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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修1 学问点学习必备欢迎下载第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 说明：1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素；2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排 列次序是否一样；4
2、集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性；3、集合的表示： 如我校的篮球队员, 太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋 1用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“ 属于” 的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示, 如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA ,相 反,a不属于集合A 记作 a A 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集
3、合的方法；用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法：语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 x R| x-32或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合例：x|x2=52无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1.“ 包含” 关系子集数学式子描述法：例：不等式 x-32的解集是留意：A B 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一集合；反之： 集合A不包含于集合B,或集合 B不包含集合 A,记作A B或B A B=-1,1 “ 元素相同”2“ 相等” 关系55,且55,就5=5 实例：设 A=x|x 2-1=0 结论：对于两
4、个集合A与B,假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合 B,即：A=B 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集: 假如A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA 假如 A B, B C ,那么 A C 假如A B 同时 B A 那么A=B 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集；三、集合的运算 1、交集的定义：一般地,
5、由全部属于A且属于B的元素所组成的集合, 叫做A,B的交集记作 AB读作A交B,即AB= x|x A,且xB2、并集的定义：一般地,由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集；记作：AB读作A并B,即AB=x|xA,或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A = , AB = BA,AA = A,A= A ,AB = BA. 4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合,A是S的一个子集（即AS）,由S中全部不属于 A的元素组成的S A 集合,叫做S中子集A的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x x S且 x A （2）全集：假如集合S含有我们所要讨论的各个集
6、合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；CsA 通常用U来表示；（3）性质：CUCUA=A CUAA= CUAA=U 四、函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数x,在集合B中都有唯 一确定的数fx 和它对应,那么就称f ：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=fx ,xA其中,x叫做自变量,x 的取值范畴A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx| xA 叫做函数的值域留意：假如只给出解析式 y=fx,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数 的
7、定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集 合.6指数为零底不行以等于零 7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域； 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再留意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定
8、义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域 和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样 两点必需同时具备 值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；2. 函数图象学问归纳名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备
9、 欢迎下载1定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , xA中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y的集合C,叫做函 数 y=fx,x A的图象C上每一点的坐标x,y均满意函数关系y=fx,反过来,以满意 y=fx的每一组有序实 数对x、y 为坐标的点x,y,均在C上 . 即记为C= Px,y | y= fx , xA ；图象C一般的是一条光滑的连续 曲线或直线, 也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成；2画法 A、描点法：依据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点Px, y,最终用平滑的曲线将这些
10、点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 3作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发觉解题中的错误；3. 明白区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4什么叫做映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A中的任意一个元素 x,在集合B中都有唯独确定的元素y与之对应,那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射；记作“ f ：AB”给定一个集合A到B的映射,假如aA, bB. 且元素a和元
11、素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b 的 原象 说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合 A、B及对应法就 f 是确定的；对应法就有“ 方向性”,即 强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f ：AB来说,就应满意：（）集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯独的；（）集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以 是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象；常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：
12、必需注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意：解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应 的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几 个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的
13、并集sinX 补充二：复合函数：假如 y=fu,uM,u=gx,xA,就 y=fgx=Fx ,xA 称为f 、g的复合函数；例如: y=2 y=2cosX 2+1 5函数单调性（1）增函数 设函数y=fx的定义域为I ,假如对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx 1fx 2,那么就说fx 在区间D上是增函数；区间 D称为y=fx的单调增区间 （睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有fx1 fx2 ,那么就说fx 在这个区间上是减函数.名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精
14、选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载区间D称为y=fx 的单调减区间. 留意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1x2时,总有fx 1fx 2 ；（2）图象的特点 假如函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增 函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. （3）函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：1 任取 x1,x2D,且x11,且n N*当n 是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是
15、一个负数此时,a 的n 次方根用符号na表示式子na叫做根式（radical）,这里n 叫做根指数（radical exponent）,a 叫做被开方数（radicand）当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数a 的正的n 次方根用符号na表示,负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成n a（a 0）由 此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作 n0 0；留意：当n 是奇数时,n a n a,当n 是偶数时,nan| a | aa aa 00 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：a mn n a m a 0 , m , n
16、N * n 1 a mna 1mnn 1a m a 0 , m , n N * n 1 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1）ra ararsaa0,r,s,R R（2）r s a arsas0,r,srR（3） abrara0,s二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yax a0,且a1 叫做指数函数（exponential function）,其中x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数
17、不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6学习必备欢迎下载a1 0a1 0a1 607 8332.52.5221.51.511110.50.5-101.512345 678-101.512345-1-1-1.5-2-1.5-2-2.5-2.5图象特点函数性质a10a1a10a1函数的定义域为（0,）函数图象都在y 轴右侧图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延长函数的值域为 R 函数图象都过定点（1,0）loga10自左向右看,图象逐步上升自左向右看,图象逐步下
18、降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x,1log ax00x,1 log ax其次象限的图象纵坐标都小于0其次象限的图象纵坐标都小于000x,1logax0x,1logax四）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yxaR的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2）0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 ,0 上是增函数特殊地,当 1时,幂函数的图象下凸；当 0 1 时,幂函数的图象上凸；（3）0时,幂函数的图象在区间 ,0 上是减函数在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方
19、无限地靠近y 轴正半轴,当x 趋于第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点时,图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴名师归纳总结 1、函数零点的概念：对于函数yfx xD,把使fx 0成立的实数x 叫做函数yfx xD 的零点；2、函数零点的意义：函数yfx 的零点就是方程f x 0实数根,亦即函数yfx的图象与x 轴交点的横坐标；即：方程fx0有实数根函数yf x 的图象与x 轴有交点函数yf x 有零点第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、函数零点的求法：求函数yf x的零点：yfx的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点1 （代数法）求方程fx0的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数4、二次函数的零点：二次函数yax2bxc a00有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点） ,方程ax2bxc20） ,方程 axbxc有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点名师归纳总结 ） ,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点第 8 页,共 8 页- - - - - - -