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1、排列组合问题教学目标：1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：一.加法原理：做一件事情，完成 它有 N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不
2、同的方法，在第 N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+Mn种不同的方法。二.乘法原理：如果完成 某项任务，可分为k 个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，完成第步有种不同的方法，那么完成此项任务共有 种不同的方法。三.两个原理的区别做一件事，完成它若有n 类办法，是分类问题，每一类中的方法都是 独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)做一件事，需要分 n 个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的名师资
3、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个 排列；从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元
4、素的 排列数，用符号 Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!(规定 0!=1).2.组合及计算公式从 n 个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的一个 组合；从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的 组合数.用符号 Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=n!(n-m)!m!一般当遇到 m比较大时（常常是m0.5n时），可用 Cmn=Cn-mn来简化计算。规定：Cnn=1,C0n=1.3.n 的阶乘(n!)n 个不同元素的全排列Pnn=n!=n(n-1)(n-2)3
5、21 例题精讲：一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -【解析】（1）775040P（种）。（2）只需排其余6 个人站剩下的6个位置66720P（种）.（3）先确定
6、中间的位置站谁，冉排剩下的6 个位置 266P=1440(种)（4）先排两边，再排剩下的5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置552240P(种)（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5 个人中选 2 人，再排剩下的5 个人，25552400PP（种）.（6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7 个元素的全排列775040P（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2 即可 4355P2=2880(种)排队问题，
7、一般先考虑特殊情况再去全排列。【例2】用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是5 的三位数？【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n，2m，根据排列数公式，一共可以组成255420P(个)符合题意的三位数。【巩固】用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【解析】可以分两类来看：把 3 排在最高位上，其余4 个数可以任意放到其余4 个数位上，是4 个元素全排列的问题，有44432124P(种)放法，对应24 个不同的五位数；把 2，4，5 放在最高位上，有3 种选择，百位上有除已确定
8、的最高位数字和3 之外的 3 个数字可以选择，有 3 种选择，其余的3 个数字可以任意放到其余3 个数位上，有336P种选择由乘法原理，可以组成33 654(个)不同的五位数。由加法原理，可以组成245478(个)不同的五位数。【巩固】用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？【解析】从高位到低位逐层分类：千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从09中除千位已确定的数字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9 个元素中取 3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P(种)排列方式由
9、乘法原理，有45042016(个)千位上排5，百位上排0 4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字 中 选 择 也 就 是 从 8 个 元 素 中 取2个 的 排 列 问 题，即288756P，由 乘 法 原 理，有1556280(个)千位上排 5，百位上排 6，十位上排 0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1 1 6742(个)千位上排 5，百位上排 6，十位上排 8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共 5 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -综上所述，比5687小的四位数有201628
10、04252343(个)，故比5687小是第2344个四位数【例3】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3 的倍数？【解析】按位数来分类考虑：一位数只有1个3；两位数：由1与2，1与 5，2与4，4与 5 四组数字组成，每一组可以组成22212P(个)不同的两位数，共可组成248(个)不同的两位数；三位数：由1，2与 3；1，3 与 5；2，3与4；3，4与 5 四组数字组成，每一组可以组成333216P(个)不同的三位数，共可组成6424(个)不同的三位数；四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P(个)不同的四位数；五位数：可由1，2，3，4，
11、5 组成，共有5554321120P(个)不同的五位数由加法原理，一共有182424120177(个)能被 3整除的数，即3的倍数【巩固】用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6 中选一张，有 3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5 张中选二张，有255420P(种)选法由乘法原理，一共可以组成32060(个)不同的偶数【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0 数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】四个非0数码之和等于9 的组合有 1
12、，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3 六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4 312(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次【例5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子
13、旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？【解析】第一个位置在6 个人中任选一个，有166C(种)选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有133C(种)选法同理，第3，4，5，6 个位置依次有2，2，1，1种选法由乘法原理，不同的坐法有11111163221163221 172PPPPPP(种)。【例6】一种电子表在6时 24 分 30 秒时的显示为6:24：30，那么从 8时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】设 A:BCDE是满足题意的时刻，有A 为 8，B、D 应从 0，1，2，3
14、，4，5 这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有26P种选法，而C、E 应从剩下的7 个数字中选择两个不同的数字，所以有27P种选法，所以共有26P27P=1260 种选法。从 8 时到 9 时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有1260 个。【例7】一个六位数能被11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11 整除的六位数?【解析】设这个六位数为abcdef，则有()ace、()bdf的差为 0 或 11 的倍数且a、b、c、d、e、f名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -均不为 0，任
15、何一个数作为首位都是一个六位数。先考虑 a、c、e偶数位内，b、d、f 奇数位内的组内交换，有33P33P=36 种顺序；再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有33P33P=36 种顺序。所以，用均不为0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出36+36=72 个能被 11 整除的数(包含原来的abcdef)。所以最少还能排出72-1=71 个能被 11 整除的六位数。【例8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，
16、5 人的名次排列共有多少种不同的情况？【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有3332 16P(种)排法由乘法原理，一共有33 654(种)不同的排法。【例9】4名男生，5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端；男、女生分别排在一起；男女相间【解析】先排甲，9 个位置除了中间和两端之外的6 个位置都可以
17、，有6 种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有888765432140320P(种)选择由乘法原理，共有640320241920(种)排法 甲、乙先排，有22212P(种)排法；剩下的7个人随意排，有7776543215040P(种)排法由乘法原理，共有2504010080(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有222 12P(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有44432 124P(种)和5554321120P(种)排法由乘法原理，共有224 1205760(种)排法 先排4名男生，有44432124P
18、(种)排法，再把5 名女生排到5 个空档中，有5554321120P(种)排法由乘法原理，一共有24 1202880(种)排法。【巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。【解析】五位同学的排列方式共有543 2 1=120（种）。如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4321=24（种）。因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有242=48(种)；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）。【例10】一 台晚会上有 6 个演唱节目和4个舞蹈节目求：当4个舞蹈节目要排
19、在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】先将4个舞蹈节目看成1个节目，与 6 个演唱节目一起排，则是7 个元素全排列的问题，有777!76543215 04 0P(种)方法第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节目全排列的问题，有444!432124P(种)方法根据乘法原理，一共有5040 24120960(种)方法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -首先将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，是 6 个元素全排列的问题，一共有666!65432 1720P(种)方
20、法第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从7个“”中选4个来排，一共有477654840P(种)方法根据乘法原理，一共有720 840604800(种)方法。【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【解析】先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有44432124P种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有23326P(种)排法；再在独唱节目之间的3个位置中排
21、一个合唱节目，有3种排法由乘法原理，一共有24 63432(种)不同的编排方法【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘，得出最后的答案。【例11】从 1，2，8 中任取 3 个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从 8 位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3 位同学坐8 个座位，每个座位坐1 人，共有几种坐法？8 个人坐 3 个座位，每个座位坐1 人，共有多少种坐法？一火车站有8 股车道，停放3 列火车，
22、有多少种不同的停放方法？8 种不同的菜籽，任选3 种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8 个数字（8 个元素）取出3 个往上排，有38P 种3 种职务 3 个位置，从8 位候选人（8 个元素）任取3 位往上排，有38P 种3 位同学看成是三个位置，任取8 个座位号（8 个元素）中的3 个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有38P 种3 个坐位排号1，2，3 三个位置，从8 人中任取 3 个往上排（人找座位），有38P 种3 列火车编为1，2，3 号，从 8 股车道中任取3 股往上排，共有38P 种土地编1，2，3 号，从
23、8种菜籽中任选3 种往上排，有38P 种。【巩固】现有男同学3 人，女同学4 人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2 人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?【解析】（1）从 3 个男同学中选出2 人，有223=3 种选法。从4 个女同学中选出2 人，有234=6 种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有432 1=24 种选法。3624=432，所以共有432 种选法。（
24、2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2321=12 种选法。3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216 种。（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3 个男同学中选出2 人，从 3 个女同名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -学中选出1人，3 个人参加 3 个小组时的选法。333 2 1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54 种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378 种。（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3 个男同学中
25、选出2人参加两个不同的小组，从3 个女同学中选出1 人参加美术小组时的选法。323=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18 种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198 种。【例12】某 校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48 名选手分成8 个小组，每组6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8 个小组产生的前2 名共 16 人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4 个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次问：整个赛程一共需要进行多少
26、场比赛？【解析】第一阶段中，每个小组内部的6 个人每2人要赛一场，组内赛2665152 1C场，共 8 个小组，有158120场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛2443621C场，共4个小组，有6424场；第三阶段赛224场根据加法原理，整个赛程一共有120244148场比赛。【例13】由 数字 1，2，3 组成五位数，要求这五位数中1，2，3 至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。(2007 年“迎春杯”高年级组决赛)【解析】这是一道组合计数问题由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面
27、想，从由1,2,3 组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可(法 1)分两类：1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有135460C(个)；1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有2234590CC(个)符合题意的五位数共有6090150(个)(法 2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有53 个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有53(22)个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3 个，所以符合题意的五位数共有5533(22)3150(个)。【例14】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【解析】(法 1)乘法原理按题意，分别站
28、在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7 种选择，总共就有71070种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是(1011 1)10235(种)(法 2)排除法 可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为210C，而被选的两个人相邻的情况有10种，所以共有21010451035C(种)。【例15】8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】
29、冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：3212372423PPP3360CC（种）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：3222262322PPPP960C（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400（种）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -【例16】小 明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一
30、块.那么他一共有多少种不同的吃法?【解析】我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9 个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将 lO 块糖分成了两部分。我们记从左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第2 天吃的,，如:|表示第一天吃了3 粒,第二天吃了剩下的7 粒：|表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了3 粒,第三天吃了剩下的3 粒不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有 29=512 种不同的插入方法,即 512 种不同的吃法。【巩固】小红有 10 块糖，每天至少吃1 块，7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？
31、【解析】分三种情况来考虑：当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的任何一天，有7 种吃法；当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃 3块的那天，有7 种选择，再选吃2块的那天，有6 种选择，由乘法原理，有7642种吃法；当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从 7 天中选3 天，有377653532 1C(种)吃法。根据加法原理，小红一共有7423584(种)不同的吃法还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有639984CC(种)不同的吃法。【巩固】把 20 个苹果分给3 个小朋友，每人最少分
32、3 个，可以有多少种不同的分法？【解析】(法 1)先给每人 2 个，还有 14 个苹果，每人至少分一个，13 个空插 2 个板，有21378C种分法(法 2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。【巩固】有 10 粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【解析】如图：|，将 10 粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9 个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有98236种方法【例17】某 池塘中有ABC、三只游船，A船可乘坐 3人，B船可乘坐2人，C 船可乘坐1人，今有 3个
33、成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C 船若这 5 人都不乘坐 C 船，则恰好坐满AB、两船，若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有133C种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在AB、两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有122C种选择，1个成人有133C种选择，所以有2 36种方法故 5 人都不乘坐 C 船有369种安全方法；若这 5 人中有1人乘坐 C 船，这个人必定是个成人，
34、有133C种选择其余的2个成人与2个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有122C种方法，所以此时有326种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有122C种选择，所以此种情况下有32212种方法；故5人中有1人乘坐C船有61218种安全方法所以，共有91827种安全乘法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -【例18】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有 3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生
35、，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为3581014112CC种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010843758CCCC；4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4141001C种；从所有的选法818C种中减去这4个人同时入选的414C种：84181443758100142757CC分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：817261441441434749CCC
36、CC。【巩固】在 6 名内科医生和4 名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5 人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？有 3 名内科医生和2 名外科医生；既有内科医生，又有外科医生；至少有一名主任参加；既有主任，又有外科医生。【解析】先从 6 名内科医生中选3名，有3665420321C种选法；再从4名外科医生中选2名，共有2443621C种选法根据乘法原理，一共有选派方法206120种 用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5 人，有51010987625254321C种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科
37、医生如果只派内科医生，有51666CC种选派方法所以，一共有2526246种既有内科医生又有外科医生的选派方法。如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有48876522140432 1C种选派方法；如果选2名主任，则不是主任的8名医生要选 3人，有388761156321C种选派方法 根据加法原理，一共有14056196种选派方法 分两类讨论：若选外科主任，则其余4人可任意选取，有4998761264321C种选取方法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法”有448587655432654321432 1CC种选取法根据加法原理，一共有12665191
38、种选派方法。【例19】在 10 名学生中，有5 人会装电脑，有3 人会安装音响设备，其余2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？【解析】按具有双项技术的学生分类：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -两人都不选派，有3554310321C(种)选派方法；两人中选派1人，有2种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有2554102 1C(种)选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法由乘法原理，有10 1 10(种)选法；若此人
39、安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有2332321C(种)选法，需从 5 人中选 3人安装电脑，有3554310321C(种)选法由乘法原理，有3 1030(种)选法根据加法原理，有103040(种)选法；综上所述，一共有24080(种)选派方法 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从5 人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有515(种)选派方案；两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有2253543260212 1CC(种)选派方案；两人全安装音响设备，有355433330321C(种)选派方案根据加法原理，共有560309
40、5(种)选派方案综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185(种)【例20】有 11名外语翻译人员，其中5 名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出 8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？【解析】针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：多面手不参加，则需从5 名英语翻译员中选出4人，有41555CC种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择由乘法原理，有5 15种选择 多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参
41、加英文翻译，则需从5 名英语翻译员中再选出3人，有3554310321C种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择由乘法原理，有2 10 120种选择；如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41555CC种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有31444CC种选择由乘法原理，有25440种选择根据加法原理，多面手中有一人入选，有204060种选择 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种情况中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有2554102 1C种选择 需从4名日语翻译员中选4人，1种选择由乘法原理，有1 10
42、110种选择情况中，需从 5名英语翻译员中选出4人，有41555CC种选择 还需从4名日语翻译员中选出2人，有2443621C种选择根据乘法原理，共有1 5630种选择情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择剩下的需从5 名英语翻译员中选出3人，有3554310321C种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有31444CC种选择由乘法原理，有1 2 10480种选择名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有103080120种选择综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560 120185张二、几何计数【例2
43、1】下 图中共有 _个正方形。【解析】每个44正方形中有：边长为 1 的正方形有24 个；边长为 2 的正方形有23 个；边长为 3 的正方形有22个；边长为4 的正方形有21 个；总共有2222432130(个)正方形现有5 个44的正方形，它们重叠部分是4 个22的正方形因此，图中正方形的个数是30554130。【例22】在 图中(单位：厘米)：一共有几个长方形?所有这些长方形面积的和是多少?374218125【解析】一共有(4321)(4321)100(个)长方形；所求的和是51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(24
44、7)(473)(2473)144 8612384(平方厘米)。【例23】由 20 个边长为1 的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“”图中含有“”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。(第六届走美决赛试题)【解析】含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -所以总共长方形有6848个，面积总和为(12233445)(122334)360。【巩固】图中共有多少个三角形？【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6 类（1）最大的
45、三角形1 个(即ABC)，（2）第二大的三角形有3 个（3）第三大的三角形有6 个（4）第四大的三角形有10 个（5）第五大的三角形有15 个（6）最小的三角形有24 个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形2 59=118（个）。【例24】一 个圆上有12 个点 A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【解析】我们采用递推的方法I 如果圆上只有3个点，那么只有一种连法如果圆上有6 个点，除 A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边
46、所对应的圆弧上，表1 给出这时有可能的连法。如果圆上有9 个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6 个点可能分布在：A1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上在表 2 中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧如果是情形，则由，这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法共有 12 种连法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -最后考虑圆周上有12 个点同样考虑A1所在三角形，剩下9 个点的分布有三种可能：9 个点都在同一段弧上：有 6 个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；每三个点在A1
47、所在三角形的一条边对应的弧上得到表3共有 123+36+155 种所以当圆周上有12 个点时，满足题意的连法有55 种。课后练习：练习 1.用 2345，排成四位数：（1）共有多少个四位数？（2）无重复数字的四位数有多少个？（3）无重复数字的四位偶数有多少个？（4）2 在 3 的左边的无重复数字的四位数有多少个？（5）2 在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（6）5 不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？【解析】【解析】条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如2 234 3 355 2 4445 555，等依分步计数乘法原理共有444444（个）4424P（个）个位上只
48、能是2或4，有22212P（个）所有四位数中，2在 3的左边或2在 3的右边的数各占一半，共有441122P（个）2在千位上，只有1种方法，此后3 4 5、只能在另外的3个位置上排列，有33P6（个）法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位上或百位上，有33212P（个）法二：从55P 中减去不合要求的（5 在十位上、个位上），有4324322212PPP（个）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -练习 2.练习 3.如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5 厘米、7 厘米、9厘米、2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、
49、1厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个，所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664。练习 4.有 10 粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？【解析】初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：1 天吃完的有1 种方法，这天吃10 块；2 天吃完的有9 种方法，10=1+9=2+8=9+
50、1；当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从所以我们必须换一种角度来思考不妨从具体的例子入手来分析，比如这10 块糖分 4 天吃完：第 1 天吃 2块；第 2 天吃 3 块；第 3 天吃 1 块；第 4 天吃 4 块我们可以将10 个“”代表 10 粒糖，把 10 个“”排成一排，“”之间共有 9 个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)|比如上图就表示“第1 天吃 2 块；第 2 天吃 3 块；第 3 天吃 1 块；第 4 天吃 4 块”这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9 个空位中插入若干个|的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个