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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学案 34 一元二次不等式及其解法 自主梳理1一元二次不等式的定义只含有一个未知数,且未知数的最高次数是_的不等式叫一元二次不等式2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式 0 0 0 的图象有两相异实根一元二次方程bx1,2有两相等实根没有实根ax2bxc0 b2 4acx1x2 a0 的根2a_ x10 x| xx22 式 axa0 x| x1x0 的解集自我检测 12022 广州模拟 已知 p：关于 x 的不等式 x 就 p 是 q 的 22axa0 的解集是 R,q：1a
2、f 1 的解集是 x6,x0,A 3,1 3 , B 3,1 2 ,C 1,1 3 , D , 3 1,3 3已知不等式 x 22x30 的解集为 A,不等式 x 2 x60 的解集是 B,不等式 x 2 axb0 的解集为 3,2 ,就 yf x 的图象是 5当 x1,2 时,不等式 x2mx40；29 x 26x10.变式迁移 1 解以下不等式：12 x 24x30；2 3x 22x80；38 x116 x 2. 探究点二含参数的一元二次不等式的解法22xa0. 例 2已知常数 aR,解关于 x 的不等式 ax变式迁移 2 解关于 x 的不等式 ax2 a 1 x10. 细心整理归纳 精选
3、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -探究点三 一元二次不等式恒成立问题例 3 2022 巢湖月考 已知 f x x恒成立,求 a 的取值范畴22ax2 aR ,当 x 1, 时,f x a变式迁移 3 1 关于 x 的不等式4xm x 22x34xp3 对一切 0p4 均成立,试求实数x 的取值范畴转化与化归思想的应用例12 分 已知不等式ax 2bxc0 的解集为 , ,且 0 ,求不等式cxbxa0 a 0 恒成
4、立的条件是a0,24ac0；ax2bxc0 a 0 恒成立的条件 b是a0, b 2 4ac0 ,集合 Q x| x 2x20 ,就 x Q是xP 的 A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件32022 银川模拟 已知集合 M x| x 22 008 x2 0090 ,N x| x 2axb0 ,如 MNR,M N2 009 ,2 010 ,就 Aa2 009 ,b 2 010 Ba 2 009 ,b2 010 Ca2 009 ,b2 010 Da 2 009 ,b 2 010 4如 m1 x 2m1 x3 m11 Bm1 13 13Cm1 或 ma2a
5、30,就使得 1 aix 21 i 1,2,3 都成立的 x 的取值范畴是 A. 0,1B. 0,2a1a1C. 0,1D. 0,2a3a3二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 6在 R上定义运算 .：x.yx1 y ,如不等式 xa . xa0,7 已 知 函 数 f x 就 满 足 f x1 的 x 的 取 值 范 围 为x 2,x0,_82022 泉州月考 yf x 的 的 解 集 为已知函数 f x 的定义域为 , , f x为 f x 的导函数,函数图 象 如 右 图 所 示 , 且 f 2 1 , f 3 1 , 就 不 等 式 f x 2 61_三、解答题 共 38 分 细心
6、整理归纳 精选学习资料 912 分 解关于 x 的不等式xa xa 20,f,解得 m 5. f,课堂活动区例 1 解 1 两边都乘以 3,得 3x 26x20,且方程 3x 26x203 3 3 3的解是 x113,x213,所以原不等式的解集是 x|1 3 x13 2 不等式 9x 26x10,其相应方程 9x 26x10, 6 24 9 0,上1述方程有两相等实根 x3,结合二次函数 y9x 26x1 的图象知,原不等式的解集为 R. 变式迁移 1 解 1 不等式 2x 24x30 可转化为 2 x1 210,2x 24x30,且方程 3x 22x80 的解是 x1 2,4 4x23,所
7、以原不等式的解集是 , 2 3, 13 原不等式可转化为 16x 28x10,即 4 x1 20,原不等式的解集为 4 例 2 解 上述不等式不肯定为一元二次不等式,当 a0 时为一元一次不等式,当 a 0 时为一元二次不等式,故应对 a 进行争论,然后分情形求解1 a0 时,解为 x0.2 a0 时, 44a 2. 当 0,即 0a1 时,方程 ax 22xa2 2 211a 11a 11a0 的两根为 a,不等式的解集为 x| a x a 2 当 0,即 a1 时, x.；当 1 时, x.3 当 a0,2 2即 1a0 时,不等式的解集为 x| x1a 1a 0,即 a 1时,不等式化为
8、 x1 20,解为 xR且 x 1. 3 0,即 a1 时, xR. 综上所述,当 a1 时,原不等式的解集为 .；当 0a1 时,2 211a 11a解集为 x| a x0；当 1a0 时,解2 211a 11 a集为 x| x a ；当 a 1 时,解集为 x| x R且 x 1 ；当 a1. 当 a0 时,原不等式变形为 x1 a x11 时,解得1 1ax1；a1 时,解得 x.；0a1 时,解得 1x a. 当 a0 ,1 a1,解不等式可得1 x1. 综上所述,当a0 时,不等式解集为 ,1 a 1 , ；当 a0 时,不等式解集为1 , ；当 0a1 时,不等式解集为 1 a,1
9、 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3 解 方法一 f x xa 22a 2,此二次函数图象的对称轴为 xa. 当 a , 1 时, f x 在 1, 上单调递增,f xminf 1 2a3. 要使f x a 恒成立,只需 f x mina,即 2a3 a,解得 3 a0,不等式 x 2 2x32 同解于 4xm0. 要使原不等式对任意实数 x 恒成立,只要 2x 28x6m0对任意实数 x 恒成立 0,即 6486 m0,整理并解得 m4xp3, x1
10、 px 24x30. 令 g p x1 px 2 4x3,g就要使它对 0 p4 均有 g p0 ,只要有 . x3 或 x0,x1或x1,2x1 或 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 2x2.x 211.21x2. 2D 化简得 P x1 ,Q x 2,或 x1 ,集合 P,Q之间不存在包含关系,所以 xQ是 xP 的既不充分又不必要条件 3D 化简得 Mx| x2 009 ,由 MNR,MN2 009,2 010可知 N x|1 x2 010 ,即 1,2 010是方程 x 2axb0 的两个根所以 b1 2 010 2 010 , a 12 010 ,即 a 2
11、 009. 4C 当 m 1 时,不等式变为2x60,即 x3,不符合题意当 m 1 时,由题意知m10,2mm, m化简,得m10,解得 m0,5B 1 aix21,即 a i x 2 2aix0,即 aix aix20,这个不等式可以化为x x2 ai0,即 0x2 ai,如对每个都成立,就2 ai应最小,即ai 应最大,也即是2 0x a1. 6 1 32,2 解析由题意知, xa . xa1 . xa1 xa0.因上式对 xR都成立,所以 14 a 2a10 ,即 4a24a 30. 所以1 2a0 时,由 log 2x1,得 x2；当 x0 时,由 x21,得 x1. 综上可知, x
12、 的取值范畴为 , 1 2 , 82,3 3, 2 解析由导函数图象知当x0,即 f x 在 , 0 上为增函数；当 x0 时, f x1 等价于f x26 f 2 或 f x26 f 3 ,即 2x 260 或263,解得 x2,3 3, 2 9解xa xa 20. xa xa20 ,2 分 当 a0 或 a1 时,原不等式的解集为.；4 分 当 a1 时, aa2,此时 axa2；7 分 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 0aa 2,此时 a 2xa.10 分 综上,当 a1 时,原不等式的解集为 x| axa 2 ；当 0a1 时,原不等式的解集为 x| a 2xa ；当 a0 或 a1 时,原不等式解集为 .12 分 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -