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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题,它联系实际生动好玩,但题型多样,思路敏捷,不易把握,实践证明,把握题型和解题方法,识别模式,娴熟运用,是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 . 1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 . 例 1.A B C D E 五人并排站成一排,假如A B 必需相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的排法种数有A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种4 人的全排列,解析：把A B 视为一人,且 B 固定在 A的右边,就此题相
2、当于4 A 424种,答案： D . 2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 . 例 2. 七人并排站成一行,假如甲乙两个必需不相邻,那么不同的排法种数是A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种解析：除甲乙外,其余 5 个排列数为 A 种,再用甲乙去插 5 56 个空位有 A 种,不 6 2同的排法种数是 A A 5 56 23600 种,选 B . 3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必需保持肯定的次序,可用缩小倍数的方法 . 例 3. A B C
3、 D E 五人并排站成一排,假如 B 必需站在 A 的右边（A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同, 所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半,即 1A 5 560 种,选 B . 24. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,其次步再排另一个元素,如此连续下去,依次即可完成 . 例 4. 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,就每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种 B、9 种 C、11
4、 种 D、23 种解析：先把 1 填入方格中, 符合条件的有 3 种方法, 其次步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格, 又有三种方法； 第三步填余下的两个数字, 只有一种填法,共有 3 3 1=9 种填法,选 B . 5. 有序安排问题逐分法 : 有序安排问题指把元素分成如干组,可用逐步下量分组法. 例 5. （1）有甲乙丙三项任务,甲需2 人承担,乙丙各需一人承担,从10 人中选出 4 人承担这三项任务,不同的选法种数是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、
5、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务, 第三 步从 另外 的 7 人 中选2 1 1C C C 72520种,选 C . 1 人 承 担丙项 任务 ,不 同的 选法共有（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,如每个路口 4 人,就不同的安排方案有A、4 4 4C C C 种 B、4 4 43C C C 种 C、4 4 3C C A 种 D、C C C 4 44 4种3 A 3答案： A . 6. 全员安排问题分组法 : 例 6. （1）4 名优秀同学全部保送到 的保送方案有多少种？3 所学校去,每所学校至少去一名,
6、就不同解析：把四名同学分成 3 组有 C 种方法,再把三组同学安排到三所学校有 4 2 A 种,3 3故共有 C A 23 336 种方法 . 说明：安排的元素多于对象且每一对象都有元素安排经常用先分组再安排 . （2）5 本不同的书,全部分给 为4 个同学,每个同学至少一本,不同的分法种数A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种答案： B . 7. 名额安排问题隔板法 : 例 7.10 个三好同学名额分到 安排方案？7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同解析： 10 个名额分到 7 个班级,就是把10 个名额看成 10 个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在1
7、0 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种安排方案,故共有不同的安排方案为6 C 984种. 8. 限制条件的安排问题分类法: 例 8. 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参与中国西部经济开发建设, 其中甲同学不到银川, 乙不到西宁, 共有多少种不同派遣方案？解析：由于甲乙有限制条件,所以依据是否含有甲乙来分类,有以下四种情形：如甲乙都不参与, 就有派遣方案4 A 种；如甲参与而乙不参与, 先支配甲有 3 8名师归纳总结 种方法,然后支配其余同学有3 A 方法,所以共有3 3A ；如乙参与而甲不参与同第 2 页,共 7 页理也有3 3A 种；如甲
8、乙都参与,就先支配甲乙,有7 种方法,然后再支配其余8 人到另外两个城市有2 A 种,共有2 7A 方法 . 所以共有不同的派遣方法总数为4 A 833 A 833 A 872 A 84088 种. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 多元问题分类法： 元素多,取出的情形也多种, 可按结果要求分成不相容的几类情形分别计数,最终总计 . 例 9. （1）由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种5 1 1 3A 、A A A 、解析：按题意,个
9、位数字只可能是0、1、2、3 和 4 共 5 种情形,分别有1 1 3A A A 、A A A 和 1 1 3A A 个,合并总计 300 个, 选 B . （2）从 1,2,3 ,100 这 100 个数中,任取两个数, 使它们的乘积能被 7 整除,这两个数的取法（不计次序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时, 他们的乘积就能被 7 整除,将这 100 个 数 组 成 的 集 合 视 为 全 集 I, 能 被 7 整 除 的 数 的 集 合 记 做A 7,14,21, 98 共 有 14 个 元 素 , 不 能 被 7 整 除 的 数 组 成 的 集 合 记 做e I
10、A 1, 2, 3, 4, , 100 共有 86 个元素；由此可知,从 A 中任取 2 个元素的取法有C ,从 A 中任取一个,又从 14 e IA 中任取一个共有 C C ,两种情形共符合要求的 14 186 1取法有 C 14 2C C 14 186 11295 种. （3）从 1,2,3, ,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法（不计次序）有多少种？解 析 ： 将 I 1, 2, 3 , 100 分 成 四 个 不 相 交 的 子 集 , 能 被 4 整 除 的 数 集A 4, 8, 12, 100；能被 4 除余 1 的数集 B 1,5,9, 97,能被
11、4 除余 2 的数集 C 2,6, ,98,能被 4 除余 3 的数集 D 3,7,11, 99,易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从 A 中任取两个数符合要；从B D 中各取一个数也符合要求；从 C 中任取两个数也符合要求； 此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 C 25 2C C125 125 C 25 2种. 10. 交叉问题集合法： 某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n ABn An B n AB . 例 10. 从 6 名运动员中选出 4 人参与 4 100 米接力赛,假如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 =
12、6 人中任取 4 人参赛的排列,A=甲跑第一棒的排列 ,B=乙跑第四棒的排列,依据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：名师归纳总结 n I n An Bn AB4 A 63 A 53 A 52 A 4252种. 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 定位问题优先法： 某个或几个元素要排在指定位置,再排其它的元素；可先排这个或几个元素；例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,如老师不站两端就有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有 A 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 13 A 种 4 4方法
13、；所以共有 A A 14 472 种. 12. 多排问题单排法 : 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理 . 例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排,每排3 个元素,那么不同的排法种数是、120 种 C、720 种 D、1440 种A、36 种 B解析：前后两排可看成一排的两段,因此此题可看成共6 A 6720种,选 C . 6 个不同的元素排成一排,（2）8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在后排,有多少种不同排法？解析：看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A 种,某 1 个 2元素排在后半段
14、的四个位置中选一个有 A 种,其余 5 个元素任排 5个位置上有 1A 5 5种,故共有 A A A 1 25 55760 种排法 . 13.“ 至少” “ 至多”问题用间接排除法或分类法 : 抽取两类混合元素不能分步抽 .例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 各一台,就不同的取法共有3 台,其中至少要甲型和乙型电视机A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种解析 1：逆向摸索,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有 C 9 3C 4 3C 5 370 种, 选. C解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情形：甲型
15、 1 台乙型 2 台；2 1 1 2甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 C C 4 C C 4 70 台, 选 C . 14. 选排问题先取后排 : 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再支配到肯定的位置上,可用先取后排法 . 例 14. （1）四个不同球放入编号为 放法有多少种？1,2,3,4 的四个盒中,就恰有一个空盒的解析：“ 先取” 四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C 种,“ 再排”2在四个盒中每次排 3 个有 A 种,故共有 3C A 24 3144 种. （2）9 名乒乓球运动员,其中男 多少种不同的分组方法？5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有名师归纳
16、总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：先取男女运动员各2 名,有2 2C C 种,这四名运动员混和双打练习有2 A 中排法,故共有2 2 2C C A 2120种. 15. 部分合条件问题排除法 : 在选取的总数中, 只有一部分合条件, 可以从总数中减去不符合条件数,即为所求 . 例 15. （1）以正方体的顶点为顶点的四周体共有A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成4 C 四周体,但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四周体,所以四周体实
17、际共有C 8 41258个. （2）四周体的顶点和各棱中点共 共有10 点,在其中取 4 个不共面的点, 不同的取法A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种解析： 10 个点中任取 4 个点共有4 C 种,其中四点共面的有三种情形：在四周体的四个面上,每面内四点共面的情形为 C ,四个面共有 44C 个；过空间四 4边形各边中点的平行四边形共 3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情形的种数是 C 10 44 C 6 43 6 141 种. 16. 圆排问题线排法 : 把 n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,次序（例如按顺时钟） 不同
18、的排法才算不同的排列, 而次序相同 （即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的, 它与一般排列的区分在于只计次序而首位、末位之分,以下 n 个一般排列：a a 2 , a 3 , a a a a 4 , , a n , ; a n , a 1 , , a n 1 在圆排列中只算一种, 由于旋转后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有 n . 种. 因此可将某个元素固定展成n线排,其它的 n 1 元素全排列 . 例 16.5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法？4解析：第一可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A 种,然后在让插入其间,每5位均可插入其姐姐的左边和右边, 有
19、 2 种方式,故不同的支配方式 24 2 768 种不同站法 . 名师归纳总结 说明：从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1m A n种不同排法 . 第 5 页,共 7 页m17. 可重复的排列求幂法 : 答应重复排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束, 可逐一支配元素的位置, 一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有n m 种方法 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 17. 把 6 名实习生安排到 7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分 6 步,第一步；将第一名实习生安排到车间有7 种不同方
20、案,其次步：将其次名实习生安排到车间也有原理知共有6 7 种不同方案 . : 18. 复杂排列组合问题构造模型法7 种不同方案, 依次类推, 由分步计数例 18. 公路上有编号为 1,2,3 , 9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏, 也不能关掉两端的两盏, 求满意条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型, 在 6 盏亮灯的 5 个间隙中插入 3 盏不亮的灯3 C 种方法 , 所以满意条件的关灯方案有10 种. 排队说明：一些不易懂得的排列组合题,假如能转化为熟识的模型如填空模型,模型,装盒模型可使问题简洁解决. 19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑
21、枚举法: 例 19. 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有2 C 种,仍剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,利用枚举法分析,假如剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时, 3 号球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子时, 4,5 号球只有 1 种装法, 3号球装入 5 号盒子时, 4,5 号球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因此总共装法数为 2 C 5
22、220 种. 20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法 : 例 20. （1）30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质因数的形式： 30030=2 3 5 7 11 13；依题意偶因数 2 必取, 3,5,7,11,13 这 5 个因数中任取如干个组成成积,全部的偶因数为0 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 532个. （2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：由于四周体中仅有3 对异面直线, 可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成多少个不同的四周体,从正方体8 个顶点中任取四个顶点构成的四周体有4 C 81258个,所以 8 个顶
23、点可连成的异面直线有3 58=174对. 它可以21. 利用对应思想转化法 : 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,将复杂的问题转化为简洁问题处理. 例 21. （1）圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少 个？名师归纳总结 解析：由于圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四第 6 页,共 7 页边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形,明显有4 C 个,所以圆周上有 10 点,以这些点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为端点的弦相交于圆内的交点有 C 个. 4（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成, 其中实线表示公路, 从 A 到 B 的最短路径有多少种？B A 解析：可将图中矩形的一边叫一小段,从A 到 B 最短路线必需走 7 小段,其中：向东 4 段,向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走名师归纳总结 过 4 段的走法,便能确定路径,因此不同走法有4 C 种. 第 7 页,共 7 页- - - - - - -