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1、6陕西省榆林市定边县安边中学 王广青 电话：13772940157 二项式定理（第一课时） 陕西省榆林市定边县安边中学 王广青一、 教材依据本节课选自普通高中课程标准实验教科书选修理科数学2-3（北师大版）第一章第五节第一课（5.1.1）二项式定理。二、设计思路1.二项式定理是在学生系统学习了排列组合知识，基本掌握了组合性质的基础上进行进一步研究的，是学生对二项式定理的第一次接触及应用。教材在之前的学习中给出了组合的性质证明和运用，已经让学生感受到二项式定理的实际背景，借助前面所学知识，对二项式定理进行推理。由于我们是农村中学的一所普通高中，学生基础都比较差，学习积极性也不高，所以本节课设计若
2、干看似简单的问题，通过问题的结果，来激发学生学习新知的兴趣。2.通过二项式定理的学习，让学生掌握有关知识，同时在求展开式、求通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能与技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。本节课，力图让学生从不同的角度去了解二项式定理，对定理进行一个全方位的研究，并通过类比总结得出方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他知识的研究中去，发挥他们的自主精神。尽量创造让学生活动的机会，让学生在直接体验中构建自己的知识体系。尽量引导学生发挥学生的创造意识，以使他们能在创造的氛围中自主学习。3.结合参加我校组织的市级课题农村
3、中学课堂教学有效性研究和县级数学课堂教学提问技巧的研究的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。(3).通过课堂教学活动向学生渗透重要的数学思想方法，让学生在高考中对方法灵活应用。4.根据我所任教的学生的实际情况，我将二项式定理这一节划分为三节课（二项式定理的相关概念及通项公式，杨辉三角及二项式系数的性质，二项式定理的应用），这是第一节课。二项式定理是初中乘法公式的推广，是排
4、列组合知识的具体运用，是后面学习概率的重要基础，这部分知识具有较高的应用价值和思维训练价值。三、教学目标1.知识与能力进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式2.方法与途径通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3.情感与评价培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。4.现代教学手段 利用小组讨论交流，问题设疑，导学稿的教学模式四、教学重点二项式定理的相关概念及通项公式的简单运用五、教学难
5、点 二项式定理的形成过程及其证明过程六、教学准备 提前发放二项式定理第一课时的导学稿，学生依据导学稿预习、讨论与交流七、教学过程：【温故知新】师：前面我们学了哪些计数方法？（集体回答）生：枚举法、分类计数原理、分步计数原理、排列、组合【学情预设】学生可能说的不全，教师补充说明【设计意图】选择正确便捷的方法，为本节课得出各项系数做铺垫【导学释疑】问题1：桶里有大小相同，质地相同的a、b两小球，有放回地取两次，有几种不同的取法？请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析.生：（枚举法）：aa ab ba bb共4种（分步计数原理）:第一步，第一次取球有2种方法；第二步，第二次取球有2种方法
6、，所以一共22=4种.（分类计数原理）：第一类，都取a，共有1种方法；第二类，取不同a，b，共有2种方法；第三类，都取b，共有1种方法；所以共有1+1+2=4种方法【设计意图】回顾各种计数方法的思维过程和解题过程，保障后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法能准确、快速地得到答案.问题2：请同学们将逐项展开并整理，认真思考问题1与问题2的处理过程之间有什么联系与区别？生：相同点：展开的过程就是取小球的过程.不同点：球ab、ba属两种方法，展开式中的ab、ba可以合并同类项【学情预设】学生可能发现不了不同点与相同点，教师通过引导提示，让学生注意取球的结果，从而激发学生学习的兴趣【设计意图】取球是同
7、学们极为熟悉的例子，解决该问题已经得心应手，并已深刻理解。将新问题回归到已掌握的知识上，便于解决新问题。问题3：将展开并整理后，各项的系数与取球问题有何联系？生：整理后，各项系数等于取球问题中分类记数原理的各类结果数.【设计意图】让学生初步体会展开式中系数的由来.问题4：桶里有大小相同，质地相同的ab两小球，有放回地取三次，有几种不同取法？请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析.生：（枚举法）：aaa，aba，aab，baa，abb，bab，bba，bbb。（分步记数原理）：N=222=8种（分类记数原理）：第一类，三次都不取b，种；第二类，任一次取b,其他两次取a, 种；第三类，
8、任两次取b,其他一次取a, 种；第四类，全都取b，种；所以共有+=8种.【设计意图】取两次的时候，学生可以用枚举法在转念间就解决问题，所以就会忽视了分类记数原理和分步记数原理对于解决该问题的优势，取三次就相对困难，让学生体会分类记数原理和分步记数原理对于解决多次取球问题的优越性.问题5：谁能最快写出将展开整理后的多项式，并说出各项系数和？【设计意图】各组之间评比得分，提高学生参与度，再次理解取球过程与展开式的联系，特别是展开式各项的系数与取球过程中分类记数原理的联系、各项系数和与取球方法总数的联系.练习：写出将展开并整理后的多项式，并说出各项系数和？【设计意图】巩固展开式各项、各项系数及系数和
9、得出的方法.问题6：将展开并整理后，有哪些项？为什么？【设计意图】让学生体会从特殊到一般，归纳并证明的过程.推广：得二项展开式定理：一般地，对于有右边的多项式叫做的二项展开式：二项展开式的通项，记作： 二项式系数 ， 二项式系数和：+=问题7： 展开并整理后，各项的项数、次数有什么规律？你能根据规律归纳一个式子，可以用来表示其中任一项吗？生：1. a的次数与b的次数和为n； 2. 组合数上标与b的次数相同； 3二项展开式共有项，每项前都有二项式系数；4各项中的指数从n起依次减小1，到0终止；各项中的指数从0起依次增加1，到n终止。【设计意图】让学生在理解二项式定理得出的过程基础上，熟练掌握二项
10、式定理中各字母的特点，为后面的练习打下基础【检测反馈】例1 展开展开【学情预设】让每组的4号同学上黑板板书，进行比赛，发现问题，解决问题【设计意图】目的让学生初步熟悉二项式定理的展开过程，检测学生在展开过程中指数的变化，激发学生的求知欲望。例2已知二项式展开（1）请写出它的展开式；（2）请写出第4项的二项式系数；（3）请写出第4项的系数；（4）请写出含项的系数.【学情预设】让每组的2号学生上黑板板书，每组1号学生进行评价，得出分数，教师巡视并指导学生完成。【设计意图】这道题是二项式定理的具体应用，目的为了让学生区分二项展开式中该项二项式系数与该项系数区别。练习：已知二项式（1）求展开式第四项的
11、二项式系数；（2）求展开式第4项的系数；（3）求展开式第4项；（4）求展开式中的有理项.【设计意图】通过以上两个例题，学生巩固基本知识、基本概念，从而得以提升的目的【巩固提高】1.在的展开式中（1）含项的系数；（2）含项的系数.【设计意图】在理解二项式定理得出的思想方法基础上，运用该思想方法解决新问题，巩固该思想方法，这道题旨在思想方法的应用。【链接高考】（1）求的展开式的第3项.（2）求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.【设计意图】把课堂知识延伸到高考中，提高学生注意力，激发学生学习情感，把握重点知识运用，提升各自的知识运用。【课堂小结】让学生谈谈本节课学习的感受与收获？对教师
12、的表现进行评价？教师汇总各组分数，进行表彰奖励。【设计意图】让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结，形成良好的自主反思习惯，教师鼓励学生，激发学生对学科产生好感，更好地去学习。【课后练习】 p25练习1、2、3、4【板书设计】课题：定理例1例2练习【作业布置】1.探究：展开并整理后，有哪些项？2. P28习题15A组1、2、3、八、教学反思1本节课改变了以往常见的教学方法，让学生从不同的角度去思考，对定理进行一个全方位的研究，不仅仅是通过类比总结得到二项式定理，更重要的是让学生体会到定理的研究方法,以便能将其迁移到其他定理的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。2教学
13、中借助导学稿模式教学，可以弥补传统教学中不足，可以很容易的抓住教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。教学中充分体现“以学生为主，教师为辅”的教学理念，教师通过设置若干问题，来激发学生求知的愿望，并且学生在展现自我的同时，教师进行语言的鼓励与错误纠正，培养了学生语言的表达能力和自主学习的能力。3在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。并能够把重要的思想方法应用到高考中去。4.不足之处：部分学生提前没有预习，导致不能够及时参与到学习讨论中去，不愿意展现自我，不能踊跃的发言，这也是今后教学中应该注意的地方，改正不足，让学生动起来，参与到课堂中来，努力打造属于学生自己的课堂。榆林市基础教育科研课题（课题批准号：YLKT0109）实验与研究成果