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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆的标准方程与性质教学目标：1 明白椭圆的实际背景,明白椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质 . 高考相关点：在高考中所占分数： 13 分考查出题方式：解答题的形式,而且考查方式很固定,涉及到的学问点有：求曲线方程,弦长,面积,对称关系,范畴问题,存在性问题；涉及到的基础学问1引入椭圆的定义在平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数 大于 | F1F2|=2c 的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M| MF1| | MF2| 2a ,|
2、F1F2| 2c,其中 a0,c0,且 a,c 为 常数：有以下 3 种情形 1 假设 ac,就集合 P为椭圆；2 假设 ac,就集合 P为线段；3 假设 ac,就集合 P为空集2椭圆的标准方程和几何性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 标准方程x2 2y b2y2 2x b221 21 aa ab0 ab0 图形axa bx b 范畴对称性bybay a对称轴：坐标轴；对称中心：原点性顶点A1 a,0 ,A2 a,0 A10 , a ,A20 ,a 质轴焦距离心率a, b,c 的关系B10 , b ,B20 ,b
3、 B1 b,0 ,B2b,0 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b| F1F2| 2c ec a0 ,1 c2a2b2题型总结名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型一 椭圆的定义及其应用例 1：如下图,一圆形纸片的圆心为O,F 是圆内肯定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使 M与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD与 OM交于点 P,就点 P 的轨迹是 A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆,进而可以知道 结果为定值 ,进而依据椭圆的定义推断出点 P 的轨迹【 答 案 】 根 据 题 意 知
4、 ,CD 是 线 段 MF 的 垂 直 平 分 线 . ,定值 ,又明显 ,2 2练习：已知 F1,F2 是椭圆 C：x2 y2 1 ab0的两个焦点, P 为椭圆a bC上的一点,且PF 1PF ,假设 PF1F2 的面积为 9,就 b_故答案为：【解析】由题意的面积【答案】 3名师归纳总结 练习 2：已知 F1,F2 是椭圆2 x2 y91 的两焦点,过点 F2的直线交椭圆于 A,第 3 页,共 15 页16B 两点,在 AF1B 中,假设有两边之和是10,就第三边的长度为 A6B5C4D3【解析】由椭圆方程知,椭圆的长轴,就周长为 16,故第三- - - - - - -精选学习资料 -
5、- - - - - - - - 边长为 6. 所以正确答案为 A. 【答案】 A 类型二 求椭圆的标准方程例 2：在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C的中心为原点,焦点F1,F2 在 x 轴上,离心率为2 2 . 过 F1的直线 l 交 C于 A,B 两点,且 ABF2的周长为 16,那么椭圆 C的方程为 _2 2x y【解析】设椭圆方程为 a 2b 21 a b0,2由 e2,知 c a2,故b 21 2. 由于 ABF2 的周长为 | AB| | BF2| | AF2| | AF1| | AF2| | BF1| | BF2| 4a16,故 a4. 2 2b 28,椭圆 C的方程为x 16y
6、81. F1【答案】2 x162 y81 练习 1：设 F1,F2 分别是椭圆 E：x22 yb 210bb0 上,2 xa 22 yb 21 a0,b第 5 页,共 15 页 ac22 ac 21,c4ac 2c210ac3a 20,e 210e30,解得 e2 75. 【答案】 275 练习 1：已知 A、B是椭圆2 xa 22 yb 21 ab0 和双曲线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0 的公共顶点 P 是双曲线上的动点, M是椭圆上的动点 P、M都异于 A、B ,且满意 APBP AMBM ,其中 R,设直线 AP、BP、AM、BM的斜率分
7、别记为k1、k2、k3、k4,k1k25,就 k3k4_【解析】设出点 P、M的坐标,代入双曲线和椭圆的方程,再利用已知满意及其斜率的运算公式即可求出【 答 案 】 A , B是 椭 圆和 双 曲 线的公共顶点,不妨设 A-a,0,Ba,0设Px1,y1,Mx2,y2,其中 R,x1+a,y1+x1-a,y1= x2+a,y2+x2-a,y2,化为 x1y2=x2y1P、M 都异于 A、B,y1 0,y2 0由 k1+k2=5,化为,*又,代入* 化为k3+k4=,又, k3+k4=-5故答案为 -5类型四 直线与椭圆的位置关系例 4：2022 四川卷 已知椭圆 C：2 xa 22 yb 21
8、 ab0 的左焦点为 F 2,0 ,离心率为6 3 . 1 求椭圆 C的标准方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 设O为坐标原点,T为直线x 3 上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q. 当四边形 OPTQ是平行四边形时,求四边形 OPTQ的面积【解析】1依据已知条件求得 和 的值,于是可得 的值,即得到椭圆的标准方程；2设出点 坐标和直线 和 的方程,将其与椭圆方程联立,依据韦达定理得到根与系数的关系,依据边角关系得到平行四边形 底边的长和对应的高,代入面积的表达式即可得到结论；【答案】1由已知可得,所以；
9、又由,解得,所以椭圆 的标准方程是；2设 点的坐标为,就直线 的斜率；当时,直线 的斜率,直线 的方程是；当时,直线 的方程是,也符合 的形式；设,将 直 线 的 方 程 与 椭 圆 的 方 程 联 立 , 得； 消 去, 得；其判别式,所以,；因为 四 边 形 是 平 行 四 边 形,所 以,即；所以,解得；此时,四边形的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 1：2022 陕西卷 已知椭圆2 x2 yb 21ab0经过点 0, 3,离心率a 2为1 2,左、右焦点分别为F1c,0,F2c,01求椭圆的方程
10、；2假设直线 l：y1 2xm 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点,且满意|AB| |CD|5 3 4,求直线 l 的方程【解析】 1依据椭圆上的一点和离心率建立方程,求出椭圆方程中的参 数；2依据圆心到直线的距离求出的长度,建立直线和椭圆的方程组求出的长度,依据和的关系求出；,所以椭圆的【答案】由题设知解得方程为；为直径的圆的方程为得,所以圆心到直线的2由题设,以距离,由；所以；设,由得；由求根公式可得,；所以,名师归纳总结 由得,解得,满意；所以直线的第 8 页,共 15 页方程为或；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
11、 - 类型五 圆锥曲线上点的对称问题例 5：椭圆 E 经过点 A2 ,3 ,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e1 2,其中 F1AF2的平分线所在的直线1 求椭圆 E 的方程；l 的方程为 y2x1. 2 在椭圆上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？假设存在,请找出；假设不存在,说明理由【解析】 1由定义法代入即可得答案；方程代入,与椭圆方程联立后得到冲突,即可；【答案】1设椭圆 E 的方程为+=1,由 e= ,即 = ,a=2c,得 b2=a2-c2=3c2.椭圆方程具有形式+=1.将 A2,3 代入上式 , 得+=1,解得 c=2,椭圆 E 的方程为+=1.2解法
12、一 :假设存在这样的两个不同的点BCl,kBC= =- .2假设存在直线,先设出直线Bx1,y1和 Cx2,y2,设 BC的中点为 Mx0,y0,就 x0=,y0=,由于 M 在 l 上, 故 2x0-y0-1=0.名师归纳总结 又 B,C在椭圆上 ,所以有+=1 与+=1.第 9 页,共 15 页两式相减 ,得+=0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即+=0.将该式写为+=0, 并将直线 BC的斜率 kBC和线段 BC的中点表示代入该表达式中,得 x0-y0=0,即 3x0-2y0=0. 2-得 x0=2,y0=3,即 BC的中点为点 A, 而这是
13、不行能的 .不存在满意题设条件的点 B 和 C.解法二 :假设存在 Bx1,y1,Cx2,y2两点关于直线 l 对称,就 lBC, kBC=- .设直线 BC 的方程为 y=- x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,即 x2-mx+m2-12=0.就 x1 与 x2 是该方程的两个根 .由韦达定理得 x1+x2=m, 于是 y1+y2=- x1+x2+2m= ,B,C的中点坐标为 .又线段 BC的中点在直线 y=2x-1 上,=m-1,得 m=4.即 B,C的中点坐标为 2,3,与点 A 重合 ,冲突 .不存在满意题设条件的相异两点 .练习 1：2022 湖南 如图
14、,正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a,名师归纳总结 ba0经过 C,F两点,就b a_.第 10 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b【解析】由题可得Ca,a ,Fab b ,由于 C,F在抛物线上 ,代入抛物线可得2221,故填21；a【答案】21下一讲讲解范畴,面积类型的题；随堂检测1. 2022 年高考福建卷已知椭圆E:x2y21 ab0的右焦点为F短轴的a2b2一个端点为M,直线l:3x4y0交椭圆E于A B两点 假设AFBF4,点M到直线l的距离不小于4,就椭圆E的离心率的取值范畴是53 4,1A0,3B0,3
15、C3,1D422【答案】 A E：x a2 2y b2F3,0 ,过点 F 的直线交椭圆于A,B 两点假设AB21 ab0 的右焦点为的中点坐标为 1 , 1 ,就 E 的方程为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2【答案】x 18 y 9 1 T：x a2 22y b 21 ab0 的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为 2c. 假设直线 y3 xc 与就PA1 PF2椭圆 T 的一个交点M满意 MF1F22MF2F1,就该椭圆的离心率等于_【答案】31 4已知双曲线x2 2y 31 的左顶点为A1,右焦点
16、为 F2,P 为双曲线右支上一点,的最小值为 _ 【答案】 -2 2 25.2022 包头测试与评估 已知椭圆x a 2y b 21 的左顶点为 A,左焦点为 F,点 P为该椭1圆上任意一点； 假设该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2,离心率 e2,就 AP FP 的取值范畴是_【答案】 0,12 2 2x y 2C1：a 2b 21 a b0 的右焦点为 F,上顶点为 A,P为 C1上任一点, MN是圆 C2：x y3 21 的一条直径, 与 AF平行且在 y 轴上的截距为 32的直线 l 恰好与圆 C2相切1 求椭圆 C1的离心率；x2 假设 PMPN 的最大值为49,求椭圆C1的方程l 与圆
17、 C2：【答案】1 由题意可知直线l 的方程为 bx cy3 c 0,由于直线2y 321 相切,所以d1,即 a 22c2,从而 e. 2 设 Px ,y ,圆 C2的圆心记为C2,就1c0 ,又名师归纳总结 x2y 321 y 32 2c217 cyc 第 12 页,共 15 页当 c3 时, max172c249,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 c4,此时椭圆方程为 1；5当 0c3时, max c32172c249,解得 c 53 但 c33,故舍去综上所述,椭圆C1的方程为1. 课下作业基础稳固1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆,交椭圆
18、于四个不同点, 顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率等于 D.1A.B.C.【答案】 C1、F2 为椭圆的两个焦点, 椭圆上有一点P与这两个焦点张成90 度的角,且 PF1F2PF2F1,D1：假设椭圆离心率为6,就 PF1F2： PF2F1 为3A1：5B1：3C1：2【答案】 A1,F2 分别是椭圆x2y21的左、 右焦点, P 为椭圆上一点, M 是 F1P 的中点, |OM|25163,就 P点到椭圆左焦点的距离为A4B3C2D5【答案】A名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - -
19、 x2my 221的焦距为 4,就 m 等于 10mA4B8C4 或 8D以上均不对【答案】 C1：x32 y21 外切,且与圆C2：x32 y281 内切的动圆圆心P 的轨迹方程为_【答案】x 225xy211ab0与双曲线x2y21的离心率分别为e1,e2,就166假设椭圆2y2a2b2a22 be1e2 的取值范畴为 _【答案】0,1x22 y1有共同的焦点F1,F2,且离心率互为倒数假设双曲线右支上一点P 到右1612焦点 F2 的距离为 4,就 PF2 的中点 M 到坐标原点【答案】 3O 的距离等于 _8.已知椭圆 C：x2y21,点 M 与 C的焦点不重合假设M 关于 C 的焦点
20、的对称点94分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C上,就 |AN| |BN| _【答案】 12才能提升9. 2022 福建卷设P,Q分别为圆 x 2 y62 22 和椭圆x 10y2 1 上的点,就P,Q两点间的最大距离是 2 D62 A52 B.462 C7【答案】 D 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10.2022 年高考湖南卷已知抛物线C 1:x 24y的焦点 F 也是椭圆C2:y2x21a2b2名师归纳总结 ab0的一个焦点,C 1与C 2的公共弦长为2 6,过点F 的直线l与C 1相交于第 15 页,共 15 页A B两点,与C 2相交于C D两点,且AC与BDC 2的方程；【答案】y2x2198- - - - - - -