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1、等差等比数列综合问题等差数列与等比数列综合问题（3） 等差数列与等比数列综合问题（3） 教学目标 1.娴熟运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算实力 3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解. 教学重点与难点 1.用方程的观点相识等差、等比数列的基础学问，从本质上驾驭公式 2.等差数列与等比数列的综合应用. 例1已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少公共项. 例2已知数列an的前n项和，求数列|an|的前n项和Tn.
2、例3已知公差不为零的等差数列an和等比数例bn中，a1b11，a2b2，a8b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有anlogabn+b成立若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由 例4已知数列an是公差不为零的等差数列，数列akn是公比为q的等比数列，且k11，k25，k317，求k1+k2+k3+kn的值 例5、已知函数f(x)=2x-2-x,数列an满意f()=-2n(1)求an的通项公式。(2)证明an是递减数列。例6、在数列an中,an0，=an+1(nN)求Sn和an的表达式。例7.已知数列an的通项公式为an=. 求证：对于随意的正整数n，均有a2n1,a2
3、n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。 例8项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。 作业 1公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（） （A）1（B）2（C）3（D）4 2若等差数列an的首项为a11，等比数列bn，把这两个数列对应项相加所得的新数列an+bn的前三项为3，12，33，则an的公差为bn的公比之和为（） （A）5（B）7（C）9（D）14 3已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是 4在等差数列an中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a
4、25114，求成等比数列的这三个数 5设数列an是首项为1的等差数列，数列bn是首项为1的等比数列，又Cnanbn（nN+），已知试求数列Cn的通项公式与前n项和公式 等差数列与等比数列 等差数列与等比数列 【复习目标】驾驭等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要留意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培育分析问题与解决问题的实力。【课前热身】1假如，为各项都大于零的等差数列，公差，则()ABC+D=2已知9,a1,a2,1这四个数成等差数列,9,b1,b2,b3,1这5个数成等比数列,则等于（）A-8B8C8或-8D3设Sn
5、是等差数列的前n项和，若（）（福建文）A1B1C2D4已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=（）（浙江文理）A4B6C8D105.(2022年杭州二模题)已知成等差数列,成等比数列,则椭圆的准线方程为_.【例题探究】1、已知数列为等差数列，且(05湖南)（）求数列的通项公式；（）证明 2、设数列记（）求a2，a3；（）推断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的运用期都是10年，到期一次性归还
6、本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）【方法点拨】1本题的关键在于指数式和对数式的互化在数列中的应用。2数列通项公式和递推公式常常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应驾驭.3例3是比较简洁的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟识的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.冲刺强化训练（12）1已知等差数列满意则有()A.B.C.D.2在正数等比数列中已知则（）A11B10C8D43设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）ABCD4在各项都为正数的等比数列中首项，前三项和为21，则()A3
7、3B72C84D1895设数列的前项和为（）.关于数列有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列；（3）若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是. 6、在等差数列中，等比数列中，则 7设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为（湖南理） 8已知，都是各项为正数的数列，对随意的正整n,都有成等差数列，等比数列。（1）求证：是等差数列；（2）假如，。 9设C1,C2,Cn是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为。已知，。若Ck(k=1,2
8、,3,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。（1）求证：是等差数列（2）求的表达式；（3）求证：参考答案【课前热身】1B2，A3，A4，B5、y=22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要留意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=a2c=22.【例题探究】1,（I）解：设等差数列的公差为d.由即d=1.所以即（II）证明因为，所以2,解：（I）（II）因为,所以所以猜想：是公比为的等比数列.证明如下：因为所以是首项为,公比为的等比数列.3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利：（万元）银行贷款本息：（万元）故甲方案纯利：（万元）乙方案获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方
9、案纯利：（万元）；综上，甲方案更好. 冲刺强化训练(12)1C2A3B4C5（1）、（2）、（3）6解：点评：此题也可以把和d看成两个未知数，通过列方程，联立解之d=。再求出但计算较繁，运用计算较为便利。78解：（1）证明：成等差数列，。成等比数列，即，成等差数列。（2）解：而，）9解：（1）由题意知：，：，,两边平方，整理得是以为首项，公差为2的等差数列（2）由（1）知，（3）， 等比数列学案 第3课时等比数列的前n项和知能目标解读1.驾驭等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特别数列的前n项和.2.驾驭等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列
10、前n项的问题.在应用时，特殊要留意q=1和q1这两种状况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：驾驭等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：探讨等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的敏捷运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列an，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为na1(q=1)Sn=.(q1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，运用等比数列的前n项和公式，必需要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，假如q可能等于1，则需
11、分q=1和q1进行探讨.（2）等比数列an中，当已知a1,q(q1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q1)，an时，用公式Sn=.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：=q.当q1时，=q,即=q.故Sn=.当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q1时，Sn=.当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n2)当n2时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q
12、(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q1时，有Sn=,当q=1时，Sn=na1.留意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领悟这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组学问可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，留意分q=1和q1的探讨
13、.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，特别数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a10，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时，S
14、n=;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q0,q1，则数列an为.（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.答案1.（1）na1(2)错位相减法2.（1）等比数列（2）三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用例1设数列an是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.分析应用等比数列前n项和公式时，留意对公比q的探讨.解析当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q1时，=3a1q2,因为a10,所以1q3=3q2(
15、1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,解得q=-.综上所述，公比q的值是1或.说明（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必需留意q是否等于1，假如不确定，应分q=1或q1两种状况探讨.（3）等比数列前n项和公式中，当q1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.变式应用1在等比数列an中,已知S3=,S6=,求an.解析S6=,S3=,S62S3，q1.=得1+q3=9,q=2.将q=2代入，得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项
16、的性质例2在等比数列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比数列前n项的性质求解.解析an为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.说明等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列an中，S2=7，S6=91,求S4.解析解法一：an为等比数列，S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，（S4-7）2=7（91-S4），解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28
17、.解法二：S2=7,S6=91,q1.=7?=91得q4+q2-12=0,q2=3,q=.当q=时，a1=,S4=28.当q=-时，a1=-,S4=28.探究延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用例3某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种须要，从其次年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，其次年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可
18、运用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,其次年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)依题意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x=.设1.2520=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.变式应用3某高校张
19、教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初起先归还，问每年应还多少元？解析第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（110）x=200001.1x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,第10次还款x元后，还欠银行200001.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得200001.110（1.191.181）x=0,解得x=3255(元).
20、名师辨误做答例4求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n项和.误会所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+a=.辨析所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行探讨.正解由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,中依次取出1项，2项，3项，4项，的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+n）项.所以Sn=1+a+a2+a.当a=0时，Sn=1.当a=1时，Sn=.当a0且a1时，Sn=.课堂巩固训练一、选择题1.等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）A.2B.4C.D.?答案C解析由题意得=.故选C.
21、2.等比数列an的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）?A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?答案C解析由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?q2+q-2=0,q=1或q=-2.3.等比数列2n的前n项和Sn=（）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?答案D?解析等比数列2n的首项为2，公比为2.?Sn=2n+1-2,故选D.二、填空题4.若数列an满意：a1=1,an+1=2an（nN+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）答案16255?解析考查等比数列的通项公式和前n项和公式.?q=2,a5=a1q4=16,S8=28-1=255.5.在
22、等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.答案3?解析a3=2S2+1,a4=2S3+1,?两式相减，得a3-a4=-2a3,?a4=3a3,q=3.三、解答题6.在等比数列an中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求数列an的前8项和.解析解法一：设数列an的公比为q，依据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,?a3a5=(a1q3)2=64,?a1q3=8.将a1q3=-8代入式，得q2=-2,没有实数q满意此式，故舍去.?将a1q3=8代入式，得q2=4,q=2.?当q=2时，得a1=1,所以S8=2
23、55;?当q=-2时，得a1=-1，所以S8=85.解法二：因为an是等比数列，所以依题意得?a24=a3a5=64,?a4=8,a6=24+a4=248.?因为an是实数列，所以0,?故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=16.?公比q的值为q=2,?当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,?S8=255;?当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,S8=85.课后强化作业一、选择题1.等比数列an中，a2=9,a5=243,则an的前4项和为（）A.81B.120C.168D.192答案B解析公式q3=27,q=3,a1=3,?S4=120.2.已知等比数列的
24、前n项和Sn=4n+a，则a=（）A.-4B.-1C.0D.1答案B解析设等比数列为an，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48,a22=a1a3,?即144=(4+a)48，a=-1.3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）?A.31B.33C.35D.37答案B解析解法一：S5=1a1=S10=33,故选B.?解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1?a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=12532S10a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比数列an中，公比q是整数，a1+a4=1
25、8,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）A.514B.513C.512D.510答案Da1+a1q3=18解析由已知得，a1q+a1q2=12解得q=2或.q为整数，q=2.a1=2.S8=29-2=510.5.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）A.B.C.D.答案B解析设公比为q,则q0,且a23=1,即a3=1.S3=7,a1+a2+a3=+1=7,即6q2-q-1=0,?q=或q=-(舍去)，?a1=4.?S5=8（1-）=.6.在等比数列an（nN+）中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（）A.2B.2C.2D.2答
26、案B解析a1=1,a4=,q3=,q=.?S10=21-（）10=2-,故选B.7.已知等比数列an的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）A.2B.-2C.D.-答案A?S3=3,解析S6=27,得=9,解得q3=8.?q=2,故选A.8.正项等比数列an满意a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列bn的前10项和是（）A.65B.-65C.25D.-25答案D解析an为正项等比数列，a2a4=1,a3=1,又S3=13,公比q1.又S3=13,a3=a1q2,?解得q=.?an=a3qn-3=()n-3=33-n,?bn=log3an=3-n.b1=
27、2,b10=-7.S10=25.二、填空题9.等比数列，-1，3，的前10项和为.答案-解析S10=-.10.（2022北京文，12）在等比数列an中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=.答案2,2n-1-解析本题主要考查等比数列的基本学问，利用等比数列的前n项和公式可解得.?=q3=8，所以q=2，所以a1+a2+an=2n-1-.2n-1(n为正奇数)?11.已知数列an中，an=，则a9=.2n-1（n为正偶数）设数列an的前n项和为Sn，则S9=.答案256377解析a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列an
28、中，已知对于随意nN+,有a1+a2+an=2n-1,则a21+a22+a2n=.?答案4n-解析a1+a2+an=2n-1,?a1+a2+an-1=2n-1-1(n2),两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?a21+a22+a2n=4n-.三、解答题13.在等比数列an中，已知a3=1，S3=4，求a1与q.S3=4解析（1）若q1,则，a3=a1q2=1从而解得q=1或q=-.q=-q1,.a1=6S3=3a1=4q=1（2）若q=1,则，.a3=a1=1a1=1q=-q=1综上所述得，或.a1=6a1=114
29、.(2022大纲文科，17)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.分析设出公比依据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.?解析设an的公比为q，由已知有：a1q=6a1=3a1=2.解得或6a1+a1q2=30q=2q=3(1)当a1=3,q=2时，an=a1qn-1=32n-1Sn=3(2n-1)(2)当a1=2,q=3时，an=a1qn-1=23n-1Sn=3n-1.?综上，an=32n-1,Sn=3(2n-1)或an=23n-1,Sn=3n-1.15.已知实数列an是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,
30、a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和记为Sn,证明：Sn128(n=1,2,3,).解析(1)设等比数列an的公比为q(qR且q1),由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,?a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1)即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?所以q=.?故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?(2)证明：Sn=1281-（）n128.16.2022年暑期人才聘请会上，A、B两家公司分别开出
31、了工资标准：A公司B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元第一年月工资为000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5.高校生王明被A、B两家公司同时录用，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思索，他选择了A公司，你知道为什么吗？.解析A公司B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元第一年月工资为000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5. 王明的选择过程第n年月工资为an第n年月工资为bn首项为1500，公差为230的等差数列首项为2000，公比为15的等比数列an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
32、S10=12(a1+a2+a10)=12101500+230=304200T10=12(b1+b2+b10)=12301869 结论明显S10T10,故王明选择了A公司 等比数列等比数列教学目标1.理解等比数列的概念,把握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简洁的问题.(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能依据定义判定一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;(2)正确熟识运用等比数列的表示法,能敏捷运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式熟识等比数列的性质,能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的探讨,逐步培育学生视察、
33、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培育学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学看法.教学建议教材分析(1)学问结构等比数列是另一个简洁常见的数列,探讨内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而探讨图像,又给出等比中项的概念,最终是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的熟识与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.与等差数列一样,等比数列也是非凡的数列,二者有很多相同的性质,但也有明显的区分,可依据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生
34、来说仍旧不熟识;在推导过程中,须要学生有肯定的视察分析猜想实力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.对等差数列、等比数列的综合探讨离不开通项公式,因而通项公式的敏捷运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入,可给出几个详细的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.(3)依据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加
35、深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点熟识通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的探讨阅历,等比数列的探讨完全可以放手让学生自己解决,老师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.教学设计示例课题:等比数列的概念教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并把握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培育学生的视察、概括实力.3.培育学生勤于思索,实事求是的精神,及严谨的科学看法.教学重点,难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式
36、的推导.教学用具投影仪,多媒体软件,电脑.教学方法探讨、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)-2,1,4,7,10,13,16,19,8,16,32,64,128,256,1,1,1,1,1,1,1,243,81,27,9,3,1,31,29,27,25,23,21,19,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-10,100,-1000,10000,-100000,0,0,0,0,0,0,0,由学生发表看法(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摇摆数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中为有共同性质的一类数列(
37、学生看不出的状况也无妨,得出定义后再考察是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列的共同特性,老师指出实际生活中也有很多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设起先有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,始终进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要探讨的另一类数列等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)等比数列(板书)1.等比数列的定义(板书)依据等比数列与等差数列的名字的区分与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够
38、完备,多数状况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.老师写出等比数列的定义,标注出重点词语.请学生指出等比数列各自的公比,并思索有多数列既是等差数列又是等比数列.学生通过视察可以发觉是这样的数列,老师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满意既是等差又是等比数列,让学生探讨后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.老师追问理由,引出对等比数列的熟识:2.对定义的熟识(板书)(1)等比数列的首项不为0;(2)等比数列的每一项都不为0,即;问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什
39、么条件?(3)公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生探讨行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?为什么不能?式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列须要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求随意一项的值?所以要探讨通项公式.3.等比数列的通项公式(板书)问题:用和表示第项.不完全归纳法.叠乘法,这个式子相乘得,所以.(板书)(1)等比数列的通项公式得出通项公式后,让学生思索如何熟识通项公式.(板书)(2)对公式的熟识由学生来说,最终归结:函数观点;方程思想(因在等差数列中已
40、有熟识,此处再复习巩固而已).这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简洁的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注意规范表述的练习)假如增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再探讨.同学可以试着编几道题.三、小结1.本节课探讨了等比数列的概念,得到了通项公式;2.注意在探讨内容与方法上要与等差数列相类比;3.用方程的思想熟识通项公式,并加以应用.四、作业(略)五、板书设计三.等比数列1.等比数列的定义2.对定义的熟识3.等比数列的通项公式(1)公式(2)对公式的熟识探究活动将一张很大的薄纸对折,对折30次后(
41、假如可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.参考答案:30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰珠穆朗玛峰的高度.假如纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最终一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页