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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学讲义必修一第一章复习学问点一 集合的概念1集合：一般地,把一些能够 _对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象 _构成的集合 或集 ,通常用大写拉丁字母 A , B,C, 来表示2元素：构成集合的 _叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母 a,b, c, 来表示3空集：不含任何元素的集合叫做空集,记为 . 学问点二 集合与元素的关系1属于：假如 a 是集合 A 的元素,就说 a_集合 A ,记作 a_A. 2不属于：假如 a 不是集合 A 中的元素,就说 a_集合 A ,记作 a_A. 学问点三 集合的特性及分类1集合元素的特性 _、
2、 _、_. 2集合的分类：1有限集：含有 _元素的集合； 2无限集：含有 _元素的集合3常用数集及符号表示名称 非负整数集 自然数集 整数集 实数集符号 N N*或 NZ Q R 学问点四 集合的表示方法1列举法：把集合的元素 _,并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法2描述法：用集合所含元素的 学问点五 集合与集合的关系1子集与真子集_表示集合的方法称为描述法定义符号语言图形语言假如集合 A 中的 _元素都是子集集合 B 中的元素,我们就说这两个_或集合有包含关系,称集合A 为集合_ B 的子集真子集假如集合 A . B,但存在元素_或_,且 _,我们称集_ 合 A 是集合 B 的真子集2.
3、子集的性质1规定：空集是 _的子集,也就是说,对任意集合 A,都有 _2任何一个集合 A 都是它本身的子集,即 _3假如 A . B, B. C,就 _4假如 A B,B C,就 _3集合相等1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义符号语言图形图言Venn 图 假如集合 A 是集合 B 的子集 A. B,且 _,此集合相等时,集合 A 与集合 B 中的元素A B 是一样的, 因此,集合 A 与集合B 相等学问点 六 集合的运算1交集自然语言符号语言图形语言由_ _ A B _ 组成的集合,称为A 与 B 的交集2
4、并集自然语言符号语言图形语言由_ _组成的 A B _ 集合,称为 A 与 B 的并集3.交集与并集的性质交集的运算性质 并集的运算性质AB _ A B_ A A _ A A _ A. _ A ._ 4.全集A. B. A B _ A. B. A B_ 在讨论集合与集合之间的关系时,假如一个集合含有我们所讨论问题中涉及的 _,那么就称这个集合为全集,通常记作 _5补集文字语言符号语言对于一个集合A,由全集 U 中_的全部元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,记作 _ .UA _ 图形语言2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 典例精讲题型一 * 判定能否构成集合1在“ 高一数学中的难题；全部的正三角形； 方程 x22 0 的实数解” 中, 能够构成集合的是；题型二 * 验证元素是否是集合的元素1、已知集合 A x x m 2 n 2 , m Z , n Z,判定 3 是不是集合 A 的元素；2、集合 A 是由形如 m 3 n m Z , n Z 的数构成的,判定 1 是不是集合 A 中的元素 . 2 3题型三 * 求集合3xy21方程组 的解集是 2x3y 27x3A. Bx ,y|x 3 且 y 7 C 3 , 7 Dx ,y|x3 且 y 7 y 72以下六种表示法： x 1, y 2 ；
6、 x , y|x 1, y 2 ； 1,2 ； 1,2； 1,2 ；x ,y|x 1 或 y2 2xy0,能表示方程组 的解集的是 x y 3 0A B C D题型四 * 利用集合中元素的性质求参数1已知集合 Sa ,b, c 中的三个元素是ABC 的三边长,那么ABC 肯定不是 A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形2.设 a,bR,集合 1 , ab,a 0,b a,b ,就 ba _. 3.已知 Px|2 xk, x N,kR ,假设集合 P 中恰有 3 个元素,就实数 k 的取值范畴是 _. 4.已知集合 A 是由 0, m, m23m 2 三个元素组成的集合,且 2 A
7、,就实数 m 的值为 A 2 B 3 C 0 或 3 D0 或 2 或 3 题型五 * 判定集合间的关系1、设 M x x k 1, k Z , N x x k 1, k Z,就 M 与 N 的关系正确的选项是2 4 4 2A. M=N B. M N C. M N D.以上都不对2判定以下集合间的关系：1A x|x 3 2 , Bx|2x 50 ；2A x Z| 1 x3 , Bx|x |y|, y A 题型六* 求子集个数A 有且仅有 2 个子集,就a的取值构成的集合为1已知集合A x|ax2 2x a 0, aR ,假设集合_2.已知集合 A 1 ,2,3 ,写出集合A 的全部子集,非空子
8、集,真子集,非空真子集3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型七 * 利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合 A 1,2 ,m3 ,B 1 ,m , B. A,就 m_. 2已知集合 A 1,2 , Bx|ax 2 0 ,假设 B. A,就 a 的值不行能是 A 0 B 1 C 2 D 3 题型八 * 集合间的基本运算1下面四个结论：假设 a A B,就 aA；假设 a A B,就 aA B；假设 a A,且a B,就 a A B；假设 A BA ,就 A B B.其中正确的个数为 A 1 B 2 C 3 D
9、4 2已知集合 M x| 33 ,就 M N A x|x 3 B x| 3x 5 C x|30 ,就 S T A 2,3 B, 2 3, C 3, D 0,23 , 5以下关系式中,正确的个数为 M N. N； M N. M N ； M N. N；假设A 4 B 3 C 2 D 1 M . N,就 M NM. 6 2022 唐山一中月考试题 已知全集 Ux|x 4 ,集合 A x| 2x3 ,Bx| 3 x 2 ,求 A B,.UA B, A .UB. 题型九 * 依据集合运算的结果求参数1假设集合 A 2,4 ,x ,B 2 ,x2,且 A B2,4 ,x ,就 x _. 2设 A x|x2
10、8x0 ,B x|x 22a2x a2 4 0 ,其中 a R.假如 A BB,求实数 a的取值范围. 3 U1,2 ,A x|x2pxq 0 , .UA 1 ,就 pq _. 题型十 * 集合中的新定义问题1集合 P3,4,5 , Q6,7 ,定义 P*Q a ,b|a P,bQ ,就 P*Q 的子集个数为 A 7 B12 C 32 D 64 2当 x A 时,假设 x1.A,且 x 1.A ,就称 x 为 A 的一个“ 孤立元素” ,由 A 的全部孤立元素组成的集合称为 A 的“ 孤星集” ,假设集合 M 0,1,3 的孤星集为 M ,集合 N0,3,4 的孤星集为 N ,就 M N A
11、0,1,3,4 B1,4 C 1,3 D 0,3 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点一 函数的有关概念学问点二 两个函数相等的条件1定义域 _2_完全一样学问点三 区间的概念及表示1一般区间的表示设 a,bR,且 ab,规定如下：定义名称符号数轴表示x|a xb 闭区间x|axb 开区间半开半闭区间x|a xb x|aa x|x a x|xa 符号, a, a, , a , a 学问点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法学问点五分段函数x 在 A 中不同的取值范畴,有着不同的_,那假如
12、函数 yfx ,xA,依据自变量5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的_,值域是各段值域的 _学问点六 映射的概念设 A,B 是两个 _,假如按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的_ ,在集合 B 中都有 _确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射学问点七 函数的单调性1增函数、减函数：设函数 fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x
13、 2,当 x1x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说函数 fx 在区间 D 上是增函数；当 x1fx 2,那么就说函数fx 在区间 D 上是减函数2函数的单调性：假设函数 fx 在区间 D 上是增 减函数, 就称函数 fx 在这一区间上具有严格的 单调性,区间 D 叫做 fx 的单调区间3单调性的常见结论：假设函数 fx ,gx均为增 减函数,就 fx gx仍为增 减函数；假设函数 fx 为增 减函数,就 fx 为减 增函数；假设函数 fx 为增 减 函数,且 fx0 ,就1 为减 增函数f x学问点八 函数的最大值、最小值最值最大值 最小值类别设函数 yfx 的定义域为 I,假如存在实
14、数 M 满意条件1对于任意的 xI,都有 _ 1对于任意的 xI,都有 _ 2存在 x0I,使得 _ 2存在 x0I,使得 _ 结论M 是函数 yfx 的最大值小值M 是函数 yfx 的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数,必有最大学问点九函数的奇偶性1函数奇偶性的概念条件结论偶函数奇函数对于函数 fx 的定义域内任意一个x,都有fxfxfx fx函数 fx 是偶函数函数 fx 是奇函数6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.性质1偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称,奇函数在原点有定义, 就 f
15、x=0 2奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反3在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商分母不零 为偶函数； 两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商 学问点十 函数的周期性分母不为零 为奇函数假设存在非零常数T,对定义域内任意x,都有fxTf x ,称这样的函数为周期函数, T 叫函数的一个周期；如：如f xaf x ,就典例精讲题型一* 函数的定义域1函数 fx lnx 3的定义域为 Ax|x 3 Bx|x0 Cx|x3 Dx|x 3 2函数 fx 12x1 的定义域为 x3 A3,0 B3,1 C, 33,0 D , 33,1
16、 3. 函数yx2x3x4的定义域为C 0,10,1A 4,1B 4, 0D 4, 04.已知函数 fx=mx2mx1的定义域是一切实数,就 m 的取值范畴是A.0m4 B.0 m 1 C.m4 D.0m4 5、假设函数 y fx 的定义域是 1 ,4 ,就 y f x1的定义域是6、假设函数 y f x1的定义域是 1 ,2 ,就 y fx的定义域是题型二* 函数概念的考察1以下图象中,不行能成为函数yfx 图象的是 2 以下各组函数中表示同一函数的是A.y=55 x和y2 x B.y=lnx e和yln ex7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料
17、- - - - - - - - - C.yx1x3和yx3 D.y0 x和y1x10 x3 以下四组函数中,表示同一函数的是2 x 1A. y x 1 与 y x 1 By x 1 与 yx 12 xCy 4 lg x 与 y 2 lg x Dy lg x 2 与 lg10024 已知函数 y= x 2 定义域为 0,1 . ,1 2,就其值域为题型三 * 分段函数的考察1、已知函数 f x log2 , x 3x x x0 0,就 f f 19A.4 B. 1 C.-4 D-14 4112x,x0,2、已知函数 fx 假设 fa a,就实数 a_.1x,x0, fx=x2+x, 求 fx解析
18、式3、设fx是奇函数,gx是偶函数,并且fxgxx2x,求fx ；题型六*函数的值域与最值1、函数yfx22x3,x,11 ,4的值域为2、求函数xx1x4的最大值和最小值；x53、求函数fx4x2x13x,24的最大值和最小值；题型七* 函数性质的考察1、写出函数fx log1x24x3的单调递减区间22、设二次函数fx=x2-2a+1x+3 ,且当x对称1 假设函数 fx的单调增区间为2 ,就实数 a 的值 _；2 假设函数 fx 在区间2,内是增函数,就实数a 的范畴 _；3、定义在1,1上的奇函数fxx2xm1,就常数 m_, n_ nx4、已知函数f x 是 , 上的偶函数,假设对于
19、x0,都有f x2）f x x0,2时,f x log x1）,就f 2022f2022的值为A2 B1C1D 25、函数ylog22x的图像2xA.关于原点对称 B.关于主线 yx 对称 C . 关于 y 轴对称 D.关于直线 y6、函数fx4xx1的图象2A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称10名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、定义在 R上的奇函数fx,满意f x4f x , 且在区间 0,2上是增函数 , 就 A.f 25f11f80 B. f
20、80f11f 25.C. f11f80f 25 D. f 25f80f118、已知偶函数f x 在区间0,单调增加,就满意f2x1f1 的 x 取值范畴 3,23A1 3,2 3 B.1 3,2 3 C.1 2,2 3 D.1 29、定义在 R上的偶函数f x 满意：对任意的x 1,x 20,x 1x 2,有f x 2f x 10x2x 1就 A f 3 f 2 f 1 B. f 1 f 2 f 3C. f 2 f 1 f 3 D. f 3 f 1 f 210 、已知函数 f x 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有xf x 1 1 x f x ,就 f 5的值是 2
21、1 5A.0 B. C.1 D.2 211、已知定义在 R 上的奇函数 f x ,满意 f x 4 f x , 且在区间 0,2 上是增函数 ,假 设 方 程 fx=mm0 在 区 间 8 , 8 上 有 四 个 不 同 的 根 x x 2 , x 3 , x 4 , 就x 1 x 2 x 3 x 4 _.1ax212、已知函数 fx xb 的图象经过点 1,3,并且 gxxfx 是偶函数1求函数中 a、b 的值；2判定函数 gx在区间 1, 上的单调性,并用单调性定义证明11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 基
22、本初等函数、方程的根与函数的零点学问点一 指数函数（1）根式的概念：假如xna aR xR n1,且 nN,那么 x 叫做 a 的 n 次方根（2）分数指数幂的概念：正数的正分数指数幂的意义是：amnama0,m nN,且n1 0 的正分数指数n幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：am1mn1 ama0,m nN,且n10 的nna负分数指数幂没有意义（3）运算性质：arasarsa0, , r sR R arsarsa0, , r sR abrr a bra0,b0,r4指数函数函数名称y1函数yaxa指数函数1叫做指数函数1定义0且aa10a图象yyaxyaxyy10,10,1定义域Ox
23、0OxR值域0,时,y1图象过定点 0,1 ,即当x过定点奇偶性非奇非偶在 R 上是减函数在 R 上是增函数单调性12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - ax1 x0ax1 x0函数值的ax1 x0ax1 x0变化情形a 变化对图象ax1 x0ax1 x0在第一象限内,a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低的影响学问点二对数函数（1）对数的定义：假设axN a0,且a1,就 x 叫做以 a为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log
24、 1 ax0logaNaxN ab0,a1,N02几个重要的对数恒等式：, logaa1, logaab 3常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 log e N 其中e2.71828 aNlogaM4对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么加法： logaMlogaNlog aMN减法： logaMlogN数乘：nlogaMlogaMnnRalog a NN公式：loga bMnnlogaM b0,nR 换底blogaNlogbNb0,且b1logba5对数函数函数函数ylogax a对数函数1叫做对数函数1名称定义0且a图象a10a13
25、名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - yx1ylog axyx1ylog ax1,0定义域O1,0x0,Ox值域在 0,R0过定点图象过定点 1,0 ,即当x1时,y奇偶性 上是减函数非奇非偶 上是增函数在 0,单调性函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1变化情形logax0 0x1logax0 0x1a 变化对 图象的影响在第一象限内,a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高学问点三幂函数1幂函数的定义一般地,函数yx叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数2幂函数
26、的图象过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1学问点四 函数与方程1、函数零点的定义1对于函数 y f x ,我们把方程 f x 0 的实数根叫做函数 y f x 的零点；2方程 f x 0 有实根 函数 y f x 的图像与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点；因此判定一个函数是否有零点,有几个零点, 就是判定方程 f x 0 是否有实数根, 有几个实数根；函数零点的求法：解方程 f x 0,所得实数根就是 f x 的零点14名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3变号零点与不变号零点假设函
27、数f x 在零点x 左右两侧的函数值异号,就称该零点为函数 aff x 的变号零点；假设函数f x 在零点x 左右两侧的函数值同号,就称该零点为函数f x 的不变号零点；假设函数f x 在区间a b上的图像是一条连续的曲线,就f b0是f x 在区间,a b内有零点的充分不必要条件；2、函数零点的判定1零点存在性定理：假如函数yf x 在区间a ,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有,f a f b 0,那么, 函数yfx 在区间a b内有零点, 即存在x 0a ,b ,使得f0x0这个0x 也就是方程fx0的根；0实数根的个数确定方法2函数yfx零点个数或方程fx 代数法：函数yf x 的零点f x 0的根；几何法 对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yfx的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点；3零点个数确定0yfx 有 2 个零点fx fx0有两个不等实根；a b上的零点个数,要0yfx 有 1 个零点fx0有两个相等实根；0yfx 无零点0无实根；对于二次函数在区间.