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1、精品_精品资料_一、集合一、集合有关概念1. 集合的含义高一数学学问总结必修一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 集合的中元素的三个特性：（1） ）元素的确定性如：世界上最高的山（2） ）元素的互异性如： 由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y（3） ）元素的无序性 :如： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示： ,如： 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋, 印度洋, 北冰洋(1) 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A= 我 校 的 篮 球 队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法：非负整数
2、集（即自然数集）记作： N正整数集 N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R(1) 列举法： 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法.例如：a,b,c,(2) 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法. xR| x-32 ,x| x-32(3) 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 (4) Venn图: 韦恩图（文氏图） 是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素
3、的集合例：x|x二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2留意： AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分,.（ 2）A 与 B是同一集合.反之:集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作AB或 BA2“相等”关系： A=B 5 5,且 55,就 5=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2实例：设 A=x|x相等”-1=0 B=-1,1“元素相同就两集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： 任何一个集合是它本身的子集. A A真子集 : 假如 A B, 且 A B 那就说集合 A是集
4、合 B 的真子集,记作 AB 或 BA假如 AB, BC , 那么 AC 假如 A B同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.含有 n 个元素的集合的子集的共有 2n 个.真子集共有 2 n1 个：非空真子集共有2 n2 .集合的基本运算运算交集并集补集类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定由全部属于A 且属义于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 记作 A B（读作 A 交 B ）,即 A B= x|x A , 且 x B韦恩AB图示图 1性AA=A A =AB=BAABA质ABB由全部
5、属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组 成 的 集 合 , 叫 做A,B的并集 记作： AB （读作 A并B ）, 即 AB=x|xA ,或 xB AB图 2AA=AA =AAB=BAABABB设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集,由 S 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 CS A,即CSA= x| x S,且x ASAC uACuB=C u ABC uACuB=C uAB ACuA=UACuA=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_容斥原理 有限集 A 的元素个数记作 cardA. 对于两个有限集 A ,B,有 cardA B
6、= cardA+cardB- cardAB 重点习题：留意：求两个集合的交集、并集时,往往先将集合化简,两个数集的交集、并集,可通过数轴直观显示.利用韦恩图表示两个或多个集合的交集,有助于解题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 求方程 x2x10的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 A4, 2a1, a, B9, a5,1a,已知 AB9 ,就实数 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设关于 x 的方程 x2px120 , x2q
7、xr0 的解集分别为 A,B,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB3,4, AB3 ,求p, q, r 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224. 设 A=x|x+ax+b=0,B=x|x+cx+15=0, 又 AB=3 ,5 ,AB=3 ,求实数 a,b,c的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设 Ax x 2pxq0, xR , M1,3,5,7,9 , N1,4,7,10.如 ANA , AM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 p,q 的值.可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品_精品资料_6. 设Ax x24 x0 , Bx x22 a1xa 210 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如 ABB ,求 a 的值.（）如 ABB ,求 a 的值7. 某的对农户抽样调查,结果如下：电冰箱拥有率为49,电视机拥有率为85,洗衣机拥有率为 44,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63, 三种电器齐全的为25, 那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数（一）函数定义域、值域求法综合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A、B 是非空的数集,假如依据某种确定的对应关系f
9、 ,使对于集合 A 中的任意一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx和它对应,那么就称f : AB 为从集合 A 到集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合 B 的一个函数（ function）,记作yf x, xA ,其中 x 叫做自变量, x 的取值范畴A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做函数的定义域（domain ）,与 x 的值相队对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xxA叫做函数的值域 range.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
10、定义域、值域、对应法就,称为函数的三个要素,缺一不行.（1） 对应法就 fx是一个函数符号,表示为“y 是 x 的函数” , 肯定不能懂得为“ y 等于 f与 x 的乘积”,在不同的函数中, f 的详细含义不一样.y=fx不肯定是解析式,在不少问题中,对应法就f可能不便使用或不能使用解析式, 这时就必需采纳其它方式,如数表和图象,在争论函数时,除用符号fx表示外,仍常用gx 、Fx 、Gx 等符号来表示.22自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值a 时,对应的函数值用符号fa来表示.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx=x+3x+1, 当 x=2 时的函数值是： f2
11、=2+32+1=11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： fa是常量, fx是变量, fa是函数 fx中当自变量 x=a 时的函数值.（2） 定义域是自变量x 的取值范畴.20留意：定义域不同,而对应法就相同的函数,应看作两个不同函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如： y=x xR与y=xx0 . y=1 与 y=x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如未加以特殊说明,函数的定义域就是指使这个式子有意义的全部实数x 的集合.在实际中,仍必需考虑x 所代表的详细量的答应值范畴.如：一个矩形的宽为xm,长是宽的 2 倍,其面积为 y=2x ,
12、此函数的定义域为x0,而不是 xR .（3） 值域是全体函数值所组成的集合,在大多数情形下,一旦定义域和对应法就确定,函数的值域也随之确定. （求值域通常用 观看法、配方法、代换法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域的求法：当确定用解析式 y=fx表示的函数的定义域时,常有以下几种情形：（1） 假如 fx是整式,那么函数的定义域是实数集R.（2） 假如 fx是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3） 假如 fx是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.（4） 假如 fx是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有
13、意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）.（5） 假如 fx是由实际问题列出的, 那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.函数的三种表示方法（1） 解析法 （将两个变量的函数关系,用一个等式表示）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 y3x22x1, Sr 2 ,C2 r , S6t 2 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 列表法 （列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表,三角函数表,利息表,列车时刻表,国民生产总值表等.优点：不需要运算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.（ 3）图象法 （用图象来表
14、示两个变量的函数关系）.（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略一般的,设函数 f x 的定义域为 I ：假如对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2, 当 x1x2 时都有 f x 1 f x 2. 那么就说 f x 在这个区间上是 增函数（ increasing function）.假如对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x 2,当 x1 f x 2.那么就是 f x 在这个区间上是 减函数 decreasing function.假如函数 y=f x 在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函说y=f x 在这一区间具有（严格的）单调性,这一区间叫做y=f x
15、的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.1. 函数最大值与最小值的含义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）对于任意的xI ,都有 f xM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）存在 x0I ,使得f x0M .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么,我们称 M 是函数 yf x 的最大值（ maximum value ） .2. 二次函数在给定区间上的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
16、料_利用二次函数的性质求最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对二次函数yax2bxca0 来说,如给定区间是, ,就当 a0 时,函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数有最小值是24acb4a,当 a0 时,函数有最大值是24 acb4 a.如给定区间是 a,b ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必需先判定函数在这个区间上的单调性,然后再求最值.利用图像求函数的最值利用函数的单调性求最值3. 一般的,（板书）假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有 f-x=fx,那么函数 fx就叫做 偶函数 （
17、even function）.（图像关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 一般的,（板书）假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f x么函数 fx就叫做 奇函数 odd function.（图像关于原点对称） 留意： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的.偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的.（三）函数解析式的表达f x,那可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、（ 1）已知二次函数f x 满意f 11 ,f 15 ,图象过原点,求f x .可编辑资
18、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）已知二次函数f x ,其图象的顶点是 1,2 ,且经过原点,f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）由题意设f xax2bxc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f 11 , f 15 ,且图象过原点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcabc1a35 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c0c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x3x22x可编辑资料 -
19、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由题意设f xax122,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又图象经过原点, f 00 , a20得 a2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x2x24x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：（ 1）已知函数类型,求函数解析式,常用“待定系数法”.（ 2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等）,代入已知条件,通过解方程（组）确定未知系数 .2、代入法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、依据已知条件,求函数表达式可编辑资料
20、- - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 已知f xx24x3 ,求f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 已知f x3x21 , g x2 x1 ,求f gx 和 gf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）f xx24x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1) x124 x13x22 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）f x3x21, gx2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
21、 f g x3 g x2132x12112x212 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ gf x2 fx123x2116x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 已知f x 求f g x ,常用“代入法” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本方法：将函数fx中的 x 用 gx 来代替,化简得函数表达式3、配凑法与换元法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、（ 1）已知f x1x22x,求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎
22、下载精品_精品资料_（ 2）已知 f x1x2x ,求f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）法一配凑法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1 x122 x12 x x124 x1 x124 x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx24 x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二换元法：令 x1t ,就 xt1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f t t122t1t 24t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
23、- - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx24x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 ux11,就x =u1 , xu12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 f uu122u1u21u1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx21x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1) x121x22xx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f x1x22x x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 已知f g x 求f x 的解析式,常
24、用配凑法、换元法.换元时,假如中间量涉可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_及到定义域的问题,必需要确定中间量的取值范畴4、构造方程法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、已知 fx满意12 f x1f 3 x ,求xf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2 f xf 3 x x-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将中 x 换成 1 得x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f f x3-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2- 得3 f x6
25、x3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x2 x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 已知f x 与f x ,或f x 与f 1 之间的关系式,求xf x 的解析式,可通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过“互换”关系构造方程的方法,消去f x 或f 1 ,解出xf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）恒成立问题的求解策略主要争论二次函数问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反函数的定义（四）反函数的几种题型及方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,设函数 yf x xA 的值域是
26、 C,依据这个函数中x,y的关系,用 y 把 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示出,得到 x=y.如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过x=y , x 在 A 中都有唯独的值和它对应, 那么,x=y 就表示 y 是自变量, x 是自变量 y 的函数, 这样的函数 x=y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yC叫做函数 yf x xA 的反函数,记作 xf 1 y, 习惯上改写成 yf 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域二反解：视 y 为常量,从
27、 yfx 中解出唯独表达式x f1 y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三对换：将 x 与 y 互换,得y f 1x ,并注明定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 反函数yf 1x 与原函数 yfx 的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1性质 1、 yfx 的定义域、值域分别为yfx 的值域、定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
28、料_性质 2、如 yfx 存在反函数,且 yfx 为奇函数,就yf 1x 也为奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 3、如 yfx 为单调函数,就yf 1x 同 yfx 有相同的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 4、 yfx 和 yf 1x 在同始终角坐标系中,图像关于yx 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探讨 1：全部函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数,由于它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数可编辑资
29、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 来说,不肯定有反函数,如yx2 , 只有“ 一一映射 ”确定的函数才有反函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2 , x0, 有反函数是 yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从映射的定义可知, 函数 yf x 是定义域 A到值域 C的映射,而它的反函数 yf1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是集合 C 到集合 A
30、 的映射, 因此, 函数 yf x 的定义域正好是它的反函数yf 1 x的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_域 . 函 数 yf x的 值 域 正 好 是 它 的 反 函 数 yf 1 x的 定 义 域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f f1 xx, f1 f xx （如下表）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x反函数 y1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域AC值域C
31、A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探讨 3： yf 1 x的反函数是？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 yf x 有反函数 yf 1 x ,那么函数 yf 1 x 的反函数就是 yf x,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3就是说,函数 yf x 与 yf 1 x 互为反函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：已知 fxlog 21 ,求 f 1x （对数函数形式）可编辑资料
32、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：fx的值域为R,令x 3ylog 21,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 3log 2f 1xy12x 12 y 1x33x2y 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：已知 fx2x 21 求 f1 x （指数函数形式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 y2x 21 , y 的值域为 y1 , 2x 2
33、y1log y 1x2xlog y 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22f 1 xlog x 12x10x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 3：已知 fx21x10x1 ,求 f1 x（根式形式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1x10x10x11x1002x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_201x11012x110y1y21x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y22x1x1y21f 1x1x210x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：求 yx1xR且x1的反函数（分式形式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x121y11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题意知,y,反解为 y 2 x1x1xy可编辑资料 - - - 欢迎