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1、复变函数与积分变换重修辅导讲义（一）内容提要：1 复数zxiy的实部Re( )z，虚部Im( )z； 与复平面上点( , )x y一一对应。 （画图）2复数的模，辐角，辐角主值。3复数的基本运算。（特别是开方运算）4复函数的概念；初等函数：指数函数，对数函数；欧拉公式。5复函数的导函数。6解析函数 C-R方程练习题：1复数1zi的辐角主值为；答案: .42复数1zi的辐角主值为；答案: .43复数13zi的辐角主值为；答案: .34复数13zi的辐角主值为；答案: .35设( )zLn i,则Re( )z等于；Im( )z等于；答案:0；2,k0,1,.2k6设()zLni,则Re( )z等于
2、；Im( )z等于；答案:0；k0,122.,k7设(1)zLni,则Re( )z等于；Im( )z等于；答案:ln2；k0,124.,k8设(13 )zLni,则Re( )z等于；Im( )z等于；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页答案: ln 2；k0,123.,k9复函数( )nf zz的导函数为 _ ；答案:1.nnz10复函数( )zf ze的导函数为 _ ；答案:.ze11复函数2( )zf ze 的导函数为 _ ；答案:22.zze12复函数( )sin2f zz的导函数为 _ ；答案: 2cos2
3、. z13. 求方程380z的所有根 . 解：388(cossin)zi, 从而222(coscos) 33kkzik=0,1,2故方程的所有根为13 ,2,13.zi zzi14. 求方程410z的所有根 .解：411(cos0sin 0)zi从而402021cos()sin() 0,1,2,344kkik故方程的所有根1, ,1,.zii15. 求13(1) i的值. 解：12(cos()sin()44ii11332244(1)(2) (cos()sin() 0,1,233kkiik166637755 (1)2(cossin) , 2(cossin),2(cossin)1212121244
4、iiii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页16. 求61的值. 解：11(cossin)i6221(cos()sin() 0,1,2,3,5614,6kkik631313131+ , , + , .222222212,iiiiii17设3232( )()f zmynx yi xlxy为解析函数 , 试确定,l m n的值. 解：由 C-R方程知：32umynx y，32vxlxyuvxy且uvyx即22nxylxy且22323()mynxxly故3,1.nlm复变函数与积分变换重修辅导讲义（二）内容提要：1复函数的
5、积分。（用柯西积分公式或高阶导数计算复积分）2复数项级数的极限。3幂级数的收敛半径。4幂级数的收敛半径。5判断级数的收敛性。6将函数展成洛朗级数 . 练习题：1复积分izie dz_ ；答案: 0. 2复积分32izie dz_ ；答案: 0. 3复积分10sinzzdz_ ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页答案: sin1cos1.4复积分10coszzdz_ ；答案: sin1cos1 1.5复积分1sinzzdzz；答案: 0. 6复积分1coszzdzz；答案: 2. i7复积分112zzedzz；答案:
6、122.ie8复积分113zdzz；答案: 0. 9复积分31sinzz dz；答案: 0. 10用柯西积分公式或高阶导数计算下列复积分（c取正向）（1）:212zcedzczz解：由柯西积分公式知：2222.2zzzcedzi eiez（2）sin:22czdzczz解：由柯西积分公式知：2sin2sin2zczdzizz2. i（3）2sin:2()2czdzczz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页解：由高阶导数公式，有22sin12(sin )0.1!()2zczdzizz（4）1:1()(2)2cdzczi
7、zz解：由柯西积分公式知：21142.24()(2)2cizidziizizz（5）5:1zcedzczz解：由高阶导数公式，有(4)5012.4!12zzczeidzi ez11复数项级数11nnini的极限为 _；答案:1.12复数项级数21n inen的极限为 _；答案: 0. 13. 幂级数nn 1z 的收敛半径为 _；答案: 1. 14. 幂级数nn 1(1+i) zn的收敛半径为 _；答案:2.215判断级数1(65 )8nnni的收敛性，并说明理由 . 解：由于级数111(65 )(65 )61()8864nnnnnnnii为公比绝对值小于1 的等比精选学习资料 - - - -
8、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页级数，收敛；从而原级数绝对收敛 . 16判断级数13nnni的收敛性，并说明理由 . 解：由于级数1111( )333nnnnnnnii为公比绝对值小于1 的等比级数，收敛；从而原级数绝对收敛 . 17判断级数1cos2nnin的收敛性，并说明理由 . 解：由于通项的极限cos112limlimlim()() 22222nnnnnnnnneeinee，是发散的；从而原级数发散 . 18. 将函数31( )sinf zzz在0z内展成z的洛朗级数 . 解：函数31( )sinf zzz在0z内是处处解析的，且 s
9、in z在复平面内的展开式为：35721( 1)sin,3!5!7!(21)!nnzzzzzzn而1z在 0z是解析的，从而35723131111( 1)3!5!71( )sin() !(21)!nnf zzzzzzzznz224111= .3!5!7!zzz19. 将函数13( )zf zz e在 0z内展成z的洛朗级数 . 解： 函数13( )zf zz e在 0z内是处处解析的，且 ez在复平面内的展开式为：231,2!3!nzzzzezn而1z在 0z是解析的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页从而1333
10、2211111( )(1)2!2!3!znf zz ezzzzzzn z20. 将函数1( )(1)(2)f zzz在 011z内展成1z的洛朗级数 . 解：11111( )(1)(2)211(1)1f zzzzzzz011(1)(1)1nnnnzzz复变函数与积分变换重修辅导讲义（三）内容提要：1复函数的孤立奇点类型。2复函数的留数。3用留数定理计算复积分。若0z为( )f z的孤立奇点，则( )f z在0z处洛朗展式为0( )() .nnnf zczz如果( )f z在0z处的洛朗展式中不含负幂项，则称0z为其可去奇点。如果( )f z在0z处的洛朗展式中含有有限个负幂项，最低项0()mz
11、z，则称0z为其m级极点。如果( )f z在0z处的洛朗展式中含有无穷多个负幂项，则称0z为其本性奇点。除了用定义，还可以利用零点和极点之间的关系来来判别极点。（书 P73 定理 1.4 ：0z是1( )f z的 m级极点0z是( )f z的 m级零点。 ）零点的判别方法：零点定义：0z是( )f z的 m级零点0( )()( ),mfzzzg z( )g z在0z解析且0()0.g z定理 1.3 ：0z是( )f z的 m级零点( )0()0kfz(0,1,1)km; ()0()0.mfz留数定义：( )f z在0z处留数记作01( ),Res fz zc，这里1c表示( )f z在0z处
12、的洛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页朗展式中10()zz的系数。留数定理：若( )f z在正向简单闭曲线C 内仅有 n 个孤立奇点12,nz zz，则1( )2Re ( ),.nkckf z dzis fz z用留数定理计算复积分的步骤：1. 找出 C 内( )fz的所有孤立奇点12,nz zz，2. 分别求出12Re ( ), Re ( ),Re ( ),.ns f zzs f z zs f z z3. 代公式1( )2Re ( ),.nkckf z dzis f zz关键步骤为 2 除了用定义计算留数外，还有
13、更简便的方法：准则、准则。准则：如果0z为( )f z的一级极点，则000( ),lim()( ).zzRes f z zzzf z准则：如果0z为( )f z的二级极点，则0200( ),lim()( ).zzRes fz zzzf z练习题：1. 0z是函数2( )zef zz的_；答案: 二级极点 .2. 1z是函数1( )sin1f zz的_；答案: 本性奇点 . 3. 0z是函数1( )1zf ze的_；答案: 一级极点 .4. 0z是函数21( )(1)zf zze的_；答案: 三级极点 . 5. 函数( )zef zz在点0z处的留数为 _; 答案: 1. 6. 函数3( )ze
14、f zz在点0z处的留数为 _; 答案:1.27. 函数2sin( )zf zz在点0z处的留数为 _; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页答案: 1. 8. 函数21( )sinf zzz在点0z处的留数为 _; 答案:1.69. 函数2ln(1)( )zf zz在点0z处的留数为 _; 答案: 1. 10用留数定理计算下列复积分（c取正向）（1）22:2(1)zcedzczz解：1z是22(1)zez在c内唯一的二级极点，22222222111,1lim (1)limlim22.(1)(1)zzzzzzzeeR
15、eszeeezz故22222222,1224.(1)(1)zzzeedziResiee izz（2）41:21cdzczz解：1, 1, ,zii是411z在c内所有的极点，且均为一级极点，442111111,1lim(1)lim.11(1)(1)4zzReszzzzz442111111, 1lim(1)lim.11(1)(1)4zzReszzzzz4421111, lim()lim.11()(1)4ziziResizizzzizi4421111,lim()lim.11()(1)4ziziResizizzzizi44444111112,1, 1, ,11111cdzi ResResResiRe
16、sizzzzz =11112()0.4444iii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页（3）2:2(1)zcedzczz z解：0z是2(1)zez z在c内的一级极点，1z是2(1)zez z在c内的二级极点；22200,0lim(0)lim1.(1)(1)(1)zzzzzeeeReszz zz zz2222111,1lim(1)limlim0.(1)(1)zzzzzzzzeeee zeReszz zz zzz2222,0,12(10)2.(1)(1)(1)zzzceeedzi ResResiiz zz zz z（
17、4）2:21zczedzczz解：1, 1z是21zzez在c内所有的极点，且均为一级极点，2211,1lim(1)lim.1112zzzzzzezezeeReszzzz12211, 1lim(1)lim.1112zzzzzzezezeeReszzzz112222,1, 12()().11122zzzczezezeeedzi ResResii eezzz复变函数与积分变换重修辅导讲义（四）内容提要：1傅立叶变换和 Laplace 变换的定义。2用定义计算傅立叶变换和Laplace 变换。3用傅立叶变换的基本性质求解微积分方程。4查傅立叶变换和Laplace 变换表。精选学习资料 - - - -
18、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页定义：()( ).iwtF wf t edt称()F w为函数( )f t的傅立叶变换。记作( )( ).F wF f t相应地，1( )( ).2iwtf tF w e dw 称( )f t为函数( )F w的傅立叶逆变换。记作1( )( ).f tFF w微分性质( )( ).FftiwFf t积分性质1( )( ).tFf t dtF f tiw定义：设( )f t是定义在0,)上的实值函数，如果对于复参数siw，积分0( )( )stF sf t edt收敛，则称( )F s为函数( )f t的La
19、place 变换。记作( )( ).F sL f t相应地，称( )f t为函数( )F s的Laplace 逆变换。记作1( )( ).f tLF s练习题：1求指数衰减函数0,0( ),0ttf tet的傅立叶变换及其积分表达式，其中0.解：(1)( )f t的傅立叶变换为()001( )( )iwttiwtiw tF wf t edteedtedtiw精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页（2）( )f t的积分表达式为111( )()22iwtiwtf tF w e dwedwiw22221cossinsin
20、cos22wtwwtiwtwwtdwdwww222222001cossin2cossin1cossin0.22wtwwtwtwwtwtwwtdwdwdwwww2用傅立叶变换求解微积分方程：( )( )( )( ),.tax tbx tcx t dth tt ( 其中, ,a b c为常数 ,( )h t为已知函数，且( ),( )x th t的 Fourier变换均存在 ). 解：令( ( )(),( ( )()F x tXF h tH两边取傅氏变换得：()( )()( )caiXbXXHiw解得：( )()()HXcbi aw故11()( )( ).22()iti tHx tXe dedcb
21、i aw2. 通过查 Laplace 变换表已知222222coscos()()basLatbtsasb，则cos 2cos3 Ltt_；答案:225.(4)(9)sss4. 通过查 Laplace 变换表已知22222sinsin() () absLatbtsabsab，则sin 2 sin3 Ltt_ ；答案:2212.(25)(1)sss精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页5求指数函数( )1f t的拉普拉斯变换解：0000111( )( )= (lim) = (lim1) ststststsstttF sf
22、 t edtedteeeesss11(01)=Re( )0sss其中()1limlimlimlim0.stittttttteeee所以lim0.stte（要求Re( )0s）6求指数函数( )ktf te的拉普拉斯变换（ k 为实数） . 解：()0001( )( )()stktsts k tF sf t edte edtesk()() 0()11= (lim) = (lim1) ()()s k ts ksk ttteeesksk11(01)=. Re()0Re( )()sksksksk或其中()()()()1limlimlimlim0.s k tik tk tk ttttteeee所以()lim0.s k tte（要求Re( )sk）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页