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1、6.2 等差数列一课程目标1.理解等差数列的概念；n项与公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列及一次函数的关系.二知识梳理1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数).2. 通项公式 假设等差数列an的首项是a1，公差是d，那么其通项公式为ana1(n1)d.项与公式 等差数列的前n项与公式：其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项).
2、3. 等差数列的常用性质 数列an是等差数列，Sn是an的前n项与. (1)通项公式的推广： (2)假设mnpq(m，n，p，qN*)，那么有。特别的，当时， (3)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列. (4)假设an是等差数列，公差为d，那么ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列. (5)假设是等差数列，那么仍是等差数列.4. 及等差数列各项与相关的性质（1） 假设是等差数列，那么也是等差数列，其首项及的首项一样，公差为的公差的。（2） 数列也是等差数列.（3） 关于非零等差数列奇数项及偶数项的性质。 .假设
3、项数为，那么。 .假设项数为，那么，。4假设两个等差数列的前项与分别为，那么5.等差数列的前n项与公式及函数的关系：1，数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).2在等差数列an中，a10，d0，那么Sn存在最大值；假设a10，d0，那么Sn存在最小值.三考点梳理例1.(2021全国卷)等差数列an前9项的与为27，a108，那么a100()A.100 B.99 C.98 例2.设等差数列an的前n项与为Sn，S36，S412，那么S6_.练习1.(2021 全国卷)an是公差为1的等差数列，Sn为an的前nS84S4，那么a10等于()A. B. 2.等差数列的性质例1.(2021
4、全国卷)设Sn是等差数列an的前n项与，假设a1a3a53，那么S5()A.5 B.7 C.9 例2.设等差数列an的前n项与为Sn，假设S39，S636，那么a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 例3.假设一个等差数列前3项的与为34，最后3项的与为146，且所有项的与为390，那么这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 例4.(2021 广东卷)在等差数列an中，假设a3a4a5a6a725，那么a2a8_.例5.(2021武汉调研)数列an是等差数列，a1a78，a22，那么数列an的公差d等于()A.1 B.2 C.3 D.4例6.设等差数列an，bn的前n项与分
5、别为Sn，Tn，假设对任意自然数n都有，那么的值为_.例1.等差数列an的前n项与为Sn，a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 例2.设等差数列an的前n项与为Sn，a10且，那么当Sn取最大值时，n的值为()A.9 B.10 C.11 例3.等差数列an满足a1a2a3a1010，那么有()A.a1a1010 B.a2a1000 C.a3a990 D.a5151例4.正项等差数列an的前n项与为Sn，假设S1224，那么a6a7的最大值为()A.36 B.6 C.4 例5.设是公差为d的无穷等差数列的前n项与，那么以下命题错误的选项是 A. 假设d0，那么数
6、列有最大项B.假设数列有最大项，那么d0，均有0，那么数列为递增数列例6.设等差数列an满足a27，a43，Sn是数列an的前n项与，那么使得Sn0成立的最大的自然数n是()A9 B10 C11 D12方法总结：求等差数列前n项与的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得与的最值；(3)将等差数列的前n项与SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.6.3 等比数列一 课程目标1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项与公式；2. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相
7、应的问题；3. 了解等比数列及指数函数的关系.二 知识梳理(1)如果一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数)，或q(nN*，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a及b的等比中项，其中G.2. 等比数列的通项公式及前n项与公式(1)假设等比数列an的首项为a1，公比是q，那么其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项与公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.an是等比数列，Sn是数
8、列an的前n项与.(1)假设klmn(k，l，m，nN*)，那么有akalaman.(2)数列是等比数列，等也是等比数列。(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(5)等比数列an的单调性：当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递增数列； 当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递减数列；当q1时，数列an是常数列.(6) 当是偶数时，;当为奇数时，三 考点梳理1. 等比数列的概念及运算例1.在单调递减的等比数列中，假设，那么()A.2
9、B.4 C. 例2.公比不为1的等比数列满足，假设，那么的值为()A.8 C.10 例3.(2021 全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前nSn126，那么n_.例1.(2021全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，那么a1a2an的最大值为_.例2.设等比数列an的前n项与为Sn，假设3，那么()A.2 B. C. 例3.(2021 全国卷)等比数列an满足a13，a1a3a521，那么a3a5a7()A.21 B.42 例4.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项与，且S1010，S3070，那么S40等于()A.150 B.200C.150或200 D
10、.400或50例5.在正项等比数列an中，a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，那么n等于()A.12 B.13 C.14 例6.数列an中，对任意nN*，a1a2a3an3n1，那么aaaa等于()A.(3n1)2 B.(9n1) n1 D.(3n1)例7.在等比数列an中，a21，那么其前3项的与S3的取值范围是_.例8.数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，那么的值是()A 5 B C5 D例an中，那么= A.8 B6 C4 D例的前项均为正数，且，那么_.一课程目标：1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项与公式；2.掌握非等差数列、非
11、等比数列求与的几种常见方法.二知识梳理n项与的方法(1)公式法等差数列的前n项与公式Snna1d.等比数列的前n项与公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求与，正负相消剩下首尾假设干项.(4)倒序相加法 把数列分别正着写与倒着写再相加，即等差数列求与公式的推导过程的推广.(5)错位相减法 主要用于一个等差数列及一个等比数列对应项相乘所得的数列的求与，即等比数列求与公式的推导过程的推广.(1)(2)(3)三考点梳理1.求数列的通项公式。例1.数列an满足，其
12、中nN*设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；例2.数列an满足a1=，an+1= ，nN+求证：数列2是等比数列，并且求出数列an的通项公式；例3.数列的前n项与为Sn，nN*且n2，数列满足：，且nN*且n2求数列的通项公式；求证：数列为等比数列；例4.在数列中，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；满足，。设，求数列的通项公式。例6.数列an满足，且(nN*)。(1)求数列an的通项公式;(2)令=+ ，求数列bn的前n项与.例7.数列an中，且1求；2求数列的通项公式；求通项公式的方法：利用；根据目标数列构造等差、等比数列，然后通过等差、等比数列的通项公式反推出原数列的通项公式
13、；如果递推公式是有数列的前后三项组成，可先构造等比或等差数列，然后按照2的步骤进展反推。1分组转化法假设数列的通项公式为，且，为等差或等比数列，可采用分组求与法求数列的前n项与.假设数列的通项公式为其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求与法求的前n项与.例1.在数列中，1求数列的通项公式；2求证：数列是等差数列；3设数列满足=，求的前n项与例2. 是等比数列，前n项与为Sn(nN*)，且，.(1)求的通项公式；(2)假设对任意的nN*，是与的等差中项，求数列的前项与.例3.数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项与Sn的值等于()A.n21 n2n1C.n21 D.n2n1例4.数列an
14、的通项公式，其前n项与为Sn，那么S2 016等于()A.1 008 B.2 016（2） 裂项相消法：利用裂项相消法求与时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项与最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积及原通项公式相等.例1.(2021 全国卷)Sn为数列an的前nan0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项与.例2.设Sn为等差数列an的前n项与，S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项与为Tn.例3.数列an的前n项与Sn=an+2nN*，数列bn满足
15、bn=2nan1求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；2设cn=，数列的前n项与为Tn，求满足TnnN*的n的最大值例4.数列an的前 n 项与为 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，nN1求数列an的通项公式；2令 c=log3a2n，bn=，记数列bn的前 n 项与为Tn，假设对任意 nN，Tn 恒成立，求实数 的取值范围（3） 错位相减法： 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项与时，可采用错位相减法求与，一般是与式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解。在写出“Sn及“qSn的表达式时应特别注意将两式“错项对齐以便下一步准确写出“Sn
16、qSn的表达式.例1.等差数列an的前n项与Sn满足S36，S515(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项与Tn例2.数列an的前n项与为Sn，nN+1求数列an的通项公式；2假设数列bn满足anbn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+bn，求证：nN+例3.(2021山东)数列an的前n项与Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项与Tn（4） 倒序相加法： 如果一个数列，及首末项等距的两项之与等于首末两项之与，可采用把正着写与及倒着写与的两个与式相加，就得到一个常数列的与，这一求与方法称为倒序相加法例1.，求的值；例2.函数，当时，恒有1求的值；2数列满足，求；3假设，求例3.函数，是函数图象上的任意两点，且线段的中点的横坐标为1求证：点的纵坐标为定值；2数列中，假设，求数列的前项的与第 18 页