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为,1qpa
17、ann变式 3：已知数列na满足513nnaa，17a，求数列na的通项公式。思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为,1qpaann变式 4：已知数列na满足111(1 4124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。思路：换元124nnba，则21(1)24nnab，再代入原递推式，再转化为,1qpaann类型 5 已知nnaS 、递推式nnafS求na这种类型一般利用1,1,11nSSnSannn导出1nnnSSa，消去nS，得到na与1na的递推式，再利用前面的方法求解出na（知识迁移：2,1,211nSSnSaannnn）例，已知数列na前 n 项和2214nnnaS，求：（
18、1）的关系与nnaa1， （2）通项na。解： （1）222212121*21212121212121)214()214(1111112121111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaSSa（2）由上式：2222221111nnnnnnnnaaaa，令nnnab2，即有21nnbb，而，222111Sab，所以，1bbn为2，公差为2,的等差数列，122,2nnnnnnnaabnb类型 6：12( )na aaf n求na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载用作商法：(1),(
19、1)( ),(2)(1)nfnf nanf n数列求和的常用方法然数和公式：1122n nn；222121126n nnn；223331124nnn一、利用等差等比数列的求和公式求和1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1 ()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例 1 已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和 . 解：由212lo gl o g3l o g1l o g3323xxx，由等比数列求和公式得nnxxxxS32xxxn1)1 (211)211(21n1n21（利用等比数列求和公式）例 2 设 Sn
20、1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(211nnSn1)32()(nnSnSnf64342nnnnn6434150)8(12nn501 当88n，即 n8 时，501)(maxnf二、错位相减法求和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 例 3 求和：132)12(753
21、1nnxnxxxS解：由题可知，1)12(nxn 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列1nx的通项之积设nnxnxxxxxS) 12(7531432.得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1 (121)1()1 ()12() 12(xxxnxnSnnn例 4 求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和 . 解：由题可知，nn22的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS-1432222222222222
22、)211(nnnnS1122212nnn1224nnnS三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. 例 5 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S. 将式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S. 又因为1cossin),90cos(sin22xxxx， +得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备
23、欢迎下载)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S89 S44.5 题 1已知函数（1）证明：；（2）求的值 .解：（ 1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以. 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例 5 求数列的前n 项和：231,71,41, 1112naaan，解：设)231()71()41() 11 (12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()111
24、1 (12naaaSnn当 a1 时，2) 13(nnnSn2)13(nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载1a时，2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项） 分解， 然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（ 1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan() 1cos(cos1sin（ 3）1211212112121;111) 1(1nnnn
25、annnnann（ 4）)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnanbababaannnnann11;111例 6求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 解：设nnnnan111则11321211nnSn)1()23()12(nn11n例 7在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前 n 项的和 . 解：211211nnnnnan)111(82122nnnnbn数列 bn的前 n 项和)111()4131()3121()211(8nnSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共
26、 14 页学习必备欢迎下载)111 (8n18nn六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 8求 cos1+ cos2+ cos3+ + cos178+ cos179的值 . 解：设 Sn cos1+ cos2 + cos3+ + cos178+ cos179)180cos(cosnn Sn （cos1+ cos179） +（ cos2+ cos178） + （ cos3+ cos177） + +（cos89+ cos91） + cos900 例 9在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值 . 解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log333 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页