《2022年复变函数期末复习资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年复变函数期末复习资料.docx（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 复变函数与积分变换重修辅导讲义（一）内容提要：1复数 zxiy 的实部 Re z ,虚部 Im z ；与复平面上点 , x y 一一对应；（画图）2复数的模,辐角,辐角主值；3复数的基本运算；（特殊是开方运算）4复函数的概念；初等函数：指数函数,对数函数；欧拉公式；5复函数的导函数；6解析函数 C-R方程练习题：名师归纳总结 1复数z1i 的辐角主值为.；第 1 页,共 13 页答案 : 4.；2复数z1i 的辐角主值为答案 : 4.；3复数z13i 的辐角主值为答案 : 3.；4复数z13 i 的辐角主值为答案 : 3.； Im z 等于5设
2、zLn i ,就 Re z 等于；答案 :0；22 k,k0,1,.； Im z 等于6设zLni ,就 Re z 等于；答案 :0；22k,k0,1,.； Im z 等于7设zLn1i ,就 Re z 等于答案 : ln2 ；42 k,k0,1,； Im z 等于8设zLn13 i ,就 Re z 等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 : ln 2 ；32 k,k0,1,.9复函数f z z 的导函数为 _；nze 的导函数为 _；z 2e 的导函数为 _；答案 :nzn1.10复函数f z 答案 :ez.11复函数f z 答案 :2z 2ze
3、.sin 2z 的导函数为 _；12复函数f z 答案 : 2cos2 .z13. 求方程z380的全部根 . 2 k k=0,1,2解：z388cosisin, 从而z2cos2 kicos33故方程的全部根为z13 , i z2 k2,z13.14. 求方程z410的全部根 .解：z411cos0isin 0从而41cos 02 kisin0 k0,1,2,344故方程的全部根z1, ,1,i.1名师归纳总结 15. 求1i3的值 . iisin4isin42 kk0,1,2isin5第 2 页,共 13 页解： 1i2cos4111432 ki32 cos 3 1162cos12sin1
4、2 , 62cos7isin7,62cos5 4i312124- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 求61 的值 . 解：1 1cos i sin 6 1 1cos 2 k i sin 2 k k 0,1,2,3, 4, 56 66 3 1 3 1 3 1 3 11 + i , , + i , i , i , i .2 2 2 2 2 2 2 217设 f z my 3nx y 2i x 3lxy 2 为解析函数 , 试确定 , l m n 的值. 解：由 C-R方程知：u my 3nx y ,2v x 3lxy 2u v u v且x y y x即
5、 2 nxy 2 lxy 且 3 my 2nx 2 x 3ly 2故 n l 3, m 1.复变函数与积分变换重修辅导讲义（二）内容提要：1复函数的积分；（用柯西积分公式或高阶导数运算复积分）2复数项级数的极限；3幂级数的收敛半径；4幂级数的收敛半径；5判定级数的收敛性；6将函数展成洛朗级数 . 练习题：1复积分iz ie dz_；答案 : 0. 2复积分3i 2 z ie dz_；答案 : 0. 名师归纳总结 3复积分1zsinzdz_；第 3 页,共 13 页0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 : sin1 cos1.4复积分1zcoszdz
6、_；0答案 : sin1cos1 1.；z1sinz dz5复积分z答案 : 0. 6复积分z1cos zz dz；答案 : 2.iz1zz e1dz；7复积分21答案 :2ie2.1z13dz；8复积分z答案 : 0. 9复积分z1sin3 z dz；答案 : 0. 名师归纳总结 10用柯西积分公式或高阶导数运算以下复积分（c 取正向）第 4 页,共 13 页（1）czez2dzc:z21ie2.解：由柯西积分公式知：czez2dz2i ezz22（2）csinz dzc:z2z22.i解：由柯西积分公式知：csinz dz2isinzz2z2（3）csinz2dzc:z2z2- - - -
7、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由高阶导数公式,有csinzdz1 2 1.isin z20.z22 （4）cz1z2dzc:z1i 2解：由柯西积分公式知：czi1z2dz2iz12zi4i.4i（5）cz e dz 5 zc:z122解：由高阶导数公式,有enicezdz1 2 4.i ez4z0i.z51211复数项级数n1的极限为 _；1ni答案 :1.n i2的极限为 _；12复数项级数n1n答案 : 0. 13. 幂级数n z 的收敛半径为 _；n 1答案 : 1. 14. 幂级数n n1+i z的收敛半径为 _；n 1名师归纳总结 答案 :2 .
8、 2n165 n的收敛性,并说明理由 . n为公比肯定值小于1 的等比第 5 页,共 13 页15判定级数n 8解：由于级数n16nn1685 nn1615 n 864- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 级数,收敛；从而原级数肯定收敛 . 16判定级数nin的收敛性,并说明理由 . 13 n解：由于级数n1inn1inn11 3n为公比肯定值小于1 的等比级数,收敛；n 33从而原级数肯定收敛 . 名师归纳总结 17判定级数n1cos n in 的收敛性,并说明理由 . 2第 6 页,共 13 页解：由于通项的极限lim ncos inlim nenn
9、elim n11 2 enen ,是发散的；2 n 22n22从而原级数发散 . 18. 将函数f z z3sin1在 0z内展成 z 的洛朗级数 . z解：函数f z 3 zsin1在 0z内是到处解析的,z且 sin z在复平面内的绽开式为：sinzz3 zz57 z 1nz2n1,3.5.7.2n1.而1 z在 0z是解析的,从而f z z3sin1z311317172nn 12n1 zz3.z5.5 z.z1.z=2 z111 .3.5.2 z7.4 z119. 将函数f z 3 z e 在 0z内展成 z 的洛朗级数 . 解：函数f z 1 3 z e 在 0z内是到处解析的,且 e
10、z 在复平面内的绽开式为：ez1zz2z3zn,而1 z在 0z是解析的,2.3.n.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而f z 3 z e13 z11121nz3z21z1zz2.zn z2.3.20. 将函数f z 1z2在 01z11内展成z11 的洛朗级数 . z1解：f z 1211z11z1z1zz2zz11zn 1n 1z1n1n0复变函数与积分变换重修辅导讲义（三）内容提要：1复函数的孤立奇点类型；2复函数的留数；3用留数定理运算复积分；如0z 为f z 的孤立奇点,就f z 在0z 处洛朗展式为f z nc nzz 0n .0z 为
11、其假如f z 在z 处的洛朗展式中不含负幂项,就称0z 为其可去奇点；,就称假如f z 在z 处的洛朗展式中含有有限个负幂项,最低项zz 0mm级极点；假如f z 在z 处的洛朗展式中含有无穷多个负幂项,就称0z 为其本性奇点；除了用定义,仍可以利用零点和极点之间的关系来来判别极点；（书 P73 定理 1.4 ：z 是1 f z的 m级极点0z 是f z 的 m级零点；）零点的判别方法：零点定义：0z 是f z 的 m级零点f z0z 0mg z ,g z 在0z 解析且g z 00.定理 1.3 ：0z 是f z 的 m级零点f z 0k0,1,m1; fm z 00.留数定义：f z 在0
12、z处留数记作Res f , z z 0c ,这里c1表示f z 在0z处的洛名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 朗展式中zz 01的系数；留数定理：如f z 在正向简洁闭曲线C 内仅有 n 个孤立奇点z z2,z ,就cf z dzn2iRe s f , z z k.k1用留数定理运算复积分的步骤：1. 找出 C 内f z 的全部孤立奇点z z 2,.z ,n.2. 分别求出Re s f z ,z 1, Re s f z z2,Re s f z z3. 代公式cf z dz2in1Re s f z ,z kk关键步骤
13、为 2 除了用定义运算留数外,仍有更简便的方法：准就、准就；准就：假如z 为f z 的一级极点,就Res f z z 0lim z z 0zz 0f z .准就：假如z 为f z 的二级极点,就Res f , z z0lim z z 0zz 02f z .练习题：1. z0是函数f z z e z的_；答案 : 二级极点 .sinz11的_；2. z1是函数f z 答案 : 本性奇点 . 3. z0是函数f z z e11的_；答案 : 一级极点 .4. z0是函数f z 2 z11的_；z e答案 : 三级极点 . 5. 函数f z z e在点z0处的留数为 _; z答案 : 1. 6. 函
14、数f z ez在点z0处的留数为 _; z3答案 :1 . 2名师归纳总结 7. 函数f z sinz在点z0处的留数为 _; 第 8 页,共 13 页2 z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 : 1. 8. 函数f z z2sin1 z在点z0处的留数为 _; 答案 :1. 6ln1z 在点z0处的留数为 _; 9. 函数f z 2 z答案 : 1. 名师归纳总结 10用留数定理运算以下复积分（c 取正向）4 z11,i第 9 页,共 13 页（1）ce2zdzc:z2z2 1解：z1是e 2z在 c 内唯独的二级极点,z2 1Rese2z,1l
15、im z 1z2 1e2zlim z 1e2zlim2 z 1e2z2 2 e.z2 1z2 1故z2e2zdz2iRes e2z2,12i2 e242 e i.z2 1z1（2）c1dz 1c:z24 z解：z1, 1, ,i 是z11在 c 内全部的极点,且均为一级极点,4Res z11,1lim z 1z1z11lim z 1z111.4412 z4Res z11, 1lim z 1z1z11lim z1z1211.441z4Res z11, lim z iziz11lim z izi111.442 z4iRes z11,ilim z iziz11lim zizi111.442 z4 i
16、c1dz 12i Res11,1Res11, 1Res11, Res4 z4 z4 z4 z =2i11110.444 i4 i- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）cz e2 1dzc:z2z zz z解：z 0 是 e2 在 c 内的一级极点,z 1 是 e2 在 c 内的二级极点；z z 1 z z 1z z ze e eRes z z 1 2 ,0 lim z 0 z 0z z 1 2 lim z 0 z 1 2 1.z z z z ze 2 e e e z eRes z z 1 2 ,1 lim z 1 z 1z z 1 2 lim z 1
17、 z lim z 1 z 2 0.z z ze e ec z z 1 2 dz 2 i Res z z 1 2 ,0 Res z z 1 2 ,1 2 i 1 0 2 i .z（4）c z ze21 dz c : z 2z解：z 1, 1 是 ze2 在 c 内全部的极点,且均为一级极点,z 1z z zze ze ze eRes z 21 ,1 lim z 1 z 1z 21 lim z 1 z 1 2 .z z z 1ze ze ze eRes z 21 , 1 z lim 1 z 1z 21 lim z 1 z 1 2 .z z z 1ze ze ze e e 1c z 21 dz 2
18、i Res z 21 ,1 Res z 21 , 1 2 i 2 2 i e e .复变函数与积分变换重修辅导讲义（四）内容提要：1傅立叶变换和 Laplace 变换的定义；2用定义运算傅立叶变换和 Laplace 变换；3用傅立叶变换的基本性质求解微积分方程；名师归纳总结 4查傅立叶变换和Laplace 变换表；第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义：F wf t eiwtdt 称F w 为函数f t 的傅立叶变换；记作F w F f t .f t 为函数F w 的傅立叶逆变换；相应地,f t 1F w e dw 称2记作f
19、 t F1 F w .微分性质Ff iwFf t .积分性质Ftf t dt1F f t .siw ,积分iw定义：设f t 是定义在 0, 上的实值函数,假如对于复参数F s 0 f t e stdt 收敛,就称 F s 为函数 f t 的 Laplace 变换；记作 F s L f t .相应地,称 f t 为函数 F s 的 Laplace 逆变换；记作 f t L 1 F s .练习题：名师归纳总结 1求指数衰减函数f t 0,t,t0 0的傅立叶变换及其积分表达式,第 11 页,共 13 页et其中0 .0eteiwtdt0eiw tdt1iw解： 1f t 的傅立叶变换为F w f
20、 t eiwtdt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）f t 的积分表达式为f t 1iwt F w e dw1 2dw1iwt edwwtwcoswtdwdw10coswtwsinwtdw.2iwsin1coswtwsinwti2w22222w1coswtwsinwtdw020coswtwsinwt22w222w22w22用傅立叶变换求解微积分方程：ax t bx t ctx t dth t ,t. 其中a b c 为常数 ,h t 为已知函数,且x t ,h t 的 Fourier变换均存在 . 解：令F x t X,F h t H两边取傅氏变
21、换得：名师归纳总结 aiXbX cXH ci t ed.2,b2 ,第 12 页,共 13 页iw解得：XbH ci aw故x t 1X i te d1bH22i awb2a2s2. 通过查 Laplace 变换表已知L cosatcos bt2 sa22 sb就Lcos 2 tcos3 _；s22 absa答案 :s25 s9.42 s4. 通过查 Laplace 变换表已知Lsinatsinbtab2 s2就Lsin 2 sin3 _；答案 :s212s2 s1.25- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5求指数函数f t 1的拉普拉斯变换解：F s
22、0f t estdt0estdt1est0= 1lim testes0 = 1lim test1 sss101=1Re 0ssest0.其中lim testlim teitlim tetlim t10.所以 lim tet（要求Re 0）6求指数函数f t kt e 的拉普拉斯变换（ k 为实数） . 解：F s = 0f t estdte0kt e estdt 01kes k tes k t1 s01lim ts k tes k = 1klim tsks名师归纳总结 其中1k01=s1k. Resk0 或Re k0.所以lim tes k t0.第 13 页,共 13 页slim tes k tlim teik tlim tek tlim t e1k t（要求Re k ）- - - - - - -