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1、平面向量数量积的坐标表示教案、学案平面对量数量积的坐标表示、模、夹角 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：要求学生驾驭平面对量数量积的坐标表示驾驭向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.能用所学学问解决有关综合问题.教学重点：平面对量数量积的坐标表示教学难点：平面对量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.并规定0与
2、任何向量的数量积为0.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特殊的aa=|a|2或4cos=；5|ab|a|b| 5平面对量数量积的运算律交换律：ab=ba数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)安排律：(a+b)c=ac+bc二、讲解新课：平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示.设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，所以这就是
3、说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式一、设，则或.（2）假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设，则三、两向量夹角的余弦（）cos=四、讲解范例：五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角(精确到1o)例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试推断ABC的形态，并给出证明.例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满意xa=9与xb=4的向量x.解：设x=(t，s)，由x=(2，3)例4已知a（，），b（，），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求ab及a
4、b，再结合夹角的范围确定其值.解：由a（，），b（，）有ab（），a，b记a与b的夹角为，则又，评述：已知三角形函数值求角时，应注意角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又|=|x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29由B点坐标或；=或例6在ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A=90时，=0，21+3k=0k=当B=90时，=0，=(12，k3)=(1，k3)2(
5、1)+3(k3)=0k=当C=90时，=0，1+k(k3)=0k=六、课堂练习：1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|ab（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或?B.或C.或?D.或4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)=.5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则
6、a与b的夹角为.七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）十、课后记： 高二数学平面对量数量积的坐标表示26第9课时三、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：要求学生驾驭平面对量数量积的坐标表示驾驭向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.能用所学学问解决有关综合问题.教学重点：平面对量数量积的坐标表示教学难点：平面对量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量
7、积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.并规定0与任何向量的数量积为0.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特殊的aa=|a|2或4cos=；5|ab|a|b|5平面对量数量积的运算律交换律：ab=ba数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)安排律：(a+b)c=ac+bc二、讲解新课：平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示.设是轴
8、上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式一、设，则或.（2）假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设，则三、两向量夹角的余弦（）cos=四、讲解范例：五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角(精确到1o)例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试推断ABC的形态，并给出证明.例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满意xa=9与xb=4的向量x.解：设x=(t，s)，由x=(2，3)例4已知a（，），b（，），则
9、a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值.解：由a（，），b（，）有ab（），a，b记a与b的夹角为，则又，评述：已知三角形函数值求角时，应注意角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又|=|x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29由B点坐标或；=或例6在ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A=90时，=0，21+3k=0k
10、=当B=90时，=0，=(12，k3)=(1，k3)2(1)+3(k3)=0k=当C=90时，=0，1+k(k3)=0k=六、课堂练习：1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|ab（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或?B.或C.或?D.或4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)=.5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.6.已知A
11、(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为.七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）课后记：平面对量的数量积学案 平面对量的数量积学案 教学目标：驾驭平面对量数量积的概念、性质及简洁应用教学重点：平面对量数量积的概念、性质及应用教学难点：对平面对量数量积应用的精确把握教学过程：题型一：平面对量数量积的性质与运算【例题1】.关于平面对量，有下列5个命题：若，则非零向量和满意，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出全部真命题的序号）【例题2】.(1)在RtABC中，C90，AC4，则ABAC_.(2)若向量(1,1)，(2,5)，(3，x)，满意条件(8)30，
12、则x_. 题型二：向量的夹角与模【例题3】.已知|4，|3，(23)(2)61.(1)求与的夹角；(2)求|；(3)若AB，BC，求ABC的面积 变式训练1：已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满意，则的最大值是 变式训练2：已知平面对量且。题型三：向量数量积的应用【例题4】.给定两个长度为1的平面对量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值为。 变式训练：已知 课堂练习：1、已知(2,3)，(4,7)，则在方向上的投影为_2、设x，yR，向量(x,1)，(1，y)，(2，4)，且，则|_.3、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE
13、CB的值为_DEDC的最大值为_4、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2|PB|2|PC|2_.5、在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF2，则AEBF的值是_课堂小结： 平面对量的数量积 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、驾驭平面对量数量积的坐标表示；2、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹
14、角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）
15、=，=2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已
16、知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】3、驾驭平面对量数量积的坐标表示；4、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。
17、（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，= 2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互
18、不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页