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1、 3.3一元二次不等式及其解法(二) 自主学习知识梳理1解分式不等式的同解变形法则(1)f xg x0? _；(2)f xg x0? _；(3)f xg xa?f x ag xg x0. 2处理不等式恒成立问题的常用方法(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2bxc0 (a 0)恒成立 ? _；ax2bxc0 (a0)恒成立 ? _. (2)一般地，若函数yf(x)，xD 既存在最大值，也存在最小值，则：af(x)， xD 恒成立 ? _；af(x)， xD 恒成立 ? _. 自主探究对于一元二次方程ax2bxc0 (a0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？(1)两个
2、正根 ? _；(2)两个负根 ? _；(3)一正一负根 ? _；(4)两根都小于k? _；(5)一根大于k，一根小于k? _. (注：答案不唯一)对点讲练知识点一分式不等式的解法例 1解下列不等式：(1)x 12 x 2；(2)x22x3 x2x61. 知识点二恒成立问题例 2设函数 f(x)mx2 mx1. (1)若对于一切实数x，f(x)0 恒成立，求m 的取值范围；(2)对于 x1,3， f(x)m(x21)对满足 |m| 2 的所有实数都成立，求x 的取值范围知识点三一元二次方程根的分布名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳
3、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 3设 aR，关于 x 的一元二次方程7x2 (a13)xa2a20 有两实根x1，x2，且 0 x11x2f(x)恒成立 ? af(x)max；(2)af(x)恒成立? a1 Bx|x1 C x|x1 或 x 2 D x|x 2 或 x1 2不等式x22x2x2x12 的解集为 () Ax|x 2 BRC?Dx|x2 3若 a0，b0，则不等式b1xa 等价于 () A1bx0 或 0 x1aB1ax1bCx1bDx1a名师归纳总结 精品学习资料 - - -
4、 - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4设函数f(x)x24x 6，x0，x6， xf(1)的解集是 () A(3,1)(3， ) B(3,1)(2， ) C(1,1)(3， ) D(， 3)(1,3) 5对任意a1,1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值恒大于零，则x 的取值范围是() A1x3 Bx3 C1x2 Dx2 二、填空题6如果 Ax|ax2 ax10 ?，则实数a 的取值范围为_7已知 x 1 是不等式k2x26kx8
5、 0 的解，则 k 的取值范围是_8已知关于x 的不等式axx11 的解集为 x|x3 ，则 a 的值是 _三、解答题9已知函数f(x)x2axb(a，b 为常数 )，且方程f(x)x120 有两个实根为x13，x24. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设 k1，解关于x 的不等式： f(x)0(2)f x g x 0g x 02(1)a0 0af(x)maxa0 x1x20(2) 0 x1x20(3) 0 x1x20(4) 0 x1 x20(5) 0 x1k x2k 0对点讲练例 1解(1)x 12 x2?x12x20?5x2x0?x5x20?x2 x5 0 x20 x2 或 x5.
6、 原不等式的解集为x|x0 x2 x60 x22x 30 x2x60 由解得 x|x1；由解得 x|x3不等式组 (1)的解集是 x|x3由解得 x| 3x1 ；由解得 x| 2x3 不等式组 (2)的解集是 x|2x1 综上，原不等式的解集是x|x3 或 2x3 变式训练 1解因为 x2x10，所以原不等式可化为x2x2x1，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 即 x210，解得 1x1，所以原不
7、等式的解集为x|1x1 例 2解(1)要 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然 10. 若 m0，m0， m2 4m0? 4m0. 4m0. (2)要 f(x)m5，就要使m x12234m60 时， g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)，7m60，得 m67.0m67. 当 m0 时， 60 恒成立当 m0 时， g(x)在1,3上是减函数f(x)maxg(1)m60，得 m6.m0. 综上所述， m0，又m(x2x1)60，m6x2x1. 函数 y6x2x16x12234在1,3 上的最小值为67. 只需 m67即可变式训练 2解不等式变为m(x21)(2x1)0，即 f(
8、m)m(x21)(2x 1)0 在m|2m2 上恒成立，故f 2 0，f 2 0.解得712x132，即 x 的取值范围是712，132. 例 3解设 f(x)7x2(a13)x a2a2. 因为 x1，x2是方程 f(x)0 的两个实根，且 0 x11,1x20，f 1 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - ?a2a 20，7 a 13 a2a20?a2a 20，a22a80?a2，2a4，a3?
9、 2a1 或 3a4. 所以 a 的取值范围是a|2a1 或 3a0.关于 t 的二次方程有两不同正根的充要条件为： m32 4m0 x1x2 m3 0 x1 x2m0，解得 0m2 时，原不等式变为x10，即 x1. 不等式的解集为x|x1 或 x 2 2A原不等式 ? x22x20? (x2)20，x2. 不等式的解集为x|x2 3Db1x01xa或xb?x0 x1a或x0bx1a或 x3，解得 x3 或 0 x1；当 x3，解得 3xf(1)的解集是x (3,1)(3， ) 5B设 g(a)(x2)a(x24x4) g(a)0 恒成立且a 1,1 名师归纳总结 精品学习资料 - - -
10、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - ?g 1 x2 3x20g 1 x25x60?x2x3? x3. 60a4 解析a0 时， A?；当 a 0时， A? ax2ax10 恒成立 ?a0 0? 0a4，综上所述，实数a 的取值范围为0a4. 7k2 或 k4 解析x1 是不等式 k2x26kx80 的解，把 x1 代入不等式得k26k80，解得 k 4 或 k 2. 8.23解析原不等式化为axx 11a1 x1x10，其等价于 (x1)
11、( a1)x10. 不等式的解集为x|x3 ，x11a3，解得 a23. 9解(1)将 x13，x24 分别代入方程x2axbx120 得93ab 9，164ab 8，解得a 1b2，所以 f(x)x22 x(x2)(2)不等式即为x22xk 1 xk2x，可转化为x2 k1 xk2x0. 当 1k2 时，原不等式的解集为x|1x2 ；当 k2 时，不等式为(x 2)2(x1)0，原不等式的解集为x|1x2 ；当 k2 时，原不等式的解集为x|1xk综上知，当 1k2 时，不等式的解集为x|1x2 ；当 k2 时，不等式的解集为x|1x2 ；当 k2 时，不等式的解集为 x|1xk 10解(1
12、)当 a210 时，由a210， a124 a21 0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 得 a53.又 a210 时，得 a 1. a 1 时，满足题意a1 时，不合题意实数 a 的取值范围为a1 或 a53. (2)只要 t(a21)x2(a 1)x1 能取到 (0， )上的任何值，则f(x)的值域为R，故当 a210 时，有a210， 0，得 1a53. 又当 a210，即 a1 时， t 2x1 符合题意a 1 时不合题意实数 a 的取值范围为1a53. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -