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1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角中学数学必修四2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.驾驭平面对量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.驾驭向量共线、垂直的几何推断，会证明两向量垂直，能解决一些简洁问题.【学问梳理】学问回顾：1两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量.(1)、=(2)、当与同向时，=，当与反向时，=特殊的：=_或，|，cos=_新知探究：已知非零向量，怎样用和的坐标表示？1、平面两向量数量积的坐标表示：=即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.平面内两点间的距离公式（1）设，
2、则或.（2）假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定：设，则 4.两向量夹角的余弦（）cos= 思索感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有0（0）？ 对点练习：1.已知a=(3,4),b=(5,2),则ab等于()A.14B.7C.7D.8 2.已知a=(3,4),b=(5,2),c=(1,1),则(ab)c等于()A.14B.7C.(7,7)D.(7,7) 3.已知A(1,1),B(1,2),则|AB|等于()A.5B.C.1D.7 4.已知a=(3,4),b=(5,12),则a,b夹角的余弦为()A.6365B.6
3、5C.135D.13 【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值； 变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值； 例2.设=(5，7)，=(6，4)，求及、间的夹角的余弦值。 变式2：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试推断ABC的形态，并给出证明. 【课堂小结】夹角为锐角（钝角） 【当堂达标】1已知向量(1，1)，(2，x)，若1，则x等于()A1B12C.12D12.已知a=(4,3),b=(5,6),则3|a|24ab=()A.23B.57C.63D.83 3.与a=(3,4)垂直的单位向量是()A.(45,35)
4、B.(45,35)C.(45,35)或(45,35)D.(45,35)或(45,35) 4.已知|m|=6,n=(cos,sin),mn=9,则m,n的夹角为()A.150B.120C.60D.30 【课时作业】1、已知A(1,1),B(1,2),C(3,12),则ABAC等于()A.52B.152C.52D.152 2.若a=(2,1)与b=(1,m5)相互垂直，则m的值为()A.6B.8C.10D.10 3.a=(2,3),b=(3,5),则a在b方向上的投影为_. 4.已知三个点A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且a=BC,b=CA，则a与b的夹角为 5.已知A(3，2)，B(-
5、1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=. 6.已知，对以下两种状况分别求出m值，(1)，(2)。 8*已知向量,向量求的最值，9*.a=(1,2),b=(3,2),当k为何值时：(1)ka+b与a3b垂直?(2)ka+b与a3b平行吗？平行时它们是同向还是反向？ 10*、以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点B和向量的坐标. 【延长探究】已知在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标 平面对量数量积的坐标表示教案、学案 平面对量数量积的坐标表示年级高一学科数学课题平面对量数量积的坐标表示授课时间学习重
6、点在坐标形式下，驾驭平面对量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）学习难点在坐标形式下，驾驭平面对量数量积的运算公式及其变式及应用学习目标1.在坐标形式下，驾驭平面对量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一样性. 教学过程一自主学习向量数量积的交换律：.向量的数量积的安排律：.5已知两个非零向量. 结论：若，则，或. 若，则. 若，则. 设是与的夹角，则 二师生互动例1已知，试推断的形态，并给出证明. 变式：已知四点，求证：四边形是直角梯形.例2设，求及之间的夹角余弦值. 练1.已知，若，试求的值. 三巩固练习1.已知，则等于（）A.B.C.D.2
7、.若，则与夹角的余弦为（）A.B.C.D.3.若，则等于（）A.B.C.D.4.，则=.5.已知向量，若，则.6.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.B.C.D.7.若平面对量与向量的夹角是，且，则（）A.B.C.D.8.已知向量，若，则与的夹角为（）A.B.C.D.9.已知向量，若与垂直，则实数.10.已知向量，若不超过，则的取值范围是. 11已知向量，求求与的夹角；若向量与垂直，求的值. 四课后反思 五课后巩固练习1.已知，且，求；、的夹角. 2.已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说明理由；若能，求点坐标. 高二数学平面对量数量积的坐标表示26第9课时三、平面对量数量积的坐标
8、表示、模、夹角教学目的：要求学生驾驭平面对量数量积的坐标表示驾驭向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.能用所学学问解决有关综合问题.教学重点：平面对量数量积的坐标表示教学难点：平面对量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.并规定0与任何向量的数量积为0.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|
9、b|cos的乘积.4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特殊的aa=|a|2或4cos=；5|ab|a|b|5平面对量数量积的运算律交换律：ab=ba数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)安排律：(a+b)c=ac+bc二、讲解新课：平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示.设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式一、设，则或.（
10、2）假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设，则三、两向量夹角的余弦（）cos=四、讲解范例：五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角(精确到1o)例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试推断ABC的形态，并给出证明.例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满意xa=9与xb=4的向量x.解：设x=(t，s)，由x=(2，3)例4已知a（，），b（，），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值.解：由a（，），b（，）有ab（），a，b记a与b的夹角为，则
11、又，评述：已知三角形函数值求角时，应注意角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又|=|x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29由B点坐标或；=或例6在ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A=90时，=0，21+3k=0k=当B=90时，=0，=(12，k3)=(1，k3)2(1)+3(k3)=0k=当C=90时，=0，1+k(k3)=0k=六、课堂练习：1.若a=(
12、-4，3)，b=(5，6)，则3|a|ab（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或?B.或C.或?D.或4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)=.5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为.七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）课后记：平面对量的数量积
13、课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、驾驭平面对量数量积的坐标表示；2、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例
14、2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，=2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与
15、的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】3、驾驭平面对量数量积的坐标表示；4、驾驭向量垂直的坐标表示的等价
16、条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的
17、概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，= 2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断
18、三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页