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1、精选优质文档-倾情为你奉上二项式定理第一课时教学设计广西北海市第五中学 蒙旭芬一、教材分析：1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。教学目标：1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书数学第二册（下A）的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式二项式幂的展开式。它与后
2、面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析2、能力目标：在学3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨
3、辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。一、教学重点，难点，关键：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。难点：（1）二项展开式的规律的理解和掌握。（2）“二项式系数”和“系数”的区别。突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。二、教法、学法分析数学是一门培养人的思
4、维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”
5、，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。四、教学过程设计【复习引入：】复习回顾：提问初中学过的完全平方公式是什么？你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。思路一：提问：（1）以（a+b）2a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？（2）展开式中各
6、项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式：（a+b）a+b（a+b）2a2+2ab+b2（a+b）3a3+3a2b+3ab3+b4（a+b）4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。（1）展开式中各项是幂的形式，可按a（或b）的降幂排成：（2）展开式中各项系数的规律：将上式中展开式的系数列成表如下：1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1发现：发现每行两端都是1，后一行其它各数是上一
7、行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想 展开式的各项系数：【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美。在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情，思路二：观察下式：（a+b）4（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是
8、由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：（a+b）4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：不取b，得取1个b，取得2
9、个b，得取k个b，得取n1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理（a+b）nCn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cnkan-kbk+ Cnna0bn（nk,n,kN+）【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数Cni（i=1,2,3,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=Cnkan-kbk（k=
10、1,2,3n）。说明：（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a与b是用“+”连接的。（3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。（5）二项式系数为Cnk，注意与项的系数的区别。例如：（1x）3的第二项是C31x，其二项式系数为： C31，第二项的系数为：C31。【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用
11、定理解决问题时能得心应手。应用解析：例：（1）展开（学生练习：）展开（a+b）5,（a+b）6（2）求展开式的第3项（3），求展开式的第3项【设计意图：】例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；例（2），（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3）的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项。应用解析：例（4）（a+2b+3c）7，的展开式中，a2b3c2项的系数是多少。【设计意图：】本题可先将其中的二项看成一个整体，再用二项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了化归的意识，但本题如能根
12、据二项式定理的形成过程中项的系数的探究，可得如下解法：从7个括号的2个时取“a”得，再从余下的5个括号中的3个取“2b”得，最后剩下的2个括号里取“3c”得：由分步计数原理得：通过本题的学习，有利于学生对知识的串联，累积，加工，使学生的思维有一个升华过程，从而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。小结思路一：由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式 思路二：根据多项式乘法，结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定理：（a+b）nCn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cnkan-kbk+ Cnna0bn（nk,n,kN+）及通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1
13、,2,3n）注意事项（1），注意观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法。（b），二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中。（c），展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（d），通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。（e），二项式系数为Cni（i=1,2,3n），注意与项的系数的区别。布置作业课本作业：P109 1,(1),2(2),3(2),2，思考题：求的展开式中的系数，研究性题：的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时x2展开式中的系数。【设计意图：】（1），本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通
14、过二项式定理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。（2），通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。五、课后反思本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过
15、程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。让数学与我们的学生靠得更近一点日期：2011-10-19 20:55:00来源：本站原创 作者：佚
16、名字体： 关键字： 论文内容提要 “你觉得数学有趣吗？你觉得数学美吗？”你的学生会给你怎样的答案。在小学阶段，学生的思维是以具体形象思维为主的，而数学本身却带有抽象性，这便成了数学学习中的一对主要矛盾。解决这一矛盾的主要途径是利用直观，回归现实。数学知识来源于生活，生活本身又是一个巨大的数学课堂。数学教学要尽可能地接近学生的现实生活，让学生感觉到数学来源于生活，数学服务于生活，生活中处处有数学，数学中处处有生活。让数学与我们的学生靠得更近一点，让我们的学生感受数学无穷的魅力，去体味数学内在的美！ 美国数学家克莱因曾说：音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得指挥，科
17、学可以改善物质生活，但数学却可以提供以上一切。 每当我向学生发出：“你觉得数学有趣吗？你觉得数学美吗？”的问题时，学生总是一副茫然不知的神情，或者直接皱起了眉，摇起了头。作为一名小学数学教育工作者，我不禁要问：我们的数学教学怎么了？仔细思量，或许正如学生所感受到的那样。明显“数据老化”、“题材过时”，当学生辛辛苦苦、没完没了地解答完这些完全机械化习题后，对数学存有的一点兴趣也在不断地消殆。“难道数学学习就是这样的吗？” 在小学阶段，学生的思维是以具体形象思维为主的而数学本身带有抽象性的特征，这便成了数学学习中的一对主要矛盾。解决这一矛盾的主要途径是利用直观，回归现实。数学知识来源于生活，生活本
18、身又是一个巨大的数学课堂。数学教学要尽可能地接近学生的现实生活，让学生感觉到数学来源于生活，数学服务于生活，生活中处处有数学，数学中处处有生活。 一、数学问题就在你的生活中产生 小学生由于缺乏日常生活和社会经验，以及心理、生理上的特点，往往会感到数学抽象、单调和枯燥。因此，教师一定要紧密联系学生的生活实际和他们所熟悉的社会实践进行教学，把抽象的知识具体化、形象化。 如，在教学“圆的认识”时，教师首先让学生观看多媒体演示：三只小熊乘三辆车轮分别是圆形、正方形、三角形的小车的运行情况，学生看得哈哈大笑。教师趁势提出了问题：“看了这段动画，你有什么想法？”学生说：“为什么圆形的车轮运行时既快又平稳？
19、生活中的车轮为什么都是圆形的呢？”于是，学生带着浓厚的学习兴趣投入了新课的学习，当他们问成新课学习的时候，他们就找到了问题的答案。 数学可以作为人们交流信息的手段，也可以作为一门技术，帮助人们收集、整理、描述信息，建立模型，进而解决问题。数学教学应该努力让学生体会数学与自然及社会的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。数学知识较为抽象，教学中可以充分借助学生已有的生活经验已理解数学知识的真正意义。例如:我在讲“24时计时法中求经过时间的问题时”，没有利用书上的例题，而是从学生的生活实际中选取素材。先让学生说出上午上下学的时间，学生答出:7:50上课11：20下课紧接着我问学生
20、想知道什么，有的学生提出想知道上午一共在学校呆了多长时间，这也正是这节课要解决的问题。我问学生自己能解决吗？学生回答能。于是我放手让学生自己来解决。经过几分钟的探究以后，学生们汇报，有的学生借助生活中计算时间的经验一个小时一个小时地数出来的；有的学生是用放学的时间上学的时间求出来的。学生们借助生活的经验很容易得就解决了问题，顺利的完成了数学问题的生活化。如果直接利用书上的例题，可能就不会这么顺利。由此看来，数学问题生活化，既是学习和理解数学知识的需要，也是体会数学价值的需要。 克拉可、斯塔尔美在他们所著中小学教学法中指出：“要让你教的学科使人愉快，看起来是要把它包上糖衣，让它具有吸引力。”数学
21、要有吸引力，也要换上一件“甜美的糖衣”，要让学生有一种“可亲可近”的感觉，而这种“亲近感”来源于学生的生活。 二、数学问题就在你的实践中解决 荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔强调：“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造，也就是学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。” 在教学“接近整百、整千数加减法的简便计算”时，一开始，教师把学生分成两大组，进行速算比赛，第一组计算A组题，第二组计算B组题。 A组：（1）2565001（2）8534003（3）347520001 （4）6432002 B组：（1）256499（2）
22、853397（3）34751999 （4）643198 结果第一组同学取胜，第二组同学很不服气：怎么一步计算反倒比两步计算做得更慢？这时教师提问：“两组题有什么特点？”通过观察分析，学生发现两组题中相对的题结果相同，B组中的一个加数或减数接近整百、整千。接着教师又提问：“B组的题怎样计算比较简便？”学生恍然大悟，原来A组中的题就是B组中的题的简便算法。这时，学生深切地感受到简便算法的优点，它不仅可以加快计算的速度，也可以提高计算的正确率，而这一点正是学生通过实践与分析的结果。 又如，教学“梯形的面积”一课时，学生通过已学知识的迁移，已经了解“转化”的基本思想方法，即把梯形转化为已经学过面积计算
23、的图形来推倒出它的面积计算公式。教学中，大胆放手让学生去操作，让他们用课前准备好的多个梯形去剪、拼，去转化。结果，让人感到欣喜的事发生了：有的同学把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形，完成了转化的目的；有的同学把一个梯形剪成了两个三角形，得到了计算梯形面积的方法；有的同学把一个梯形剪成了一个平行四边形和一个三角形，也可以推导出梯形的面积公式；还有的同学剪和拼把一个梯形转化为一个三角形一时间，学生的学习积极性发挥到了极至，他们发现原来通过自己的实践能够找到如此多解决的途径！“数学太奇妙了！”学生们发出了由衷的感叹，而这种“奇与妙”必须在实践中才能感悟与收获。 “实践方能出真知！”数学是人的一
24、种活动，如同游泳一样，要在水中学会，而数学必须在实践中学习。只有实践，学生才能更深得体会数学的美；只有实践，学生才能更好地学会创新！三、数学问题就在你的应用中发展 新数学课程标准提出；要使数学教育面向全体，努力实现“人人学有价值的数学”。数学的价值在课堂上并不能充分地体现，而体现在日常生活的应用中。 波利亚说过：“数学教师的首要责任是尽一切可能来发展学生解决问题的能力。”过去的数学教学往往比较重视解答课本上已经经过处理的问题，而这些问题对实际生活中的复杂情况作了简化，便于学生解答，却不等同于实际。往往有些学生数学考试成绩十分理想，面对实际生活中一些问题却一筹莫展。因此，在教学中我们必须把应用性
25、作为学习的目标。给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、操作、猜测、推理、分析和交流的过程中去发现问题，理解问题，并能将实际问题转化为数学问题，构建数学与实际生活的桥梁。 如，学习了克、千克的知识后，让学生跟父母去集市买菜，感受1千克物品的重量和价格；学习了长方形、正方形的周长和面积后，让学生计算客厅、教室、操场等的周长和面积；学习了求经过时间的方法后，让学生到商店、银行、邮局等地去了解他们的营业时间；学习了统计表的知识后，调查了解一下全校各个年级学生的身高和体重，制作成统计表，分析一下本地区学生的健康状况只有这样，学生在学习的过程中应用了数学，解决了生活中的实际问题，他们应用数学的能力才会增强，对于数学的亲切感才会越发强烈，学习数学的兴趣才会更加浓厚。 知识经济的时代已经到来，数学将成为人们日常生活交流的手段和工具。当我们的学生还沉溺在无休无止的题海中的时候，作为一名新时代的数学教育工作者，决不能再无动于衷了。我们要勇敢地从教科书中跳出来，把教材内容和学生的生活实践结合起来，让学生主动地获取知识，将感性与内心的感受、体验融为一体，在实践与应用中不断开拓与创新。 数学并不枯燥，数学并不单调与乏味，数学就在你我的身边。让数学与我们的学生靠得更近一点，让我们的学生感受数学无穷的魅力，去体味数学内在的美！ 以下为赞助商广告-专心-专注-专业