《2022年椭圆的标准方程与性质 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年椭圆的标准方程与性质 .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、椭圆的标准方程与性质教学目标：1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点：在高考中所占分数： 13 分考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。涉及到的基础知识1引入椭圆的定义在平面内与两定点F1， F2的距离的和等于常数 (大于| F1F2|=2c) 的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M | MF1| | MF2| 2a，| F1F2| 2c，其中 a0，c0，且 a，c 为
2、常数：有以下 3 种情况(1) 假设 ac，则集合 P为椭圆；(2) 假设 ac，则集合 P为线段；(3) 假设 ac，则集合 P为空集2椭圆的标准方程和几何性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页标准方程x2a2y2b21 (ab0) y2a2x2b21 (ab0) 图形性质范围axa bybbxb aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1( a，0)，A2(a，0) B1(0 ，b) ，B2(0 ，b) A1(0 ，a) ，A2(0，a) B1( b，0) ，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为 2a；
3、短轴B1B2的长为 2b焦距|F1F2| 2c离心率eca(0 ，1) a，b，c的关系c2a2b2题型总结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页类型一椭圆的定义及其应用例 1： 如下图，一圆形纸片的圆心为O ， F 是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使 M与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD与 OM 交于点 P，则点 P的轨迹是 ( ) A椭圆B双曲线C抛物线D 圆,进而可以知道结果为定值 ,进而根据椭圆的定义推断出点 P 的轨迹【 答 案 】 根 据 题 意 知 ,CD 是 线 段 MF 的
4、垂 直 平 分 线 . ,(定值),又显然,练习：已知 F1，F2是椭圆 C：22221xyab(ab0)的两个焦点， P为椭圆C上的一点，且PF12PF ，假设 PF1F2的面积为 9，则 b_【解析】由题意的面积故答案为：【答案】 3练习 2： 已知 F1， F2是椭圆x216y291 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A，B两点，在 AF1B中，假设有两边之和是10，则第三边的长度为 ()A6B5C4D3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为 16，故第三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页边长为 6.
5、所以正确答案为 A. 【答案】 A 类型二求椭圆的标准方程例 2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点F1，F2在 x 轴上，离心率为22. 过 F1的直线 l 交 C于 A，B两点，且 ABF2的周长为 16，那么椭圆 C的方程为 _【解析】设椭圆方程为x2a2y2b21(a b0)，由 e22，知ca22，故b2a212. 由于 ABF2的周长为 | AB | | BF2| | AF2| | AF1| | AF2| | BF1| | BF2| 4a16，故 a4. b28，椭圆 C的方程为x216y281. 【答案】x216y281 练习 1：设 F1，F2分别是椭圆 E：
6、x2y2b21(0bb0) 上，2222()1()4()cacacac，c210ac3a20，e210e30，解得 e2 75. 【答案】 275 练习 1：已知 A、B是椭圆x2a2y2b21(ab0) 和双曲线x2a2y2b21( a0，b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页0) 的公共顶点 P是双曲线上的动点， M是椭圆上的动点 ( P、M都异于 A、B) ，且满足APBP(AMBM) ，其中R，设直线 AP 、BP 、AM 、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1k25，则 k3k4_【解析】设出点
7、P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出【 答 案 】 A ， B是 椭 圆和 双 曲 线的公共顶点，不妨设 A-a，0 ，Ba，0 设Px1，y1 ，Mx2，y2 ，其中 R，x1+a，y1+ x1-a，y1=x2+a，y2+ x2-a，y2，化为 x1y2=x2y1P、M 都异于 A、B，y10，y20由 k1+k2=5，化为， *又， ， 代入 * 化为 k3+k4=，又， k3+k4=-5故答案为 -5类型四直线与椭圆的位置关系例 4：(2014四川卷 ) 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0) 的左焦点为 F( 2，0) ，离心率为63. (
8、1) 求椭圆 C的标准方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页(2) 设O为坐标原点，T为直线x3 上一点， 过F作TF的垂线交椭圆于P，Q . 当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积【解析】 1根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；2设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。【答案】 1由已知可得，所以。又由，解得，所以椭圆的标准方程是。2设点的坐标为，则直线
9、的斜率。当时，直线的斜率，直线的方程是。当时，直线的方程是， 也符合的形式。设，将 直 线的 方 程 与 椭 圆的 方 程 联 立 ， 得。 消 去， 得。其判别式，所以，。因为四边形是平行四边形，所以，即。所以，解得。此时，四边形的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页练习 1：(2014陕西卷 )已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点 (0， 3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)假设直线 l：y12xm 与椭圆交于 A，B两点，与以 F1F2为直径的
10、圆交于 C，D两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程【解析】 1根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。2根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。【答案】由题设知解得，所以椭圆的方程为。2由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。所以。设，由得。由求根公式可得，。所以，由得，解得，满足。所以直线的方程为或。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页类型五圆锥曲线上点的对称问题例 5：椭圆 E经过点 A(2 ，3)，对称轴为坐标轴，焦
11、点F1，F2在 x 轴上，离心率 e12，其中 F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为 y2x1. (1) 求椭圆 E的方程；(2) 在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？假设存在，请找出；假设不存在，说明理由【解析】 1由定义法代入即可得答案。2假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。【答案】1设椭圆 E的方程为+=1,由 e= ,即 = ,a=2c,得 b2=a2-c2=3c2.椭圆方程具有形式+=1.将 A(2,3) 代入上式 , 得+=1,解得 c=2,椭圆 E的方程为+=1.2解法一 :假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和 C(x2,y2),
12、BC l,kBC=- .设 BC的中点为 M(x0,y0),则 x0=,y0=,由于 M 在 l 上, 故 2x0-y0-1=0.又 B,C在椭圆上 ,所以有+=1 与+=1.两式相减 ,得+=0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页即+=0.将该式写为+ =0, 并将直线 BC的斜率 kBC和线段 BC的中点表示代入该表达式中,得 x0-y0=0,即 3x0-2y0=0.2-得 x0=2,y0=3,即 BC的中点为点 A, 而这是不可能的 .不存在满足题设条件的点B 和 C.解法二 :假设存在 B(x1,y1),C
13、(x2,y2) 两点关于直线 l 对称,则 lBC, kBC=- .设直线 BC 的方程为 y=- x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,即 x2-mx+m2-12=0.则 x1与 x2是该方程的两个根 .由韦达定理得 x1+x2=m,于是 y1+y2=- (x1+x2)+2m=,B,C的中点坐标为.又线段 BC的中点在直线 y=2x-1 上,=m-1,得m=4.即 B,C的中点坐标为 (2,3),与点 A 重合,矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.练习 1：(2014湖南 )如图，正方形 ABCD和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C ， F两点
14、， 则ba_.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页【解析】由题可得C(,2aa),F(,2ab b),因为 C,F在抛物线上 ,代入抛物线可得21ba,故填21。【答案】21下一讲讲解范围，面积类型的题。随堂检测1. 2015 年高考福建卷已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点 假设，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是ABCD【答案】 A E：x2a2y2b21(ab0) 的右焦点为F(3,0) ，过点F的直线交椭圆于A，B两点假设AB的中点坐标为 (1 ， 1) ，则E的方程为 _22
15、22:1(0)xyEababFM:340lxyE,A B4AFBFMl45E3(0,23(0,43,1)23,1)4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页【答案】x218y29 1 T：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c. 假设直线y3(xc) 与椭圆T的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【答案】31 4 已知双曲线x2y231 的左顶点为A1， 右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1PF2的最小值为 _ 【答案】 -2 5.(2014 包头测试与评估
16、) 已知椭圆x2a2y2b21 的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点； 假设该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e12，则APFP的取值范围是_【答案】 0,12 C1：x2a2y2b21(ab0) 的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径， 与AF平行且在y轴上的截距为32的直线l恰好与圆C2相切(1) 求椭圆C1的离心率；(2) 假设PMPN的最大值为49，求椭圆C1的方程【答案】1) 由题意可知直线l 的方程为bx cy(3)c 0，因为直线l 与圆 C2：x2(y 3)21 相切，所以d1，即 a22c2，从而 e. (2) 设
17、 P(x， y) ， 圆 C2的圆心记为C2， 则1(c0) ， 又() ()x2(y 3)21 (y 3)2 2c217( cyc) 当 c3 时， ()max172c249，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页解得 c4，此时椭圆方程为 1；当 0c3时， ()max ( c3)2172c249，解得 c 53 但 c533，故舍去综上所述，椭圆C1的方程为1. 课下作业基础稳固1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点， 顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于(
18、) A.B.C.D.1【答案】 C1、 F2为椭圆的两个焦点， 椭圆上有一点P与这两个焦点张成90 度的角，且 PF1F2PF2F1，假设椭圆离心率为，则 PF1F2： PF2F1为()A1：5B1：3C1：2D1：【答案】 A1，F2分别是椭圆2212516xy的左、 右焦点， P为椭圆上一点， M 是 F1P的中点， |OM|3，则 P点到椭圆左焦点的距离为()A4B3C2D5【答案】A36精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页221102xymm的焦距为4，则 m 等于 ()A4B8C4 或 8D以上均不对【答
19、案】 C1：(x3)2 y21 外切，且与圆C2：(x3)2 y281 内切的动圆圆心P 的轨迹方程为_【答案】2212516xy6假设椭圆222210 xyabab与双曲线22221xyab的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为 _【答案】0,12211612xy有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数假设双曲线右支上一点P到右焦点 F2的距离为4，则 PF2的中点 M 到坐标原点O 的距离等于 _【答案】 38.已知椭圆C：22194xy，点 M 与 C的焦点不重合假设M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在C上，则 |AN| |BN| _【答案】 12能
20、力提升9. 2014福建卷设P，Q分别为圆x2(y6)22 和椭圆x210y2 1 上的点，则P，Q两点间的最大距离是( ) A52 B.462 C 72 D62 【答案】 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页10.2015 年高考湖南卷已知抛物线的焦点 F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F 的直线与相交于两点，与相交于两点，且与的方程；【答案】21:4Cxy22222:1yxCab(0)ab1C2C2 6l1C,A B2C,C DACBD2C22198yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页