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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学学问总结必修一一、集合一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如： 由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y （3）元素的无序性 : 如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集 合 3. 集合的表示： , 如： 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大 西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A= 我 校 的 篮 球 队 员,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集
2、（即自然数集）记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1 列举法： 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法；例如：a,b,c ,2 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在 大括号内表示集合的方法；x R| x-32 ,x| x-32 3 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4Venn 图: 韦恩图（文氏图） 是用一条封闭的曲线的内部来 表示一个集合的方法；4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例：x|x2=52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1. “ 包含”
3、 关系子集留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合B, 或集合 B 不包含集合A, 记作AB或 BA 2“ 相等” 关系： A=B 5 5,且 55,就 5=5 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 : 假如 A B,且 A B 那就说集合 A是集合 B 的真子集,记作 AB或 BA 假如 AB, BC , 那么 AC 假如 A
4、 B 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,集；空集是任何非空集合的真子含有 n 个元素的集合的子集的共有2n 个；真子集共有 2n1个：非空真子集共有2n2. 集合的基本运算运算交集并集补集类型定由全部属于A 且属由全部属于集合A 或设 S 是一个集合, A 是 S 的一义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所个子集,由S 中全部不属于A的元素组成的集合,叫做S 中的集合 ,叫做 A,B 的组 成 的 集 合 , 叫 做子集 A 的 补集 （或余集）交集 记作ABA,B 的并集 记作：记作CSA,即（读作A 交 B ）,AB （读
5、作A 并即 AB=x|xA ,B ）, 即AB CSA=x|xS , 且 xA 且 xB=x|xA,或 xB 韦恩 图 示 性质ABABS A 图 1图 2AA=A AA=A C uA CuB=C u AB A =A A =A A C uA CuB=C uAB AB=BAB=BACuA=U ABA ABABB ABB ACuA= 容斥原理 有限集 A 的元素个数记作cardA. 对于两个有限集A,B,有 cardAB= cardA+cardB- cardAB重点习题：留意：求两个集合的交集、并集时,往往先将集合化简,两个数集的交集、并集,可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集,
6、有助于解题名师归纳总结 1. 求方程x2ax10的解集；5,1a,已知AB9,就实数 a；第 2 页,共 15 页2. 设A4, 21,a2,B9,a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 设关于 x 的方程2 xpx120,x2qxr0的解集分别为A,B,如AB3,4,AB3,求p q r 的值；的值 . 4. 设 A=x|x2+ax+b=0,B=x|x2+cx+15=0, 又 AB=3,5 ,AB=3 ,求实数 a,b,c5. 设Axx2pxq0,xR,M,1 ,3,5 7, 9,N1 , 4 ,7 , 10；如ANA,AM求 p,q 的值；6.
7、设Ax x24x0,Bx x22a1xa210B （）如 ABB ,求 a 的值；49,电视机拥有率为85,洗衣机（）如 ABB ,求 a 的值7. 某地对农户抽样调查,结果如下：电冰箱拥有率为拥有率为 44,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63,三种电器齐全的为25, 那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？二、函数（一）函数定义域、值域求法综合设 A、B 是非空的数集,假如依据某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（ function）,记作 y f
8、 x , x A ,其中 x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定义域（domain）,与 x 的值相队对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 range ；定义域、值域、对应法就,称为函数的三个要素,缺一不行；（1）对应法就 fx 是一个函数符号,表示为“y 是 x 的函数”, 肯定不能懂得为“y 等于 f与 x 的乘积” ,在不同的函数中,f 的详细含义不一样；y=fx 不肯定是解析式,在不少问题中,对应法就 f 可能不便使用或不能使用解析式,这时就必需采纳其它方式,如数表和图象,在争论函数时,除用符号 fx 表示外,仍常用gx 、Fx 、Gx 等
9、符号来表示；自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时,对应的函数值用符号 fa 来表示；如函数 fx=x 2+3x+1, 当 x=2 时的函数值是：f2=2 2+3 2+1=11；留意： fa 是常量, fx 是变量, fa 是函数 fx 中当自变量 x=a 时的函数值；（2）定义域是自变量 x 的取值范畴；留意：定义域不同,而对应法就相同的函数,应看作两个不同函数；如： y=x 2x R 与 y=x 2x0 ； y=1 与 y=x 0 如未加以特殊说明,函数的定义域就是指使这个式子有意义的全部实数 x 的集合；在实际中,仍必需考虑 x 所代表的详细量的答应值范畴；如：一个矩形的宽为
10、xm,长是宽的 2 倍,其面积为 y=2x 2,此函数的定义域为 x0,而不是 x R；（3）值域是全体函数值所组成的集合,在大多数情形下,一旦定义域和对应法就确定,函名师归纳总结 数的值域也随之确定； （求值域通常用观看法、配方法、代换法）第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义域的求法：当确定用解析式 y=fx 表示的函数的定义域时,常有以下几种情形：（1）假如 fx 是整式,那么函数的定义域是实数集 R；（2）假如 fx 是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）假如 fx 是偶次根式,那么函数的定义域是使
11、根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）假如 fx 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）假如 fx 是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合；函数的三种表示方法（1）解析法 （将两个变量的函数关系,用一个等式表示）2：如y3 x22x1,Sr2,C2r S6 t等；（2）列表法 （列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表,三角函数表,利息表,列车时刻表,国民生产总值表等；优点：不需要运算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值；（3）图象法 （用图象来表示
12、两个变量的函数关系）. （二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略一般地,设函数 f x 的定义域为 I ：假如对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x2, 当 x1 x2 时都有 f x 1fx2. 那么就说 fx 在这个区间上是 增函数（ increasing function）；假如对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当 x1 f x 2.那么就是 fx 在这个区间上是 减函数 decreasing function；假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数 , 那么就说函说 y=fx 在这一区间具有（严格的）单调性,这一区间叫做 的,减函数
13、的图象是下降的；1函数最大值与最小值的含义y=fx 的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（1）对于任意的 x I ,都有 f x M ；（2）存在 0x I ,使得 f x 0 M ；那么,我们称 M 是函数 y f x 的最大值（ maximum value ）. 2二次函数在给定区间上的最值名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 利用二次函数的性质求最值对二次函数ya2 axbxc a0来说,如给定区间是a2, ,就当a0时,函数有最小值是4
14、 ac4b2,当a0时,函数有最大值是4acb；如给定区间是 , a b ,就4必需先判定函数在这个区间上的单调性,然后再求最值；利用图像求函数的最值 利用函数的单调性求最值3. 一般地,（板书）假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有 f-x= fx,那么函数 fx就叫做 偶函数 （even function）；（图像关于y 轴对称）fx ,那4. 一般地,（板书）假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有 fx么函数 fx就叫做 奇函数 odd function；（图像关于原点对称）留意： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；（三）函数解析式
15、的表达 求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法例 1、（1）已知二次函数f x 满意f11,f 15,图象过原点,求f x ；f x （2）已知二次函数f x ,其图象的顶点是 1,2 ,且经过原点,解：（1）由题意设f x ax2bxc,f11,f 15,且图象过原点,abc1a3abc5b2c0c0f x 32 x2x（2）由题意设f x a x2 12,又图象经过原点,f00,a20得a2,；f x 2 x24 x 说明：（1）已知函数类型,求函数解析式,常用“ 待定系数法”（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等）（组）确定未知系数；2、代入法,代入已知条件,通过解方程名
16、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、依据已知条件,求函数表达式（1）已知 f x x 2 4 x 3,求 f x 1（2）已知 f x 3 x 2 1,g x 2 x 1,求 f g x 和 g f x . 解：（1）f x x 2 4 x 3f x 1 x 1 2 4 x 1 3 x 2 2 x （2）f x 3 x 2 1,g x 2 x 1f g x 3 2 1 32 x 1 2 1 12 x 2 12 x 42 2g f x 2 1 23 x 1 1 6 x 1说明： 已知 f x 求 f g x ,常
17、用“ 代入法”. 基本方法：将函数 fx 中的 x 用 gx 来代替,化简得函数表达式3、配凑法与换元法：例 3、（1）已知f x1xx22x,求f x . （2）已知fx12x ,求f x1解：（1）法一配凑法：f x f xx1x2 12x12xx2 14x1x2 14x13x243法二换元法：令 x 1 t ,就 x t 1,2 2f t t 1 2 t 1 t 4 t 3f x x 24 x 3（2）设 u x 1 1,就 x = u 1,x u 1 22 2于是 f u u 1 2 u 1 u 1 u 12f x x 1 x 1f x 1 x 1 21 x 22 x x 1 1即 f
18、 x 1 x 22 x x 0 . 说明： 已知 f g x 求 f x 的解析式,常用配凑法、换元法；换元时,假如中间量涉及到定义域的问题,必需要确定中间量的取值范畴4、构造方程法名师归纳总结 例 3、已知 fx 满意2 f13x,求f x . 第 6 页,共 15 页x解：2f x f13x -x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将中 x 换成1 x得1 -2f1 xf x 3x6x3 2- 得3 xf x 2x1f x与f1 x之间的关系式,求.fx的解析式,可通x说明： 已知f x与fx,或过“ 互换” 关系构造方程的方法,消去f xf1,解出
19、fx或x（三）恒成立问题的求解策略主要争论二次函数问题（四）反函数的几种题型及方法反函数的定义一般地,设函数 y f x x A 的值域是 C,依据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x= y. 如对于 y 在 C中的任何一个值,通过 x= y ,x 在 A 中都有唯独的值和它对应, 那么,x= y 就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= y y C叫做函数 y f x x A 的反函数,记作 x f 1 y , 习惯上改写成 y f 1 x 1. 求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域二反解：视 y 为常量,从 y f x 中解出唯独表达
20、式 x f 1y ,三对换：将 x 与 y 互换,得 y f 1x ,并注明定义域；2. 反函数 y f 1x 与原函数 y f x 的关系：1性质 1、y f x 的定义域、值域分别为 y f x 的值域、定义域；性质 2、如 y f x 存在反函数,且 y f x 为奇函数,就 y f 1x 也为奇函数；1性质 3、如 y f x 为单调函数,就 y f x 同 y f x 有相同的单调性；性质 4、 y f x 和 y f 1x 在同始终角坐标系中,图像关于 y x 对称；探讨 1：全部函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数,由于它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数名
21、师归纳总结 yfx 来说,不肯定有反函数,如xyx2, 只有“一一映射 ” 确定的函数才有反函数,第 7 页,共 15 页yx2,x0,有反函数是y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系名师归纳总结 从映射的定义可知, 函数yfx是定义域 A到值域 C的映射,而它的反函数yf1 x 第 8 页,共 15 页是集合 C到集合 A 的映射, 因此,函数yf x 的定义域正好是它的反函数yf1 x的值域 ； 函 数yfx的 值 域 正 好 是 它 的 反 函 数yf1 x 的 定 义 域ff1xx ,f1fxx（如下表）：函
22、数yfx 反函数yf1 x 定义域A C 值域C A 探讨 3：yf1 x的反函数是？如函数yf x 有反函数yf1 x ,那么函数yf1 x 的反函数就是yfx,这就是说,函数yfx 与yf1 x 互为反函数例 1：已知fxlog2x31,求f1x（对数函数形式）解：fx的值域为R, 令ylog2x31,就log2x3y12y1x3x2y13f1x2x13例 2：已知fx2x21求f1x（指数函数形式）解：令yx 221, y 的值域为y1,2x2y1log2y1x2xlog2y12f1xlog 2x12x10x1例 3：已知fx1x120x1,求f1x（根式形式）解：令y1x120x10x
23、11x100x12101x12101x1210y1y1x121y2x12x1y21f1x1x210x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4：求yx1xR且x1的反函数（分式形式）2x12解：由题意知,y1,反解为y2x1x1xy1y1（二次函数形式）22y12原函数的反函数为yx1xx11,2,求 fx 的反函数2x12例 5、已知fx112 x2x解：1 x 2 2 x 1 3 令 t x 1 2 t 3 x t 1 所以原函数可化为f t t 1 22 t 1 1 t 22 即 f x x 22 2 x 32 2y f x x 2（ 2 y 7
24、）y 2 x x y 2（ 2 y 7）所以 f x 的反函数 f 1x x 2 2 x 72x x 0例 6、求 y 1 x x 0 的反函数（分段函数形式）2解：x 0 时,y x 2就 x y（y 0） 就 y 的反函数为 y x x 0x 0 时, y 1x 就 x 2 y （y 0）就 y 的反函数为 y 2 x x 02x x 0所以原函数的泛函数 y2 x x 0注：求分段函数的反函数要分段求,最终要用分段函数的形式表示出来名师归纳总结 利用反函数求值（性质一的应用）112的值f12且2y0第 9 页,共 15 页例 7、已知fx122x1 ,求fx3x解一：先求反函数f1x解：
25、令y122,得2 x12xxy0y故 fx的反函数为f1x12x2x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解二：依据性质一解：22 2x 2 x 1 x 2 即 f 221 x 3 3例 8、已知 f x a xk 的图像过点 1,3 ,其反函数 y f 1x 的图像过 2,0 点,求f x 的表达式；解 ：y f 1 x 的 图 像 过 点 2,0,f x 的 图 像 过 点 0,2,0 x2 a k k 1 f x a 1 又 y f x 的图像过点 1,3 ,x3 a 1 a 2 f x 2 1利用图像（性质四的应用）例 9：已知函数 f x 2
26、x 1a 1 , x a 的图像关于直线 y x 对称,求 a 的值x a 2解：由题意 f x 的图像关于直线 y x 对称,就 f x f 1x令 y f x 2 x 1 y 2 y x a 2 x 1 x 1 ayx a x 2所以 f 1x 1 axx 2 由 f x f 1x 得1 ax =2 x 1 解得 a 2x 2 x 2 x a（五）二次函数根的问题一题多解&指数函数 y=ax 运算 规律：aa*ab=aa+ba0,a 、b 属于 Q aab=aaba0,a、b 属于 Q aba=aa*baa0,a、b 属于 Q 指数函数 图像对称规律：1、函数 y=ax 与 y=a-x 关
27、于 y 轴对称2、函数 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称3、函数 y=ax 与 y=-a-x 关于坐标原点对称指数函数问题解决方法：1比较大小例 1 已知函数f x x2bxc 满意f1xf1x ,且f03,就x f b与f cx的大小关系是 _名师归纳总结 分析：先求b,c的值再比较大小,要留意bx,cx的取值是否在同一单调区间内第 10 页,共 15 页解：f1xf1x ,函数f x 的对称轴是x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故b2,又f03,c3函数 f x 在,上递减,在 1, 上递增如 x0,就 3 x2 x1,f 3 xf
28、2 x；如 x 0,就 3 x 2 x 1,f 3 xf 2 xx x x x综上可得 f 3 f 2 ,即 f c f b 评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行争论2求解有关指数不等式例 2 已知a22 a3 x5a22 a1 5x,就 x 的取值范畴是 _分析：利用指数函数的单调性求解,留意底数的取值范畴解：a22ax5a2 1441,函数y a22ax 5在 , 上是增函数, 3x1x ,解得1 x 的取值范畴是1, 44评注：利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与
29、1 的大小,对于含有参数的要留意对参数进行争论3求定义域及值域问题例 3 求函数y16x2的定义域和值域,解：由题意可得16x20,即6x21,x20,故x2函数f x 的定义域是令t6x2,就y1t ,t 1又x2,x2006x21,即 0 01t1,即 0y1函数的值域是01, 评注：利用指数函数的单调性求值域时,要留意定义域对它的影响4最值问题例 4 函数ya2x2 ax1 a0 且a1在区间 11, 上有最大值14,就a 的值是_名师归纳总结 分析：令tx a 可将问题转化成二次函数的最值问题,需留意换元后2t 的取值范畴1第 11 页,共 15 页解：令tx a ,就t0,函数ya2
30、 x2ax1可化为yt2 1,其对称轴为t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a1时,x11, ,1 aaxa,即1 a a当 ta 时,y max a2 1214解得a3或a5（舍去）；当 0a1时,x11, ,aax1,即a 1,aat1时,y max112214,aa解得a1或a1（舍去）, a 的值是 3 或1 335评注：利用指数函数的单调性求最值时留意一些方法的运用,比如：换元法,整体代入等5解指数方程9 t2例 5 解方程3x22 3xt800, 令tx 3 t0, 上 述 方 程 可 化 为解 ： 原 方 程 可 化 为9x 3 280
31、 3x980 t90,解得t9或1 x（舍去）, 399,x2,经检验原方程的解是x2评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要留意验根6图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 y 9 3 x5 的图象,可以把函数 y 3 x的图象（）A向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度x x 2分析：留意先将函数 y 9 3 5 转化为 t 3 5,再利用图象的平移规律进行判定解：y 9 3 x5 3 x 25,把函数
32、y 3 x的图象向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度,可得到函数 y 9 3 x5 的图象,应选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟识基本函数的图象,并把握图象的变化规律,比如：平移、伸缩、对称等&对数函数 y=logax 名师归纳总结 假如a0,且aN1,Ma0,N0,那么：第 12 页,共 15 页1logaMlogMlogaN；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2logMnlogaMlogaN；aN3logaMnlogaMnR留意：换底公式logablogcb（a0,且a1；c0,且c1；b0）logca幂函数 y=xaa 属于 R 1、幂函数定义：一般地,形如yxaR 的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在 （0,+）都有定义并且图象都过点 （1,1）；（2）0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0 ,上是增函数特殊地,当1时,幂函数的图象下凸； 当01时,幂函数的图象上凸；（