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1、中考数学压轴题汇编（1）1、如图，抛物线212yxmxn交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1(1)求m、n的值；(2）求直线PC的解析式；(3）请探究以点A为圆心、直径为5 的圆与直线PC的位置关系，并说明理由(参考数：21.41，31.73，52.24)2、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(x，0)，E
2、(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图 2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPEF3.（本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2+bx+c经过A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2-x1=5（1）求b、c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一
3、点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3 分）4.(河池市本小题满分12 分)如图11，在直角梯形OABC中，CBOA，90OABo，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AC相交于点M，4OAAB，2OACB（1）线段OB的长为，点C的坐标为；（2）求OCM的面积；（3）求过O，A，C三点的抛物线的解析式；（4）若点E在（3）的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标（第 25 题图）A x y B C O yxM C B O A 5、
4、（2010?重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2 的等边 OAB的顶点 B在第一象限，顶点 A在 x 轴的正半轴上另一等腰OCA 的顶点 C在第四象限，OC=AC，C=120 现有两动点P、Q分别从 A、O两点同时出发，点 Q以每秒 1个单位的速度沿OC向点 C运动，点 P以每秒 3 个单位的速度沿AO B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的OPQ 的面积 S与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边 OAB 的边上（点A除外）存在点D，使得 OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 D的坐标；（3）
5、如图（2），现有 MCN=60，其两边分别与OB、AB交于点 M、N，连接 MN 将MCN绕着 C点旋转（0旋转角 60），使得 M、N始终在边OB和边 AB上试判断在这一过程中，BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由1、如图，抛物线212yxmxn交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1(1)求m、n的值；(2）求直线PC的解析式；(3）请探究以点A为圆心、直径为5 的圆与直线PC的位置关系，并说明理由(参考数：21.41，31.73，52.24)解：(1)由已知条件可知：抛物线212yxmxn经过A(-3，
6、0)、B(1，0)两点 903,210.2mnmn解得31,2mn(2)21322yxx，P(-1，-2)，C3(0,)2设直线PC的解析式是ykxb，则2,3.2kbb解得13,22kb 直线PC的解析式是1322yx 说明：只要求对1322kb，不写最后一步，不扣分 (3)如图，过点A作AEPC，垂足为E设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)在RtOCD中，OC=32，3OD，2233()3522CD8 分 OA=3，3OD，AD=69 分 COD=AED=90o，CDO公用，CODAED OCCDAEAD，即335226AE 655AE 652.6882.55;，以点A为圆心
7、、直径为5 的圆与直线PC相离 12 分2、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图 2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标解：
8、(1)由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重 合，则 BPE=90 OPEAPB=90 又 APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA2 分图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPEFPOBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx(0 x4)且当x=2 时，y有最大值134 分(2)由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)6 分设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abcy=213122xx (3)由(2)知EPB=90，即点Q与点B重合时满足条件9分
9、直线PB为y=x1，与y轴交于点(0，1)将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，该直线为y=x1由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件 12 3.（本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2+bx+c经过A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2-x1=5（1）求b、c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若
10、不存在，请说明理由（3 分）解：（1）抛物线y=32x2+bx+c经过点A（0，4），c=4 又由题意可知，x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，x1+x2=23b，x1x2=23c=6 由已知得（x2-x1）2=25 A x y B C O 又（x2-x1）2=（x2+x1）24x1x2=49b224 49b224=25 解得b=314当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=314（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，5 分又y=32x2314x4=32（x+27）2+625 6 分抛物线的顶点（27，
11、625）即为所求的点D 7 分（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3 与抛物线y=32x2-314x-4 的交点，8 分当x=3 时，y=32（3）2314（3）4=4，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形 9 分四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上10 分4.(河池市本小题满分12 分)如图 11，在直角梯形OABC中，CBOA，90OABo，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AC相交于点M，4OAAB，2OACB（1
12、）线段OB的长为，点C的坐标为；（2）求OCM的面积；（3）求过O，A，C三点的抛物线的解析式；（4）若点E在（3）的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标解：（1）42；2,4.（2 分）（2）在直角梯形OABC 中，OA=AB=4，90OABoCBOA OAM BCM（3 分）又 OA=2BC AM2CM，CM31AC（4 分）yxM C B O A 图 11 所以1118443323OCMOACSS（5 分）（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）（3）设抛物线的解析式为20yaxbxc a由抛物线的图象经过点0
13、,0O,4,0A,2,4C.所以42404160cbacbac（6 分）解这个方程组，得1a，4b，0c（7 分）所以抛物线的解析式为24yxx（8 分）（4）抛物线24yxx的对称轴是CD，2x 当点 E 在x轴的下方时，CE 和 OA 互相平分则可知四边形OEAC 为平行四边形，此时点 F 和点C 重合，点F 的坐标即为点2,4C；（9 分）当点 E 在x轴的下方，点F 在对称轴2x的右侧，存在平行四边形AOEF，OAEF，且OAEF，此时点F 的横坐标为6，将6x代入24yxx，可得12y.所以6,12F.（11 分）同理，点 F 在对称轴2x的左侧，存在平行四边形OAEF，OAFE，且
14、OAFE，此时点 F 的横坐标为2，将2x代入24yxx，可得12y.所以2,12F.（12 分）综上所述，点F 的坐标为2,4，6,12,2,12.（12 分）5、（2010?重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2 的等边 OAB的顶点 B在第一象限，顶点 A在 x 轴的正半轴上另一等腰OCA 的顶点 C在第四象限，OC=AC，C=120 现有两动点P、Q分别从 A、O两点同时出发，点 Q以每秒 1个单位的速度沿OC向点 C运动，点 P以每秒 3 个单位的速度沿AO B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的OPQ 的面积 S与运动的时间t
15、 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边 OAB 的边上（点A除外）存在点D，使得 OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 D的坐标；（3）如图（2），现有 MCN=60，其两边分别与OB、AB交于点 M、N，连接 MN 将MCN绕着 C点旋转（0旋转角 60），使得 M、N始终在边OB和边 AB上试判断在这一过程中，BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由yxM C B O A D 解答：解：（1）过点 C作 CD OA于点 D（如图）OC=AC，ACO=120，AOC=OAC=30 OC=AC，CD OA，OD=DA=1 在 R
16、tODC中，OC=（1 分）（i）当 0 t 时，OQ=t，AP=3t，OP=OA AP=2 3t 过点 Q作 QE OA于点 E（如图）在 RtOEQ中，AOC=30，QE=OQ=，SOPQ=OP?EQ=（23t）?=+t，即 S=+t；（3 分）（ii）当t 时（如图）OQ=t，OP=3t 2BOA=60，AOC=30，POQ=90 SOPQ=OQ?OP=t?（3t 2）=t，即 S=t；故当 0t时，S=+t，当t 时，S=t（5分）（2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9 分）（3）BMN的周长不发生变化理由如下：延长 BA至点 F，使 AF=OM，连接 CF （如图）又 MOC=FAC=90，OC=AC，MOC FAC，MC=CF，MCO=FCA （10 分）FCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCA MCN=60，FCN=MCN 又MC=CF，CN=CN，MCN FCN，MN=NF（11 分）BM+MN+BN=BM+NF+BN=BOOM+BA+AF=BA+BO=4 BMN的周长不变，其周长为 4