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1、九年级数学第一轮复习923 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆弧长弧长
2、扇形的面积扇形的面积圆的定义（运动观点）l在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。l固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”一、与圆有关的概念圆的定义辨析v篮球是圆吗？圆必须在一个平面内v以3cm为半径画圆，能画多少个？v以点O为圆心画圆，能画多少个？v由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置v圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线v圆周上的点与圆心有什么关系？圆的定义（集合观点）v圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；到定
3、点的距离等于定长的点都在圆上。v一个圆把平面内的所有点分成了多少类？v你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？圆的性质v圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。v圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。v圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做）叫做直径直径COAB连接圆上任意两点的线段（如图连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做叫做弦弦，弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆半圆COAB弧圆上任意两点间的部分
4、叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A、B为端点的弧记作为端点的弧记作 AB，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”COAB劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧.大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧.（如图中的（如图中的AC）(用三个字母表示用三个字母表示,如图中的如图中的ACB)想一想想一想判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(4)(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(
5、6)(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧等弧就是拉直以后长度相等的弧 请将自己所画的圆与同伴所画的请将自己所画的圆与同伴所画的圆进行比较，圆进行比较，它们是否能够完全重它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？全重合？O1rO2r半径相等的两个圆叫做半径相等的两个圆叫做等圆等圆。圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;半径相等的两个圆是等圆半径相等的两个圆是等圆.判断题判断题弓形弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同
6、心圆同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：注意：OABCDE垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，
7、平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACB“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直
8、径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.n你可
9、以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 v如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这
10、条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦1、如图、如图,已知已知 O的半径的半径OA长为长为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长为的长为 _.OABC3AC=BC弦心距弦心距半径半径半弦长半弦长反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、圆心到弦
11、的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径，直径CEAB于于D，求半径求半径OC的长。的长。垂径垂径3、如图，、如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线段段，这是一条非常重要，这是一条非常重要的的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦长径、弦长构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为直，便将问
12、题转化为直角三角形的问题。角三角形的问题。MAPBOA OCDAB当两条弦在圆心的同侧时当两条弦在圆心的同侧时OCDAB解解:当当两条弦在圆心的两侧时两条弦在圆心的两侧时例例4 4已知圆已知圆O O的半径为的半径为5cm,5cm,弦弦ABAB弦弦CD,AB=6cm,CD=8cm,CD,AB=6cm,CD=8cm,则则ABAB与与CDCD距离是距离是 cm.cm.FE过过O作作OE AB于于E点点,连接连接OB,由垂径定理得由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3延长延长EO交交CD于于F,连接连接OC335OB=5,由勾股定理得由勾股定理得:OE=4又又 AB CDOF CD由垂径定理得由垂径
13、定理得:CF=DF=0.5CD=4OC=5,由勾股定理得由勾股定理得:OF=3则则EF=OE+OF=7444533455FEEF=OE-OF=11、已知、已知 O中，弦中，弦AB垂直于直径垂直于直径CD，垂足为，垂足为P，AB=6，CP=1，则，则 O的半径为的半径为-。2、已知、已知 O的直径为的直径为10cm,A是是 O内一点，且内一点，且OA=3cm,则则 O中过点中过点A的最短弦长的最短弦长=-cmABCDOPOA584.4.如图所示，已知如图所示，已知RtRtABCABC中，中，C=90,AC=C=90,AC=,BC=1,BC=1,若以若以C C为圆心，为圆心，CBCB为半径的圆交为
14、半径的圆交ABAB于于P P，则，则APAP 。D圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角.圆周角圆周角:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都与圆相交的并且两边都与圆相交的角角,叫做叫做圆周角圆周角.OBAOBACCDF圆心角：如圆心角：如BOA圆内角：如圆内角：如BCA圆周角：如圆周角：如BDA圆外角：如圆外角：如BFA角的顶点角的顶点在圆心在圆心角的顶点在圆周上角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢的角就是圆周角呢?圆周角定义辨析：圆周角定义辨析：圆周角：圆周角：顶点在圆上顶点在圆上，并且，并且两边都和圆相两边都和圆相交交的角。的角
15、。圆心角圆心角:顶点在圆心顶点在圆心的角的角.弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等的弧相等，所对的弦也相等在同圆（或等圆）中，如果圆心角、在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。对应的其余两个量都分别相等。同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果圆心角相等如果圆心角相等,那么它所那么它所对的弧相等对的弧相等,所对的弦相等所对的弦相等.(2)在圆
16、中在圆中,如果弧相等如果弧相等,那么它所对的圆心角相那么它所对的圆心角相等等,所对的弦相等所对的弦相等.(3)在一个圆中在一个圆中,如果弦相等如果弦相等,那么它所对的弧相那么它所对的弧相等等,所对的圆心角相等所对的圆心角相等.ABDCO COD=AOBABCD=AB=CDOABCOABCOABC即即 ABC=AOC.ABC=AOC.圆周角定理：圆周角定理：在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角的性质圆周角的性质:化化归归化化归归圆周角定理分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法1、已知已知AOB75，求求：ACB2、已知已
17、知AOB120，求求：ACB3、已知已知ACD30，求求：AOB4、已知已知AOB110，求求：ACB在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与 AEB、ACB 是是同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角 ADB=AEB=ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性质性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径.AB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角
18、的性质:性质性质5:圆内接四边形对角互补。圆内接四边形对角互补。1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60，ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与AC之间的关系为（）；A.AB=2AC B.AB2AC D.不能确定3、如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么BOC等于()；A150 B130 C120 D60图1图240BC4.如图：圆如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的圆，则这条弦所对的圆心角是心角是,圆周角是圆周角是.60度度30或或150度度5：已知：已知ABC三点
19、在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，如果如果 AOC=140，求，求 B的度数的度数D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.AOC=140 D=70 B=180 70 =110 6.6.半半径径为为1 1的的圆圆中中有有一一条条弦弦，如如果果它它的的长长为为 ，那那么么这这条弦所条弦所对对的的圆圆周角周角为为 ()A.60 A.60 B.120 B.120 C.45 C.45 D.60 D.60或或120120D7.7.如如图图，四四边边形形ABCDABCD内内接接于于O O，若若它它的的一一个个外外角角DCE=70DCE=70，则则BOD=(BOD=()A A3535 B.70 B.
20、70 C C110110 D.140 D.140 D8.8.如图所示，弦如图所示，弦ABAB的长等于的长等于O O的半径，点的半径，点C C在在AmBAmB上上,则则C=C=。30 如图，设如图，设O O 的半径为的半径为r r，A A点在圆内点在圆内B B点在圆上点在圆上C C点在圆外点在圆外点点A在在 O内内 点点B在在 O上上 点点C在在 O外外 反反过过来来，如如果果已已知知点点到到圆圆心心的的距距离离和和圆圆的的半半径径之之间的关系，可以判断点和圆的位置关系间的关系，可以判断点和圆的位置关系?OAr OB=r OCrABCrOAr OB=r OCrO二、点和圆的位置关系二、点和圆的位
21、置关系设设O O 的的半半径径为为r r，点点P P到到圆圆心心的的距距离离OP=OP=d d，则有：则有：点点P在在 O内内 点点P在在 O上上 点点P在在 O外外 点与圆的位置关系点与圆的位置关系dr d=r drrpdprd Prd读作读作“等价于等价于”，它表示从，它表示从符号左端可以符号左端可以得到右端，也得到右端，也可以从右端得可以从右端得到左端到左端。1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？探究与实践OAOOOO 无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离 2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？探究与实践O OO
22、OAB以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意一点为的垂直平分线上的任意一点为圆心圆心,以这点以这点到到A A或或B B的距离为的距离为半径半径作圆作圆.无数个。它们的圆心都在线段无数个。它们的圆心都在线段ABAB的垂直平分线上。的垂直平分线上。3 3、平面上有三点、平面上有三点A、B、C，经过，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？三点的圆有几个？圆心在哪里？归纳结论归纳结论：不在同一条直线上不在同一条直线上的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆。探究与实践BC经过经过B,CB,C两点的圆的两点的圆的圆心圆心在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.An经过经过A,B,CA,B,C
23、三点的圆的三点的圆的圆心圆心应该应该这两条垂直平分线的这两条垂直平分线的交点交点O O的位置的位置.O经过经过A,BA,B两点的圆的两点的圆的圆心圆心在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.1、O的半径为的半径为R，圆心到点，圆心到点A的距离为的距离为d，且，且R、d分别分别是方程是方程 6x80的两根，则点的两根，则点A与与 O的位置关系是（的位置关系是（）A点点A在在 O内部内部 B点点A在在 O上上C点点A在在 O外部外部 D点点A不在不在 O上上2、M是是 O内一点，已知过点内一点，已知过点M的的 O最长的弦为最长的弦为10 cm，最短的弦长为，最短的弦长为8 cm，则，则O
24、M=_ cm.3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，ABCD可以是可以是（）A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3D3D经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分三条边的垂直平分线的交点线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的内内接三角形接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。OABC 有关概念有关概念 分
25、别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABCOABCCABOO相交相交相切相切相离相离l（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。这时直线叫做圆的割线。（2）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。这时直线叫做圆的切线。（3）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直
26、线和圆相离。）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。OOO三三.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆位置关系的数量特征直线与圆位置关系的数量特征相交相交相切相切相离相离rd1rOOO（1）直线）直线 l 和和 O 相交相交（2）直线）直线 l 和和 O 相切相切（3）直线）直线 l 和和 O 相离相离d d2 2rd d3 3 符号符号“”读作读作“等价于等价于”。它表示从左端可以推出右端，。它表示从左端可以推出右端，并且从右端也可以推出左端。并且从右端也可以推出左端。探索与发现探索与发现演示无切线割线无切点交点d rd=r02相切相交直线名称公共点名称 d r圆心到直线距离
27、d 与半径 r 关系1公共点个数相离直线和圆的位置关系1、直线、直线 与圆的位置关系表：与圆的位置关系表：2、本节课利用、本节课利用（1）类比点与圆的位置关系，从运动变化的观）类比点与圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；点来研究直线和圆的位置关系；（2）利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类讨论；）利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类讨论；（3）用了数形结合的思想，通过）用了数形结合的思想，通过 d 与与 r 这两个数量之间的关系这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系。来研究直线和圆的位置关系。切线的切线的判定判定定理定理v定理定理 经过半径的外端并且垂
28、直于这条半径的直经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线线是圆的切线.v老师提示老师提示:v切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一作过切点的半径是常用经验辅助线之一.CDBOAn如图如图nOA A是是O的半径的半径,直线直线CDCD经过经过A A点点,且且CDCDOA A,n CD CD是是O的切线的切线.（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）（）切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于
29、这条半径的直线是圆的切线.切线切线判定判定定理的应用定理的应用v1.已知已知O上有一点上有一点A,A,你能过点你能过点A A点作出点作出O的切线吗的切线吗?n老师提示老师提示:n根据根据“经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线”只要连接只要连接OA,A,过点过点A A作作OA A的垂线即可的垂线即可.O An2.已知已知O外有一点外有一点P,P,你还能过点你还能过点P P点作出点作出O的切线吗的切线吗?O P切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要要作出过这一点的
30、半径作出过这一点的半径，再证明直线垂直再证明直线垂直于这条半径即可；于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要作出圆心到直线的垂线段作出圆心到直线的垂线段，再证明这条再证明这条垂线段等于半径即可垂线段等于半径即可证明：连结证明：连结OPOP。ABAB为直径为直径 OB=OAOB=OA，BP=PCBP=PC，OPACOPAC。又又 PEACPEAC，PEOPPEOP。PEPE为为0 0的切线。的切线。例例1 1、ABCABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的OO，交边，交边BCBC于于P P，BP=PC,PEAC BP=PC,PEAC于于E E。求证
31、求证:PE:PE是是OO的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,圆圆O过过AC的的中点中点D,DEBC于于E证明证明:DE是圆是圆O的切线的切线.ABCDEO.切线切线的性质定理的性质定理v定理定理 圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径.v如图如图CDCD是是O的切线的切线,A,A是是切点切点,OA A是是O的半径的半径,vCDCDOA.A.n老师提示老师提示:n切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作作过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一.CDBOA 经过圆外一
32、点的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这个点到圆的切线长PAOBPA切线切线长定义：长定义：切线与切线长的区别：v切线是直线，不能度量。v切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB1=2 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。条切线的夹角。切线长定理切线长定理：APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提提 供了新的方法。供了新的方法。12切线长定理的
33、推广（议一议）v四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。CBADPLMNO圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等ABCDADBCv等腰梯形各边都与O相切，O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_。圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等ABCDADBC应用举例应用举例868CBADPLMNOv从一块三角形材料中从一块三角形材料中,能否剪下一个圆能否剪下一个圆,使其与各边都使其与各边都相切相切?n老师提示老师提示:n假设符合条件的圆已作出假设
34、符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离则它的圆心到三边的距离相等相等.因此因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径半径为圆心到三边的距离为圆心到三边的距离.三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系ABCABCI I三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系v这圆叫做三角形的这圆叫做三角形的内切圆内切圆.这个这个三角形叫做圆的三角形叫做圆的外切三角形外切三角形.v内切圆内切圆的圆心是三角形三的圆心是三角形三条角平分线的交点条角平分线的交点,叫做三叫做三角形的角形的内心内心.ABCIA AB BC CO O三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：A A
35、B BC CI I实质实质性质性质三角形的三角形的外心外心三角形的三角形的内心内心三角形三边垂直三角形三边垂直平分线的交点平分线的交点三角形三内角角三角形三内角角平分线的交点平分线的交点到三角形各边到三角形各边的距离相等的距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距离相等OOI I特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R=c2 2r=a+b-c2 2A AB BC Ca ab bc c直角三角形外接圆、内切圆半径的求法等边三角形外接圆、内切圆半径的求法基本思路：基本思路：构造三角形构造三角形BODBOD，BOBO为外接为外接圆半径，圆半径，DODO为内切圆半径。为内切圆半径。A AB BC
36、 COOD DR Rr r等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD 垂心（了解）重心（了解）外心（掌握）内心（掌握）交点性质位置三条高线三条高线的交点的交点三条角平三条角平分线的交分线的交点点三边垂直三边垂直平分线的平分线的交点交点三条中线三条中线的交点的交点在形内、在形内、形外或直形外或直角顶点角顶点在形内、在形内、形外或斜形外或斜边中点边中点在形内在形内在形内在形内到三角形到三角形各顶点距各顶点距离相等离相等到三角形到三角形三边距离三边距离相等相等把中线分把中线分成了成了2:12:1两部分
37、两部分三角形三角形的各种心：的各种心：例例3：如图，如图，ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x13xx13x9x9xADCBOFE如图，如图，ABCABC中中,C=90,C=90,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半径的半径r.r.OEBDCAF如图，从如图，从O O外一点外一点P P作作O O的两条切线，分别切的两条切线，分别切
38、O O于于A A、B B，在，在ABAB上任取一点上任取一点C C作作O O的切线分的切线分别交别交PA PA、PBPB于于D D、E E（1 1）若）若PA=2PA=2，则，则PDEPDE的周长为的周长为_；若；若PA=aPA=a，则，则PDEPDE的周长为的周长为_。（2 2）连结）连结OD OD、OEOE，若，若P=40 P=40，则，则DOE=_;DOE=_;若若P=k,DOE=_ P=k,DOE=_ 度度。E OCBDP42a70 70 4 4、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；（）2、直角三角形的外心是斜边的中点 （）5、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和1
39、2cm，则它的外接圆 半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比6、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆 6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1C C7、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_30cm正多边形：正多边形：各边相等各边相等，各角也相等各角也相等的多边形叫做正多边形。的多边形叫做正多边形。正正n n边形：边形：如果一个正多边形有如果一个正多边形有n n条边，那么这个正多边形叫条边，那么这个正多边形叫做正做正n
40、n边形。边形。三条边相等，三个角三条边相等，三个角也相等（也相等（6060度）度）四条边都相等，四个四条边都相等，四个角也相等（角也相等（9090度）度）四、四、正多边形和圆正多边形和圆想一想：v怎样找圆的内接正三角怎样找圆的内接正三角形？形？怎样找圆的内接正方怎样找圆的内接正方形？形？怎样找圆的内接正怎样找圆的内接正n n边边形？形？EFGH ABCD把圆分成n（n3）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；这个圆叫正多边形的外接圆。四、四、正多边形和圆正多边形和圆（1）.有关概念有关概念（2）.常用的方法常用的方法（3）.正多边形的作图正多边形的作图EFCD.边心距r半径半
41、径半径半径R R R R中心角O O O O边OABCRda知识精华知识精华:2.半径：正多边形外接圆的半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径叫做这个正多边形的半径半径.中心：一个正多边形外中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多接圆的圆心叫做这个正多边形的中心边形的中心OABFDCEG3.中心角：正多边形每以边中心角：正多边形每以边所对的外接圆的圆心角叫所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多一边的距离叫做这个正多边形的边心距边形的边心距一、知识要点概述一、知识要点概述 1、弧长公式和
42、扇形面积公式、弧长公式和扇形面积公式 n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l和含和含n圆心角的扇形的面积圆心角的扇形的面积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：五、圆中的计算问题五、圆中的计算问题 这样就不至于因死记硬背而出错这样就不至于因死记硬背而出错 将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：和半径表示的扇形面积公式：这一公式与三角形面积公式酷似为了便于记忆，这一公式与三角形面积公式酷似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长只要把扇形看成一个曲边三角形
43、，把弧长l看成底、看成底、R看看成底边上的高即可成底边上的高即可2、弓形面积、弓形面积 弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直观选用下列公式：与组合，实际应用时，可根据图形直观选用下列公式：当弓形所含的弧是劣弧时当弓形所含的弧是劣弧时,如图如图(甲甲)，S弓形弓形=S扇形扇形OABSAOB；当弓形所含的弧是优弧时，如图当弓形所含的弧是优弧时，如图(乙乙)，当弓形所含的弧是半圆时，如图当弓形所含的弧是半圆时，如图(丙丙)，1、圆的周长公式、圆的周长公式2、圆的面积公式、圆的面积公式C=2rS=r23、弧长的计算公式、弧长的计算公式4 4、扇形面积计算公式扇形面积计算公式圆中的计算圆中的计算公式归纳：公式归纳：与圆有关的辅助线的作法：与圆有关的辅助线的作法：辅助线，辅助线，莫乱添，莫乱添，规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，不起眼，圆半径，不起眼，角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心，切点和圆心，连结要领先；连结要领先；遇到直径想直角，遇到直径想直角，灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距，弦与弦心距，亲密紧相连；亲密紧相连；小结：小结：