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1、学案 34 一元二次不等式及其解法自主梳理1一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是_的不等式叫一元二次不等式2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式b24ac 0 0 0) 的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1,2bb2 4ac2a(x10 的解集a0 x|xx2x|x_ a0 x|x1x0 的解集是R，q：1a0，则p是q的( ) A充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件2设函数f(x)x24x6，x0，x6，xf(1) 的解集是 ( ) A( 3,1) (3， ) B ( 3,1) (
2、2 ，)C( 1,1) (3， ) D ( ， 3) (1,3) 3已知不等式x22x30 的解集为A，不等式x2x60 的解集是B，不等式x2axb0 的解集为 ( 3,2) ，则yf( x) 的图象是( ) 5当x(1,2) 时，不等式x2mx40；(2)9x26x10.变式迁移 1 解下列不等式：(1)2x24x30；(2) 3x22x80；(3)8x116x2. 探究点二含参数的一元二次不等式的解法例 2已知常数aR，解关于x的不等式ax22xa0. 变式迁移 2 解关于x的不等式ax2(a 1)x10. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
3、- -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 探究点三一元二次不等式恒成立问题例 3(2011巢湖月考) 已知f(x) x22ax2 (aR) ， 当x 1， ) 时，f(x) a恒成立，求a的取值范围变式迁移 3 (1) 关于x的不等式4xmx22x34xp3 对一切 0p4 均成立，试求实数x的取值范围转化与化归思想的应用例(12 分 ) 已知不等式ax2bxc0 的解集为 ( ，)，且 0，求不等式cx2bxa0 (a0)恒成立的条件是a0，b24ac0；ax2bxc0 (a0)恒
4、成立的条件是a0，b2 4ac0 ，集合Qx|x2x20，则xQ是xP的( ) A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3(2011银川模拟) 已知集合Mx|x22 008x2 0090 ，Nx|x2axb0，若MNR，MN(2 009 ，2 010 ，则 ( ) Aa2 009 ，b 2 010 Ba 2 009 ，b2 010 Ca2 009 ，b2 010 Da 2 009 ，b 2 010 4若 (m1)x2(m1)x3(m1)1 Bm1 Cm1 或ma2a30，则使得 (1aix)21 (i 1,2,3) 都成立的x的取值范围是( ) A. 0
5、，1a1B. 0，2a1C. 0，1a3D. 0，2a3二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6在 R上定义运算 ?：x?yx(1y) ，若不等式 (xa) ?(xa)0，x2，x0，则 满 足f(x)1的x的 取 值 范 围 为_8(2011泉州月考) 已知函数f(x) 的定义域为 ( ， ) ，f(x)为f(x) 的导函数，函数yf(x) 的图 象 如 右 图 所 示 ， 且f( 2) 1 ，f(3) 1 ， 则 不 等 式f(x2 6)1的 解 集 为_三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分) 解关于x的不等式xaxa20，f，f，解得m 5. 课堂活动区例 1解(1)
6、两边都乘以 3，得 3x26x20，且方程3x26x20的解是x1133，x2133，所以原不等式的解集是x|1 33x133 (2) 不等式9x26x10，其相应方程9x26x10，( 6)249 0，上述方程有两相等实根x13，结合二次函数y9x26x1 的图象知，原不等式的解集为R. 变式迁移1 解(1) 不等式2x24x30 可转化为2(x1)210，2x24x30，且方程3x22x80 的解是x1 2，x243，所以原不等式的解集是(， 2 43， ) (3) 原不等式可转化为16x28x10，即 (4x1)20，原不等式的解集为14 例 2 解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a
7、0 时为一元一次不等式，当a0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解(1) a0 时，解为x0.(2)a0 时， 44a2. 当 0，即 0a1 时，方程ax22xa0 的两根为11a2a，不等式的解集为x|11a2ax11a2a (2)当 0，即a1 时，x?；当 1 时，x?.(3) 当a0，即 1a0 时，不等式的解集为x|x11a2a 0，即a 1时，不等式化为(x1)20，解为xR且x 1. (3)0，即a1 时，xR. 综上所述，当a1 时，原不等式的解集为?；当 0a1时，解集为 x|11a2ax0；当 1a0 时，解集为 x|x11a2a ；当a 1 时，解集为
8、x|x R且x 1 ；当a1. 当a0 时，原不等式变形为(x1a)(x1)1 时，解得1ax1；a1 时，解得x?；0a1 时，解得1x1a. 当a0 ，1a1，解不等式可得x1. 综上所述，当a0时，不等式解集为( ，1a) (1 ， ) ；当a0 时，不等式解集为(1 ，) ；当 0a1 时，不等式解集为 (1a，1) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 3解方法一f(x) (xa)22a
9、2，此二次函数图象的对称轴为xa. 当a( ， 1) 时，f(x) 在 1， ) 上单调递增，f(x)minf( 1) 2a3. 要使f(x) a恒成立，只需f(x)mina，即 2a3a，解得 3a0，不等式4xmx2 2x32 同解于 4xm0. 要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x28x6m0对任意实数x恒成立 0，即 648(6 m)0，整理并解得m4xp3， (x1)px24x30. 令g(p) (x1)px2 4x3，则要使它对0p4 均有g(p)0 ，只要有gg. x3 或x0，x211.x1或x1，2x2.2x1 或1x2. 2D 化简得Px1 ，Qx 2，或x1，集合P，
10、Q之间不存在包含关系，所以xQ是xP的既不充分又不必要条件 3D 化简得Mx|x2 009 ，由MNR，MN(2 009,2 010可知Nx|1x2 010 ，即 1,2 010是方程x2axb0 的两个根所以b12 010 2 010 ，a 12 010 ，即a 2 009. 4C 当m 1 时，不等式变为2x60，即x3，不符合题意当m 1时，由题意知m10，m2mm，化简，得m10，解得m1311. 5B (1 aix)21，即a2ix2 2aix0，即aix(aix2)0，这个不等式可以化为x x2ai0，即 0 x2ai，若对每个都成立，则2ai应最小，即ai应最大，也即是0 x2a
11、1. 6 ( 12，32) 解析由题意知，(xa) ?(xa)1? (xa)(1 xa)0.因上式对xR都成立，所以14(a2a1)0，即 4a24a 30. 所以12a0 时，由 log2x1，得x2；当x0 时，由x21，得x1. 综上可知，x的取值范围为( ， 1)(2 ， ) 8(2,3)( 3， 2) 解析由导函数图象知当x0，即f(x) 在( ， 0) 上为增函数；当x0时，f(x)1 等价于f(x26)f( 2) 或f(x26)f(3) ，即 2x260 或0 x263，解得x(2,3) ( 3， 2) 9解xaxa20? (xa)(xa2)0 ，(2 分 ) 当a0 或a1 时
12、，原不等式的解集为?；(4 分 ) 当a1 时，aa2，此时axa2；(7 分 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 当 0aa2，此时a2xa.(10 分) 综上，当a1 时，原不等式的解集为x|axa2 ；当 0a1 时，原不等式的解集为x|a2xa；当a0 或a1 时，原不等式解集为?.(12分) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -