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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 例1、已知 a = 4,2,b = 6 ,y,且 a / b ,求 y 变式 1： 与向量 a = 12 ,5 平行的单位向量为变式 2： 已知 a 1,2 ,b x ,1,当 a+2b 与 2ab 共线时, x 值为变式 3： 已知 A0,3 、B2,0 、C1,3 与 AB 2 AC 方向相反的单位向量是变式 4： 已知 a = 1,0,b = 2,1 试问：当k 为何实数时,kab 与 a+3b 平行 , 平行时它们是同向仍是反向？1、已知a,16 ,b5 4,求ab；3、已知a4,1,b,2y ,ab2,求 y ；b ab ,a bc
2、,4、已知a1,1, b45,|b|1,求 b 的坐标；5、已知a ,1 3,b2 , 4 ,c,12 ,求ab,aab 2,2 ab ab ；6、 已知a,42 ,求与 a 夹角 60 的单位向量的坐标；四、课堂练习 ：名师归纳总结 1. 如 a=-4,3,b=5,6,就 3| a| ab（x= . 第 1 页,共 12 页A.23 B.57 C.63 D.83 2. 已知 A1,2,B2,3,C-2,5,就 ABC为（） A. 直角三角形B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不等边三角形3. 已知 a=4,3,向量 b 是垂直 a 的单位向量,就b 等于（）A.3,4或4,3B.3,4或
3、3,455555555C.3,4或4,3 5 D.3,4或3,455555554. a=2,3,b=-2,4,就 a+b a- b= . 5. 已知 A3 ,2 ,B-1 , -1 ,如点 Px,-1 在线段 AB的中垂线上,就 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、设 G 是 ABC 所在平面一点,且GAGBGC0,就 G 是 ABC 的6. 已知 A1 ,0 ,B3 ,1 ,C2 ,0 ,且 a=BC , b=CA , 就 a 与 b 的夹角为 . 参考答案： 1.D 2.A 3.D 4. 例 2、已知 a = 4,2,求与向量 7 5. 7
4、 6.454a 垂直的单位向量的坐标变式 1： 如 i = 1,0, j =0,1 ,就与 2i+3j 垂直的向量是变式 2： 已知向量a 1,1 ,b 2,3 ,如ka2b与 a 垂直,就实数 k = 变式 3： 如非零向量 a, b 相互垂直,就以下各式中肯定成立的有（1）a b a b（2）| a b | | a b |2（3） a b a b 0（4） a b 0变式 4：已知向量 a（ 3, 4）,b（ 2,x）, c（ 2,y）且 a b,a c求 |bc|的值变式 5： 在 ABC 中,设 AB ,2 3 , AC ,1 k ,且 ABC 是直角三角形,求 k的值；例2、已知 A
5、 1,2,B 2,3,C 2, 5,试判定 ABC 的外形,并给出证明变式 1： O 是ABC 所在的平面内的一点,且满意OBOCOCOA0,就ABC 肯定为名师归纳总结 变式 2：已知ABBCAB20,就 ABC 肯定是第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变 式变式 3：已知非零向量 AB 心；3： 如点 O 是 与 AC 满意 AB_；|AB |OA ACOB+ |AC |CO 0,就BC =0 且|AB |ABC的 内角 C 为 _ = 2 ,就 ABC|AC |为名师归纳总结 变式 4：如 O 是ABC 所在平面内一点,且
6、满意OBOCOBOC2 OA ,就第 3 页,共 12 页ABC的外形为 _ _；变 式1 ： 设G是 ABC所 在 平 面 一 点 , 且GA2GB3 GC0, 就SA B GSA C G变 式2 ： 如 D 为ABC的 边BC的 中 点 ,ABC所 在 平 面 内 有 一 点P, 满 足PABPCP0,设| |AP|,就的值为 _ _；PD|变式4： O 是平面上肯定点,A 、 B、 C 是平面上不共线的三个点,动点P 满意OPOA|AB|AC|,0 ,就 P 的轨迹肯定通过ABC 的AB|AC变式5： O 是平面上肯定点,A 、 B、 C 是平面上不共线的三个点,动点P 满意OPOA|A
7、BB|ACC,0,就 P 的轨迹肯定通过AB|sinAC|sin ABC 的心变式6： O 是平面上肯定点,A 、 B、 C 是平面上不共线的三个点,动点P 满意OPOA|ABABB|ACACC,0,就 P 的轨迹肯定通过|cos|cos ABC 的心变式7： O 是平面上肯定点,A 、 B、 C 是平面上不共线的三个点,动点P 满意OPOAABAC ,0,就 P 的轨迹肯定通过 ABC 的心例 5、设平面对量 a =-2,1 , b =1,如 a 与 b的夹角为钝角,就的取值范畴是；如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是；如 a 与 b 的夹角为直角,就的值是；变式 1：已知向量OB2
8、, 0,OC,22 ,CA2cos,2sin,就向量OA,OB的夹角范畴是；变式 2：已知ABC 中,CBa,CAb ,ab,0SABC15|,a|3 |,b|5,就 a 与 b 的夹4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 角1 、 在ABC中 ,BAC120,AB2,AC1, D 是 边 BC 上 一 点 ,为；变 式 3：DC2 BD ,就 AD BC2、如向量,ab满意ab,1a 与b的夹角为 120 ,就aaab . 3、向量 a 与 b 的夹角为,a3 3, , 2 ba 11, ,就 cos已知4、设向量a1 2,b2 3,如向量ab 与向量c
9、 4,7共线,ABC就5、在ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点,如AM=2 ,就OA OBOC的最顶点小值是 _；的直角坐标分别为A 3 ,4、B 0 ,0、Cc 0,. （1）如c5,求 sin A 的值 ; （2）如 A是钝角,求 c 的取值范畴 . 平面对量数量积的坐标表示年级_ 班级 _ 学号 _ 姓名 _ 分数 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 总分一二三得分阅卷人一、挑选题 共 9 题,题分合计 45 分 1. 已知 a=2,3,b=-4,7,就 a在b方向上的投影为13 65A. 13 B
10、. 5 C. 5 D. 652. 已知 a= , ,b=-3,5 且a与b的夹角为钝角,就 的取值范畴是10 10 10 10A. 3 B. 3 C. 3 D. 33. 给定两个向量 a=3,4, b=2,-1 且 a+xb a- b, 就x等于23 23 23A.23 B.2 C.3 D.44. 如a=-4,3, b=5,6, 就3| a| ab等于A.23 B.57 C.63 D.835. 已知 A1,2,B2,3,C-2,5,就 ABC为A.B.C.D.不等边三角形6. 如a=x1,y1,b=x2,y2,且ab,坐标满意条件A.x1x2-y1y2=0B.x1y1-x2y2=0C.x1x2
11、+y1y2=0D.x1y2+x2y1=07. 已知 A1,2.B4,0.C8,6.D5,8四点 ,就对四边形 ABCD 描述最精确的是名师归纳总结 A.平行四边形B. 矩形C.菱形D.正方形第 5 页,共 12 页8. 已知 a=4,3,向量 b是垂直 a的单位向量,就b等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.3,4或4,3B.3,4或3,4C.3,4或4,3D.3,4或555555555555553 5,4 5,2 3 ,b4 7,就a在b上的投影为9. 已知a1365A.13B.5C.5D.65得分阅卷人二、填空题 共 8 题,题分合计 32 分
12、 1. 已知 a=2,3,b=3,2 ,就 a b、（a+b） （ab）、（a+ b）_ .2. 设a=m+1i3j,b=i+m1j,a+bab,就 m= . .3. 已知 |a|=10 ,b=1,2 且a b,就 a的坐标为.4. 已知 a=1,2,b1,1,c=b-ka,如ca,就 c32、aa+ b、ba+b的大小关系是5. 已知 a=3,0,b=k,5且a与b的夹角为4,就 k的值为.6. a=2,3, b=-2,4, 就a+ba-b= .17. 已知 A3, 2,B-1,-1,如点 Px,-2在线段 AB的中垂线上,就x= .8. 已知 A1, 0,B3,1, C2,0,且 a=BC
13、,b=CA,就a与b的夹角为得分阅卷人三、解答题 共 23 题,题分合计 234 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 已知： a=cos ,sin ,b=cos ,sin a+b与ab相互垂直 .2. 已知 a=3,-1, b=1,2,求满意条件 xa=9与xb=-4的向量 x.3. 平 面内有四 点, O 、A 、B 、 C,记OA=a,OB=b,OC=c如a+b+c=o且a b =b c = c a =1,试判定ABC的外形,并求其面积 .4. 求证：三角形三角高线交于一点 .5. 已知三不共线向量 a
14、 、 b 、 c 两两所成角相等,a b c且 =1,=2,=3,求a+b+c 的模长及已知三向量间的夹角 .6. 求证：菱形的两条对角线相互垂直 .7. 单位向量 1l、2l 夹角为 120 0,求向量 m =2 1l +3 2l 和向量n=1l2 2l 的夹角 .8. 已知 a=3, 2,b=4, k,如 5abb3a=55,试求 k的值 .9. 已知 a=2,23 4,b=1,1,求 a与b的夹角 .BM=BCCD,10. 如下图所示, OADB 是以向量OA=a,OB=b为边的平行四边形,又3,CN=3试用 a,b表示OM,ON,MN.11. 试证：以 O点为始点的三个向量a、b、c的
15、终点 A、B、C在同一条直线上的充要条件是c= a+ b 、 R, + =1 .12. 已知 A（3, 2）、B（5,2）、C（ 1,4）,试用向量运算ABC的面积 .13. 已知 a、b是两个非零向量,且|a|=|b|=|ab|,求 a与a+b的夹角 .14. 已知点 A1,2和B4,-1,问能否在 y轴上找到一点 C,使 ,如不能,名师归纳总结 说明理由；如能,求C点坐标 .第 7 页,共 12 页15. 已知 a=（ 1,1）, b=0,-2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）当实数 k为何值时, ka- b与a+b（2）如 ka-b与 a
16、+b的夹角为 120 ,求k的值 .16. 设1l、2l为相互垂直的两个单位向量,问是否存在整数k,使得向量m =k 1l+2l与向量n =1l+k2l夹角为 600证明你的结论 .17. 已知a、b均为非零向量,且a=b=ab,求a , a+b 的夹角 .1318. 已知向量a=3 1, b =（ 2,2）（1）求证：ab；（2）如存在不同时为零的实数k和t,使x=a+t2 3 b , y =ka +tb ,且 x y ,写出函数关系式 k=ft；（3）在（ 2）中,确定函数 k=ft的单调区间 .19. 已知 A、B、C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A（1, 2）,B（4, 1）,C（0
17、, 1）,求 AB AC 和 ACB的大小,并判定ABC的外形 . 20. 四边形 ABCD中= AB 6,1, BC = x, y , CD =-2,-3, 1 如BCDA,求 x与y间的关系式；2满意 1问的同时又有 AC BD ,求x,y的值及四边形 ABCD 的面积 .21. a1、a2、b1、b2R,求证：a 1 2a 2 2b 1 2b 2 2a 1 b 1 a 2 b 2.又等号何时成立？22. ABC中, AB=AC ,D为AB中点, E为 ADC 的重心, O为 ABC的外心,求证：OECD. 23. 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 , 记 AB =a,BC=b,CD=
18、c, DA =d, 如名师归纳总结 a b =b c = c d = d a 试判定此四边形外形,并说明理由.第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量数量积的坐标表示答案一、挑选题 共 9 题,合计 45 分 1.858 答案： C 2.859 答案： A 3.866 答案： C 4.867 答案： D 5.868 答案： A 6.912 答案： C 7.854 答案： B 8.869 答案： D 9.4367 答案： C 二、填空题 共 8 题,合计 32 分 1.852 答案： a+b2aa+b=ba+ba+bab=ab2
19、.857 答案： m=23.860 答案：（22 ,2 ）或（ -2 ,2 ）,1 4.861 答案： 555.862 答案： -5 6.870 答案：-7 7 7.871 答案： 48.872 答案： 45三、解答题 共 23 题,合计 234 分 1.849 答案： 见注释 2.863 答案： 2,-3 3.1187 答案： ABC为正三角形名师归纳总结 33第 9 页,共 12 页S=42 2= 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.1189 答案： 见注释5.1190 答案： |a+b+c|= 36.1194 答案： 见注释7.1195 答案
20、：见注释 8.847 答案： k= 10或k=6 9.848 答案： a与b的夹角为 6010.850 答案：OMa5 bON2a3bMNab662611.851 答案： 见注释 12.855 答案： 14 13.856 答案： 30度 14.864 答案： 不能 理由略 15.926 答案：（1）-1 （2）-1 316.1192 答案： 见注释17.1193 答案：a与a+b的夹角为 30 018.1196 答案：（1）见注释1（2）k=4tt23 ,1和,1单调递减区间为1,1（3）故 ft的单调递增区间为19.853 答案：AB,31 ,ac,1 3,ACB245 ABC是等腰直角三角
21、形x6 或3x y20.865 答案： 1x+2y=0 2y1S四边形ABCD=1621.1203 答案：见注释22.1204 答案： 见注释 23.1205 答案： 见注释名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6、已知向量acos3x,sin3x ,bcos x 43,44sin x 43,且 x 6,5 asinx ,cos x ,61 如 f xab 2,求 f x的解析式；2 求函数 f x的最大值和最小值. 变式 1： 设函数fx abc,其中向量bsinx , 3cosxc cos ,sinx , x
22、R；求长度最小（1）求函数f x 的最大值和最小正周期；2将函数f x 的图像按向量 d 平移, 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,的 d ；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如fxab2|ab|的最小值是3,求的值;2变式 2： 已知acos ,sinx bcos ,siny ,a 与 b之间有关系式名师归纳总结 kab3akb,其中k0,a 与 b 的夹角的大小求第 12 页,共 12 页用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值,并求此时2,3,变式 3： 已知向量acos3x,sin3x ,bcosxsinx,且x22222ab 及|ab|; 求函数fx ab|ab|的最小值- - - - - - -