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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案211 椭圆及其标准方程（选修 1-1 ）教学目的：1懂得椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念 2娴熟把握椭圆的标准方程,会依据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭 圆的标准方程 3能由椭圆定义推导椭圆的方程 4启示同学能够发觉问题和提出问题,善于独立摸索,学会分析问题和创 造地解决问题；培育同学抽象概括才能和规律思维才能教学重点： 椭圆的定义和标准方程 教学难点： 椭圆标准方程的推导授课类型： 新授课课时支配： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“ 把握” 的层次,即在对有关概
2、念有理性的熟悉, 能用自己的语言进行表达和说明,系的基础上,通过训练形成技能,并能作简洁的应用明白它们与其他学问联依据数学学科的特点、同学身心进展的合理需要和社会的政治经济、科学技 术的需求,本节课从学问、才能和情感三个层面确定了相应的教学目标 椭圆的定义是一种发生性定义, 是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为 椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石,理应作为本堂课的教学重点 同时,椭圆的标准方程作为今后争论椭圆性质的根本依据,教学重点自然成为本节课的另一同学对“ 曲线与方程” 的内在联系 数形结合思想的详细表现 仅在“ 圆的方程” 一节中有过一次感性熟悉但由于同学比较明白圆的性质,从“ 曲
3、线与方程” 的内在联系角度来看,同学并未真正有所感受 所以,椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线是平面解析几何争论的主要对象圆锥曲线的有关学问不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用,而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开头和重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案方程争论几何性质的一般方法,可见本节内容所处的重要位置 通过本节学习, 同学一方面熟悉到一般椭圆与圆的区分与联系,另一方面也 为利用方程争论椭圆的几何性质以及
4、为同学类比椭圆的争论过程和方法,学习双 曲线、抛物线奠定了基础 依据本节教材的重点、难点,课时拟作如下支配：第一课时,椭圆的定义及 标准方程的推导； 其次课时,椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时,以椭圆为载体的动点轨迹方程的探太阳彗星求教学过程 ：一、复习引入：11997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从 1997 年 2 月中旬起 , 海尔 波普彗星将逐步接近地球,过4 月以后 , 又将渐渐离去 , 并猜测3000 年后 , 它仍将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间 , 很多人目睹了这一天文 现象 天文学家是如何运算出彗星显现的精确时间
5、呢？原先,海尔 波普彗星运 行的轨道是一个椭圆, 通过观看它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行 轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用,指出争论椭圆的重 要性和必要性,从而导入本节课的主题）2. 复习求轨迹方程的基本步骤：3手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F 1, F2两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉近,使笔尖在图板上渐渐移动,就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中,什么是不变的？答：两个定点,绳长 即不论运动到何处,绳长不变（即轨迹上与两个定点距
6、离之和不变）二、讲解新课：1 椭圆定义：平面内与两个定点F 1,F2的距离之和等于常数（大于|F 1F2|）的点的轨迹叫P名师归纳总结 F1F2第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距留意: 椭圆定义中简洁遗漏的两处地方：（1）两个定点 - 两点间距离确定（2）绳长 - 轨迹上任意点到两定点距离和确定摸索：在同样的绳长下,两定点间距离较长,就所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下,两定点间距离较短,就所画出的椭圆较圆（圆）由此,椭圆的外形与两定点间距离、绳长
7、有关 2. 依据定义推导椭圆标准方程： 为下面离心率概念作铺垫 取过焦点 F 1,F 2 的直线为 x 轴,线段 F 1F 2 的垂直平分线为 y 轴设 P x , y 为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 2 （c 0）. 就 F 1 c 0, , F 2 c , 0 ,又设 M与 F 1,F 2 距离之和等于 2 2 a 2 c （常数）P P PF 1 PF 2 2 a2 2 y又 PF 1 x c y,PF1 O F2 x2 2 2 2 x c y x c y 2 a,化简,得 a 2c 2 x 2a 2y 2a 2 a 2c 2 ,由定义 2 a 2 c , a 2c 2 0令 a 2c
8、 2b 2 代入,得 b 2x 2a 2y 2a 2b 2,2 2两边同除 a 2b 2得 x2 y2 1a b此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上,焦点是F 1c0,F2c0,中心在坐标原点的椭圆方程其中a2c2b2留意如坐标系的选取不同,可得到椭圆的不同的方程如 果 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 （ 选 取 方 式 不 同 , 调 换x,y轴 ） 焦 点 就 变 成xF 10,c ,F20,c, 只要将方程x2y21中的x,y调换,ya2b2PF2即可得OF1名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - -
9、y2x21名师精编优秀教案,也是椭圆的标准方程a2b2懂得：所谓椭圆标准方程, 肯定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为2 2 2 2坐标原点；在 x2 y2 1 与 y2 x2 1 这两个标准方程中,都有 a b 0 的要求,a b a b2 2如方程 x y 1 m 0 , n 0 , m n 就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形m n2 2式的标准方程,可与直线截距式a xb y 1 类比,如a x2b y2 1 中,由于 a b,所以在 x 轴上的“ 截距” 更大,因而焦点在 x 轴上 即看 x 2, y 2 分母的大小 三、讲解范例：例 1 写出适合以下条件的椭圆的标准方程：两个焦
10、点坐标分别是 -4,0 之和等于 10；、（4,0）,椭圆上一点 P到两焦点的距离两个焦点坐标分别是（ 0, 2）和（ 0,2 ）且过（3 , 25 ）2解：（1）由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为x2y21ab0 1a2b22 a10 ,2 c89y2a5 ,c4b2a22 c522 4x2所以所求椭圆标准方程为259 由于椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为y2x21ab0 a2b2由椭圆的定义知,名师归纳总结 2a32152232522第 4 页,共 7 页222223 21010102a10又c2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
11、- b2a2c210名师精编优秀教案46所以所求标准方程为2y2ax241,后将点（3 , 25 ）的坐标代入可求出 2a ,106另法：b2a2c2a241x2可设所求方程y a22从而求出椭圆方程点评：题（）依据定义求如将焦点改为 0,-4、（0,4）其结果如何；题（）由同学的摸索与练习, 总结有两种求法： 其一由定义求出长轴与短轴长,依据条件写出方程； 其二是由已知焦距, 求出长轴与短轴的关系, 设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的方法得出方程 四、课堂练习 ：名师归纳总结 1 椭圆x2y21上一点 P到一个焦点的距离为5,就 P 到另一个焦点的距离为第 5 页,共 7 页25
12、9（）A.5 B.6 C.4 D.10 2. 椭圆x2y21的焦点坐标是（）25169A. 5,0 B.0, 5 C.0 , 12 D. 12,0 3. 已知椭圆的方程为x2y21,焦点在 x 轴上,就其焦距为（）8m2A.28m2 B.222mC.2m28 D.2m224.a,6 c1, 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是5. 方程x2siny241表示椭圆,就的取值范畴是（）32.83.k8k3k）88.83. 2k82k3k）88- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案参考答案：1.A2.C3.A4.y2x215. , 应留意以下几点
13、 : 3635五、小结：本节课学习了椭圆的定义及标准方程椭圆的定义中 , 2a2 c0；椭圆的标准方程中 , 焦点的位置看 x , y 的分母大小来确定； a 、 b 、 c 的几何意义六、课后作业 ：1判定以下方程是否表上椭圆,如是,求出 a , b , c 的值2 2 2 2 2 2 x y 1； x y 1； x y 1； 4 y 2 9 x 2 362 2 4 2 4 2答案：表示园；是椭圆 a 2 , b 2 , c 2；2 2不是椭圆（是双曲线） ； 4 y 29 x 236 可以表示为 x2 y2 1,是椭圆,2 3a 3 , b 2 , c 52 22 椭圆 x y1 的焦距是
14、,焦点坐标为；如 CD 为过左焦16 9点 F 的弦,就 F2 CD 的周长为答案：2 c 2 7 ; F 1 7 , 0 , F 2 7 , 0 ; 4 a 162 23方程 4 x ky 1 的曲线是焦点在 y 上的椭圆,求 k 的取值范畴答案：0 k 42 2 2 24 化简方程：x y 3 x y 3 102 2答案：x y 116 252 25 椭圆 x y1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,就点 P 到另一个焦点 F2100 36的距离是答案： 4名师归纳总结 6 动点 P 到两定点F1-4,0,F24,0的距离的和是 8,就动点 P 的轨迹为_ 第 6 页,共 7 页答
15、案：是线段F 1F2,即y0 4x4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案七、板书设计 （略）八、课后记：写出适合以下条件的椭圆的标准方程: 口答 x2y21；1 a=4,b=3, 焦点在 x轴； 2a=5,c=2,焦点在 y轴上 . （答案：169y2x21）25212 已知三角形ABC 的一边长为6,周长为 16,求顶点 A的轨迹方程解：以 BC边为 x轴, BC线段的中垂线为 y轴建立直角坐标系,就 A点的轨迹是椭圆,其方程为：x2y212516如以 BC边为 y轴,BC线段的中垂线为 x轴建立直角坐标系,就 A点的轨迹是椭圆,名师归纳总结 其方程为：x2y21第 7 页,共 7 页1625- - - - - - -